定积分的计算方法与应用

郑重阳

摘 要： 定积分是数学分析中的环节——微积分的重要分支之一，一元函数情况下，求微分实际上是一个求已知函数的导数，而求积分是求已知导数的原函数，所以微分与积分互为逆运算.本文主要介绍定积分的相关计算方法，以及定积分在实际中的一些应用.

关键词： 定积分 计算方法 应用

定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题.定积分的思想在古代数学家的工作中就已经有了萌芽.比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积.公元263年我国刘徽提出的割圆术也是同一思想.在历史上，积分观念的形成比微分要早.但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未形成，直到牛顿——莱布尼茨公式建立以后，计算问题才得以解决，定积分才迅速建立发展起来.

定积分的思想即“化整为零→近似代替→积零为整→取极限”.定积分这种“和的极限”的思想，在高等数学、物理、工程技术、其他知识领域及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的，教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究，运用极限方法，分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程，使定积分的概念逐步发展建立起来.可以说，定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法（或思维模式），即用无限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近连续，以直代曲，局部线性化等.定积分的概念及微积分基本公式，不仅是数学史上，而且是科学思想史上的重要创举.

一、定积分的定义

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.