建立模型解决“最短路线问题”

邓启强

通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，线段最短”为原则引申出来的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。这类考题在近几年各省市的中考数学试题中作为压轴题屡见不鲜，在此类问题时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线。这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法。但是在中考中学生很难将一个复杂问题转化为一个等价的简单问题，笔者通过仔细研究发现，通过建立模型可以有效解决这一难题。

模型一：一定一动一直线

如图1，已知点P是直线a外一定点，点D是直线a上一动点，当PD垂直直线a时，点P到直线a的距离最短。（实质是“垂线段最短”的定理）

变式1：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P是斜边AB上一动点，过点P作PF⊥AC于点F，PE⊥BC于点F，连接EF，且已知AC＝8，BC＝6。

问题：当P运动什么位置时，线段EF最短？最短是多少？

分析：由题意知四边形FCED是矩形，线段EF是对角线，因此求EF可转化为求CD，显然当CD⊥AB时线段CD最短。

解：连结CD，则CD＝EF

根据勾股定理，AB=AC2+BC2=82+62=10

当CD⊥AB时线段CD最短，此时12AB·CD=12 AC·BC

故CD＝4.8即EF最短4.8。

模型二：两定一动一直线（即“将军饮马”问题）

据说，在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：从A地出发到河边饮马，然后再B地，走什么样的路线最短？如何确定饮马的地点？（把河看成一条直线）

显然作点B关于直线a的对称点C，连结AC，交直线a于点P，则PA＋PB最短。

变式2：在上述“将军饮马”问题中直线a代表的是河岸，在实际中点A的对称点也许会在河里，也许会在河的对岸。可想而知，在真实的情境中，操作很可能并不是那么方便，又该怎么解决呢？

解法：如图4，分别过点A、B作直线a的垂线，垂足分别为C、D，连接AD和BC交于点E，过点E作直线a垂线，垂足为P，则点P就是所求的点。下面简述其证明要点：

如图5，过点E作直线MN∥a，分别交AC、BD于点M、N，连结PB、PA，延长AP于BD的延长线交于点F由辅助线的作法可知EN＝PD，EM＝PC

易△ACE≌△DEB，所以根据对应高之比等于相似比可知ACBD=EMEN=PCPD

再由△ACP≌△FDP，可得ACDF=PCPD，故BD＝DF

则点B与点F关于直线a对称。

变式3：修桥问题（北师大版初中数学八年级上册）：如图，A、B两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修一座过街天桥。问：桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？注意，桥必须与街道垂直。

分析：街道可抽象成两条平行线a、b，桥无论建在何处桥长MN是不变的，只要能把AM、BM合成一条线段，即对比将军饮马问题，只要将A、B两点放在街道的同一侧即可。

作法：1、作点A关于直线a的对称点F；

2、过点B作BD垂直直线b于点E，并延长至点C，交直线a于点D，使DC＝BE

3、连结CF，交直线a于点M

故应天桥修建在点M处，即AM＋MN＋BN最短。

模型三、一定两动两直线

如图，点P是∠MAN内任意一点，点C、D是射线AM、AN上两个动点，当C、D运动到什么位置时，线段△PCD的周长最短？

作法：1、作点P关于射线AM的对称点E；

2、作点P关于射线AN的对称点F；

3、连线E、F，分别交AM、AN于点C、D。

故：PC＋PD＋CD最短，即△PCD的周长最短

模型四：两定两动两直线

如图7，C、D是∠AOB内任意两点，M、N分别是OA、OB的两个动点，当M、N运动到什么位置时，四边形CMND的周长最短？

作法：1、作点C关于射线OA的对称点E；

2、作点D关于射线OB的对称点F；

3、连结EF，分别交OA、OB于点M、N

故：CM＋MN＋DN＋CD最短，即四边形CMND的周长最短。

总之，要解决在平面内求一点至另外两点的距离之和最短的问题，要根据实际问题进行分析，将其转化为“两点之间线段最短”的问题。