分类求解相似三角形

□于志洪

分类求解相似三角形

□于志洪

在解答相似三角形问题时，常常因为条件的不确定，而需要对问题进行分类讨论，从而可以防止漏解.

一、因对应边角不确定，需分类求解

例1△ABC与△ADE相似，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AD＝4，AB＝8，AC＝12，求AE的长.

分析：当以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，两个三角形的公共顶点A必为对应点，但夹角A的两组对应边的对应关系不确定，故需要分类讨论.

解：（1）当∠ADE＝∠B时，如图1，△ADE∽△ABC，所以

（2）当∠AED＝∠B时，

如图2，△AED∽△ABC，

图1

图2

例2如图3，∠ACB＝∠ABD＝90°，BC＝a，AC＝b，当Rt△ABD的斜边上的高h＝时，图中的两个直角三角形相似.

图3

分析：要使两个直角三角形相似，只要∠D＝∠ABC或∠D＝∠BAC即可，又因为相似三角形对应高的比等于相似比，而Rt△ABD斜边上的高可求出，所以列比例式可求h.

解：设Rt△ABC斜边上的高为x，则AB·x＝ab.

所以，当Rt△ABD斜边上的高h＝a或b时，图中的两个直角三角形相似.

二、因图形位置不确定，需分类求解

例3在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E.探究：（1）观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似？并证明你的结论；（2）当点P位于CD中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比是多少？

分析：解决本题的关键是要经过动手操作，画出图形，再加以分析，由于图形位置的不确定，故需要分情况求解.

解：（1）①如图4所示，另一条直角边与AD交于点E，

则△PDE∽△BCP.

证明：在△PDE和△BCP中，

因为∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠2.

又因为∠PDE＝∠BCP＝90°，所以△PDE∽△BCP.

②如图5，同理可证明△PCE∽△BCP及证明△BPE∽△BCP.（过程略）

图4

图5

图6

图7

（2）①如图6所示，当点P位于CD中点时，若另一条直角边与AD交于点E，则

又因为△PED∽△BCP，所以△PDE与△BCP的周长比是1∶2.

②如图7所示，同样可计算出△PCE与△BCP的周长比为1∶2；及△BPE与△BCP的周长比为

总之，在今后解相似三角形问题时，我们只要细心去思考，认真去分析，就不会出现漏解.只要我们养成全方位进行思考的好习惯，我们就能不断走向成功.