“锐角三角函数”中考新题型

2016-02-06 06:52刘顿
初中生天地 2016年36期
关键词:锐角三角等腰三角圆锥

□刘顿

“锐角三角函数”中考新题型

□刘顿

提到“锐角三角函数”,你就会想到中考,想到中考就自然会去看看又有哪些创新型试题,为方便你的寻求,现归纳几类,供参考!

一、渗透型

例1(2016·临沂)当α、β为任意角时,sin(α+β)与sin(α-β)的值可以用下面的公式求得:sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ;sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ.例如sin90°=sin(60°+30°)=sin60°· cos30°+cos60°·sin30°=类似的,可以求得sin15°的值是.

分析:把15°化为60°-45°,则可利用sin(α-β)=sinα·cosβcosα·sinβ和特殊角的三角函数值计算出sin15°的值.

解:sin15°=sin(60°-45°)

=sin60°·cos45°-cos60°·sin45°

点评:求解时要熟记特殊角的三角函数值,一是按值的变化规律去记,正弦逐渐增大,余弦逐渐减小,正切逐渐增大;二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记.

二、阅读型

例2(2016·咸宁)阅读理解:我们知道,四边形具有不稳定性,容易变形,如图1,一个矩形发生变形后成为一个平行四边形,设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α,我们把的值叫做这个平行四边形的变形度.

图1

(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120度,则这个平行四边形的变形度是.

(2)猜想证明:设矩形的面积为S1,其变形后的平行四边形面积为S2,试猜想S1、S2、之间的数量关系,并说明理由.

拓展探究:(3)如图2,在矩形ABCD中,E是AD边上的一点,且AB2=AE·AD,这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1,E1为E的对应点,连接B1E1,B1D1,若矩形ABCD的面积为,平行四边形A1B1C1D1的面积为试求∠A1E1B1+∠A1D1B1的度数.

图2

分析:(1)根据平行四边形的性质得到α=60°,根据三角函数的定义即可得到结论.

(2)若设如图1中矩形的长和宽分别为a、b,变形后的平行四边形的高为h,根据平行四边形和矩形的面积公式即可得到结论.

(3)由已知条件得到△B1A1E1∽△D1A1B1,由相似三角形的性质得到∠A1B1E1=∠A1D1B1,根据平行线的性质得到∠A1E1B1=∠C1B1E1,求得∠A1E1B1+∠A1D1B1=∠C1B1E1+∠A1B1E1=∠A1B1C1,证得∠A1B1C1=30°,于是得到结论.

解:(1)∵平行四边形有一个内角是120度,∴α=60°,

理由:如图1,设矩形的长和宽分别为a、b,变形后的平行四边形的高为h,

∴S1=ab,S2=ah

(3)∵AB2=AE·AD,

而A1B1=AB,A1E1=AE,

A1D1=AD,

∴A1B12=A1E1·A1D1,

∵∠B1A1E1=∠D1A1B1,

∴△B1A1E1∽△D1A1B1,

∴∠A1B1E1=∠A1D1B1,

∵A1D1∥B1C1,

∴∠A1E1B1=∠C1B1E1,

∴∠A1E1B1+∠A1D1B1

=∠C1B1E1+∠A1B1E1=∠A1B1C1.由(2)中的结论

∴sin∠A1B1C1

∴∠A1B1C1=30°,

因此∠A1E1B1+∠A1D1B1=30°.

点评:本题通过阅读探究,考查了平行四边形的性质、矩形的性质、三角函数的定义,相似三角形的判定和性质,正确理解题意是解题的关键.

三、应用型

例3(2016·扬州)如图3,△ABC和△DEF中,AB=AC,DE=DF,∠A=∠D.

图3

(2)由(1)中的结论可知,等腰三角形ABC中,当顶角∠A的大小确定时,它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB或AC)的比值也就确定,我们把这个比值记作T(A),即T(A)=

①理解巩固:T(90°)=,T(120°)=,若α是等腰三角形的顶角,则T(α)的取值范围是;

②学以致用:如图4,圆锥的母线长为9,底面直径PQ=8,一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q,求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1).

图4

(参考数据:T(160°)≈1.97,T(80°)≈1.29,T(40°)≈0.68)

分析:(1)证明△ABC∽△DEF,根据相似三角形的性质解答即可.

(2)①根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可;②根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算,得到扇形的圆心角,根据T(A)的定义解答即可.

解:(1)∵AB=AC,DE=DF,

又∵∠A=∠D,

∴△ABC∽△DEF,

图5

图6

如图6,∠A=120°,AB=AC,

作AD⊥BC于D,则∠B=30°,

∵AB-AC<BC<AB+AC,

∴0<T(α)<2.

②圆锥的侧面展开图如图7所示.

图7

∵圆锥的底面直径PQ=8,

∴圆锥的底面周长为8π,即侧面展开图扇形的弧长为8π.

设扇形的圆心角为n°,

∵T(80°)≈1.29,

∴蚂蚁爬行的最短路径长为PQ=1.29×9≈11.6.

点评:本题通过模仿锐角三角函数的定义,考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及T(A)的定义,正确理解T(A)的定义、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

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