人在雨中行走时的淋雨量问题

邱仰聪

(顺德职业技术学院 人文教育系，广东 佛山 528333)

人在雨中行走时的淋雨量问题

邱仰聪

(顺德职业技术学院 人文教育系，广东 佛山 528333)

人在外出行走时被淋雨，应该如何选择行走速度使得淋雨量最小，这个问题一直引起人们的兴趣，也有很多学者通过建立数学模型给予解答.一些文献给出了直观简单并具有创新性的思维方法，但也分别存在一定的缺点.通过适当采用并修正、补充参考文献中的方法，糅合这些方法的优点，弥补其不足，利用三维角度和单调性分析对淋雨量问题给出更加严谨的解答，并经过Matlab软件进行更深层次的分析，得出有价值的结论.

淋雨量；行走速度；数学模型；三维；单调性

人在外出行走时遇雨，由于未带雨具而被淋雨，这时只好顶着大雨快跑.从下雨一直到人到达目的地为止，人们总希望这个过程自身的淋雨量最小.一般人会选择在雨中尽快地行走，以减少被雨淋的时间，但也有人认为雨中行走的速度越快，身体“撞”上的雨量也大，间接造成淋雨量增大，主张以正常速度行走即可.到底淋雨时行走速度是否越快越好，一直都是人们感兴趣的问题，也是高职数学建模问题中典型的一例.国内一些高校的教师、学者尝试使用了不同的方法，并作出了自己的解答[1-5]，其中文献[1]给出了两种思考的方法，方法均直观简单，而且具有创新性，但也分别存在一定的缺点.本文适当采用并糅合这两种方法的优点，弥补其不足，再经过Matlab软件进行更深层次的分析，得到更切合实际的结果.

1 模型分析

1.1 对文献中数学模型的分析

文献[1]分析了雨中行走时人的淋雨量问题，给出了两种方法.方法一，设定相关变量和构造数学模型是其一大亮点，尤其是提出了使用降雨强度系数，以及把人体看作是一个长方体，再从不同的方向计算人淋雨的总量，这些方法都非常独到新颖，但其缺点也很明显，集中表现在完全忽视了雨滴可能在人侧面下落的情况，只考虑在人前后部和顶部下落的雨量，使得结论过于简单，缺乏说服力；方法二优点在于选择了适当的坐标系，考虑了雨滴下落的三维情况，并且利用函数单调性分析了淋雨量与行走速度之间的函数关系，弥补了方法一的缺陷，得到的一些结论也明显比方法一更清晰，但是某些结论没有继续深入讨论下去，而且该方法也没有得出最小的淋雨量(如果存在的话)关于行走速度的函数表达式.

本文针对以上两种方法的优缺点，取长补短，采用了其解决问题的部分思维方式以及部分变量符号的定义，对其不足之处进行适当的修正和补充，从雨滴下落的三维角度更深入地讨论人的淋雨量问题.

1.2 模型的假设

为简化问题的复杂程度，以便在合理的前提下建立合适的数学模型，作出如下假设：①把人体看作一个长方体的形状；②人在行走过程中，雨滴下落的速度、方向保持不变；③人需要行走的路程为一定值，行走的方向、速度均保持不变.

1.3 相关的符号说明

2 模型的建立

人在雨中行走时淋雨量的大小主要取决于降雨的雨量大小、方向，以及人行走的路程长短和行走的速度.现在的目标是，求出最佳行走速度，使得人在雨中行走时的淋雨量最小.

建立数学模型的关键在于确定合适的坐标系，以人行走的方向为x轴的正向，左侧为y轴的正向，顶部上方为z轴的正向，rx、ry、rz分别为r在x轴、y轴、z轴上的分量，即有

1) 当rx＞0时，0°≤β＜90°或270°＜β＜360°.这时，雨滴从人的正面落下.由于cosβ＞0，即有v+rcosθcosβ＞0，因此

2) 当rx=0时，β=90°或270°.这时，雨滴从人的侧面落下.由于cosβ=0，因此

3) 当rx＜0时，90°＜β＜270°.这时，雨滴从人的后面落下，因此

由于90°＜β＜270°，所以cosβ＜0且a−whrcosθ cosβ＞0，以下分三种情况讨论.

