不确定性平差模型的平差准则与解算方法

宋迎春，谢雪梅，陈晓林

中南大学地球科学与信息物理学院，湖南 长沙 410083

Adjustment Criterion and Algorithm in Adjustment Model with Uncertainty

SONG Yingchun,XIE Xuemei,CHEN Xiaolin

School of Geosciences and Info-Physics，Central South University，Changsha 410083, China

Foundation support： Open Research Fund of State Key Laboratory of Geography Information Engineering(No.SKLGIE 2013-M-2-5)；China Postdoctoral Science Foundation(No.2013M540641)

不确定性平差模型的平差准则与解算方法

宋迎春，谢雪梅，陈晓林

中南大学地球科学与信息物理学院，湖南 长沙 410083

Adjustment Criterion and Algorithm in Adjustment Model with Uncertainty

SONG Yingchun,XIE Xuemei,CHEN Xiaolin

School of Geosciences and Info-Physics，Central South University，Changsha 410083, China

Foundation support： Open Research Fund of State Key Laboratory of Geography Information Engineering(No.SKLGIE 2013-M-2-5)；China Postdoctoral Science Foundation(No.2013M540641)

摘要：在测量数据的获取过程中，经常存在着不确定性，它们影响着参数估计的可靠性。本文通过把不确定度作为参数融入函数模型，建立了不确定性平差模型。依据残差中不确定性传播规律，确定了残差最大不确定度达到最小的平差准则，利用迭代算法得到了不确定性平差模型的解算方法。通过实例分析了最小二乘平差、整体最小二乘平差和不确定性平差准则下最优解的不同特点，从另一个角度探讨了不确定性观测数据处理方法，推广了现有的误差理论。

关键词：不确定度；平差准则；残差；整体最小二乘平差；平差模型

1引言

不确定性是一种广义的误差，是不精确性、模糊性、不明确性等概念的总称，它包含数值和概念的误差，也包含可度量和不可度量误差，它比一般的误差范围要广，如属性不确定性、模糊不确定性等[1-3]。它有时具有随机性，且统计性质明显；有时没有随机性，仅是一个模糊数。不确定度是不确定性的度量，是用于表达测量结果质量优劣的一个指标，它可以用方差、均方差、误差区间、误差椭圆、误差椭球表示[4-5]。测量数据的不确定性不再是一个具体数值，有时仅知道它们各自在一定的实数区间内变动，有时仅是一个模糊数，这给测量平差数据处理带来了困难，现有算法理论还无法抑制这些不确定性因素的影响，要提高参数估计的可靠性需要针对不确定性建立新的平差准则，研究不确定度传播规律以及观测数据中去除不确定性因素的平差方法。在测绘数据处理领域，应用不确定度理论，研究不确定度评定方法，寻找减小不确定度的算法等已成为一个研究热点[6-11]。文献[12—14]对测量不确定度理论进行了研究，拓展了测量平差数据处理的理论与方法。整体平差算法也可以看成是对于不确定性平差算法的一种探索，它在一定程度上减弱了不确定性因素的影响[15-18]，然而，由于不确定性的统计信息(如均值和方差等)和概率分布函数无法确定，人为地确定它们的统计性质本身就在增加新的不确定性，从而影响状态参数估计的可靠性[19-20]。利用先验信息来抑制不确定性是不确定性观测数据平差的有效方法，但是，测绘工程中先验信息的获取一般是比较困难的，计算也比较复杂，更重要的是，许多先验信息本身也只是一种不确定性的描述，如参数的可行区间、有界噪声、噪声方差的范围等。本文从另一个角度来研究不确定性测量数据的平差问题，直接将不确定度作为一个参数融入函数模型中，建立了一种新的针对不确定性的平差准则，在算法中对不确定度进行抑制。

2不确定性平差模型

平差模型为

L=AX+e

(1)

更一般的，可以用2-范数的形式来描述观测向量和系数矩阵的不确定性

(2)

为进一步说明A、L的不确定性，在图1中，分别以A、L为圆心，α和β为半径的圆来描述描述A和L的不确定性，α和β可以看成是A、L的不确定性的一种度量，称之为A、L的不确定度。

图1　A、L不确定性的图示Fig.1　Diagram about uncertain of A、L

在平差模型中融入不确定度参数α和β，可得不确定性平差模型

(3)

不确定性平差模型不同于普通的平差模型，也不同于整体平差模型。在不确定性平差模型中，设计矩阵A和观测向量L分别受到范数有界的ΔA和ΔL的干扰，而它们的界α和β是已知的，即设计矩阵A和观测向量L的不确定度是已知的。在整体平差模型中，A和L的不确定性ΔA和ΔL是无界的，即A和L的不确定度是未知的。普通的平差模型中，A没有不确定性(ΔA=0)，ΔL的不确定性未知。整体最小二乘平差的准则是

(4)

式中，vec(ΔA)为矩阵ΔA的拉直向量。由于在这个平差准则中既要顾及观测误差又要顾及系数矩阵的误差，总体上虽然考虑了A和L的不确定性问题，但是，容易出现对A的过度校正，例如A的不确定度非常小，而L的不确定度较大时就会因为对A进行过度校正，从而使得A变成有较大的不确定性(本文后面的实例就是这一情形)。特别是在已知ΔA和ΔL的界的时候，在采用总体最小二乘平差时，常会出现越界的情形与先验信息不符。

利用ΔA和ΔL的先验信息(不确定度)进行参数估计，或者说是在有界的不确定性误差情况下，进行平差解算是测量平差数据处理的一种新的探索，在给定的有界区间内，寻找参数解更符合实际。为了寻找一种新的针对有界不确定性观测数据进行平差，笔者建立下面的min-max平差准则，即让残差中的最大不确定性达到最小，从而使得参数解中的不确定性达到最小化，即