3 对模型进一步的分析

从以上得出的结论可知，在大多数的降雨情况下，人还是应该以最大速度往前跑，除非雨滴下落在人行走的后面时，才有可能有使淋雨量最小的最佳速度选择.人们应该进一步把目光放在满足什么条件的前提下，才有这样的最佳速度选择.从前面分析可知，这个前提条件是

进一步简化后有

它与雨滴下落的角度和人的身材比例相关，其中后者相对比较稳定，因此该前提条件主要跟雨滴下落的角度有关.

不妨设d=0.20 m，w=0.50 m，h=1.60 m，这时式(1)为

根据雨滴下落方向与地平面的所成角的实际情况，另设45°≤θ≤90°；由于雨滴下落在人行走的后方，这时90°＜θ＜270°.

若固定θ(45°≤θ≤90°)，β在90°～270°，以0.1°为步长，利用Matlab软件可以得出式(2)成立的概率.由图1可见，其概率随θ的增大而减少.当θ=45°时，式(2)成立的概率接近0.7，但当θ＞80°时，其概率迅速减少至0.

若固定β(90°＜β＜270°)，θ在45°～90°，以0.1°为步长，利用Matlab软件可以得出式(2)成立的概率.由图2可见，在90°＜β＜180°时其概率随β的增大而增大，在180°＜β＜270°时其概率随β的增大而减少，该概率函数的曲线关于β=180°对称.当β=180°时，式(2)成立的概率最大，约为0.84；但当90°＜β＜120°或240°＜β＜270°时，其概率等于或几乎等于0.

图1 固定θ,β在90°～270°，式(2)成立的概率

图2 固定β,θ在45°～90°，式(2)成立的概率

若取r=4 m/s，则人行走的最佳速度v将取决于θ和β的取值，但肯定不超过r=4 m/s，对一般人来说这个速度不难达到.若雨滴下落方向越倾斜(θ越小)，以及其水平方向越接近人行走的反方向(β越接近180°)，则人行走的最佳速度v也将越大，反之将越小，但前提是θ和β的取值必须在使得式(2)成立的范围以内.

图3 式(2)成立的范围

[1]郭培俊. 高职数学建模[M]. 杭州：浙江大学出版社，2010：8-12.

[2]李志业，李秋红，海柱. 人在雨中行走时人身上淋雨量的分析[J]. 许昌师专学报，2000，19(5)：22-24.

[3]马幸华. 关于雨中行走的速度问题[J]. 苏州教育学院学报，2003，20(3)：67-68，79.

[4]张曼清. 利用常微分方程分析淋雨模型[J]. 鸡西大学学报，2005，5(1)：36-37.

[5]赵晓东. 函数的单调性和极限在淋雨模型中的应用[J]. 阜阳师范学院学报：自然科学版，2006，23(4)：24-26.

[6]颜文勇. 数学建模[M]. 北京：高等教育出版社，2011：179-181.

The Problem of the Amount of Rain Falling on People Walking in Rain

QIU Yang-cong

(Department of Humanities & Education，Shunde Polytechnic，Foshan 528333，China)

When people walk in rain，the problem of at what speed they have the minimum of rain falling on them arouses people's interest.Many scholars have tried to give the solution by building a mathematic model.Some references offer straightforward and innovative ways，but those ways have some shortcomings respectively.Through adopting，correcting and supplementing the ways in the references，this paper combines the advantages and compensates for the weaknesses.It gives more rigorous solutions to the problem of rain amount through three-dimension and monotonicity analyses，and makes deeper analyses by using Matlab to arrive at valuable conclusions.

rain amount；walking speed；mathematical model；three-dimension；monotonicity

O13

A

1008-5475(2013)03-0040-04

2013-05-13；

2013-06-09

邱仰聪(1984-)，男，广东惠州人，讲师，主要从事高等数学研究.

(责任编辑：沈凤英)