(5)

式(5)可以称之为不确定性min-max平差准则。

3残差中最大不确定度的几何意义

本文使用和文献[20]类似的方法来说明残差中最大不确定度的几何意义。设简单不确定性平差模型为

(6)

从B向OM作垂线BE，交OC于D点，以D为圆心，DE为半径作圆D，同样圆D也对应模型(6)的一个参数解，这时最大的不确定度为BE的长度r1，从图形可以看出r1

图2　残差最大不确定度几何意义　Fig.2　Geometric meaning of the maximum possible uncertainty in residual

图3　最小的残差最大不确定度Fig.3　The minimized maximum possible uncertainty in residual

图4　非0参数解的几何意义Fig.4　Geometric meaning of non-zero-parameter solution

上面的分析中假设观测向量l中不存在不确定性，当观测向量l存在不确定性时也可以得到相应的几何解释。

4不确定性平差模型的解算

利用范数的性质，有

(7)

对于给定的A的不确定度α和给定的L的不确定度β，若令

(8)

(9)

由式(7)和式(9)可知

(10)

根据式(5)和式(10)，不确定性min-max平差准则可以转换成另一形式的平差准则

(11)

(12)

(13)

式中，μ为一正实数，它的值由下式确定

(14)

(15)

(16)

式中，U是m阶正交矩阵；V是n阶正交矩阵；Σ表示为

(17)

式中，λi(i=1,2,…,n)为A的奇异值。对UTL进行分块，令

(18)

此处，L1为n维向量；L2为m-n维向量。由式(15)可知

(19)

因此

(20)

而

所以

(21)

由式(14)、式(20)和式(21)可得

(22)

利用式(22)求μ通常比较复杂，由于式(22)的右边也含有μ，可以使用迭代法进行求解，下面分析使用式(22)迭代求解μ的迭代收敛性问题。对φ(μ)求导，并顾及式(17)和式(22),有

因为上式的方括号中是一个正数，所以有

(23)

(24)

由式(23)和式(24)可得

(25)

5不确定性平差模型解算和分析

表1　仿真数据

由上面产生的数据序列来生成观测向量L=[l1l2l3l4l5l6]T和设计矩阵A=[a1a2a3a4a5a6]T，其中，ai=xi-Δxi，li=yi-Δyi(见表2)，并建立不确定性平差模型

式中，X为参数向量；ΔA=[Δa1Δa2Δa3Δa4Δa5Δa6]T、ΔL=[Δl1Δl2Δl3Δl4Δl5Δl6]T是未知的不确定性误差(虽然从仿真数据中已得知ΔA=ΔX、ΔL=ΔY，但算法认为它们是未知的)。

表2　观测数据序列

-0.00490.2292]T

-0.02961.3753]T

0.3208

最小二乘平差解

使用文献[15]的总体最小二乘(TLS)算法，可以得到总体最小二乘平差解

由上面的计算结果可得如下结论：

图5　最小二乘平差方法Fig.5　Least squares adjustment method

图6　整体平差方法Fig.6　Total least squares adjustment method

图7　不确定性平差方法Fig.7　Adjustment method with uncertainty

6结论

在测量数据的获取过程中，经常存在着不确定性，它们影响着参数估计的可靠性。目前的测量平差方法是基于“观测值的不确定性就是随机性”这一基本假设的，实际测量工程中有许多不同于随机误差的不确定性因素，它们影响着参数估计的可靠性。扩展误差理论与测量平差方法处理测量数据中的不确定度，必须对观测中不确定性因素进行数值化、参数化，把它们融入平差模型中，这需要有理论和方法上的突破。本文通过建立不确定性平差模型，把不确定度作为参数融入函数模型中，利用残差中不确定性传播规律，建立了一种基于残差最大不确定度达到最小的平差准则，并用迭代算法得到了不确定性平差模型的解算方法。通过实例分析了最小二乘平差、整体最小二乘平差和不确定性平差准则下的最优解的不同特点。

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(责任编辑：陈品馨)

修回日期： 2014-10-27

First author： SONG Yingchun(1963—)，male，professor,PhD,majors in surveying adjustment and data processing.

E-mail： csusyc@csu.edu.cn

中图分类号：P207

文献标识码：A

文章编号：1001-1595(2015)02-0135-07

基金项目：地理信息工程国家重点实验室开放基金(SKLGIE2013-M-2-5)；中国博士后科学基金(2013M540641)

收稿日期：2014-03-21

第一作者简介：宋迎春(1963—)，男，教授，博士，研究方向为测量平差与数据处理。

Abstract：Uncertainty often exists in the process of obtaining measurement data, which affects the reliability of parameter estimation. This paper establishes a new adjustment model in which uncertainty is incorporated into the function model as a parameter. A new adjustment criterion and its iterative algorithm are given based on uncertainty propagation law in the residual error, in which the maximum possible uncertainty is minimized. This paper also analyzes, with examples, the different adjustment criteria and features of optimal solutions about the least-squares adjustment, the uncertainty adjustment and total least-squares adjustment. Existing error theory is extended with new observational data processing method about uncertainty.

Key words：uncertainty；adjustment criterion；residual error；total least-squares adjustment；adjustment model

引文格式：SONG Yingchun, XIE Xuemei, CHEN Xiaolin.Adjustment Criterion and Algorithm in Adjustment Model with Uncertainty[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2015,44(2):135-141.(宋迎春，谢雪梅，陈晓林. 不确定性平差模型的平差准则与解算方法[J].测绘学报，2015,44(2)：135-141.) DOI:10.11947/j.AGCS.2015.20130213