基于数据驱动的KPI系统最优滤波器设计

姚智刚　 彭开香

(北京科技大学自动化学院,北京100083)

基于数据驱动的KPI系统最优滤波器设计

姚智刚 彭开香

(北京科技大学自动化学院,北京100083)

摘要:为了优化基于数据驱动的嵌入式故障诊断滤波器设计,采用KPI(key performance index)思想设计FDI(fault detection and isolation)残差,研究基于mDOs观测器的闭环Kalman滤波器设计方法,实现故障诊断和系统状态的有效观测.首先,基于采样数据得到大型复杂系统的KPI子空间模型,定义了跟踪误差,得到了闭环滤波器;其次,将残差序列表示为Hankel模型,通过定义正交投影补矩阵并选择恰当的数据列,构建出新的阈值矩阵;最后,得到Kalman滤波增益的计算方法,并给出了最优Kalman滤波器的设计步骤.结果表明,优化后残差的幅值降低至优化前的1/2.基于数据驱动的KPI系统最优滤波器设计,可提高对弱小故障监测的灵敏度,实现系统状态估计和故障诊断的性能优化.

关键词:KPI;残差;观测器;滤波器

近几十年来,基于解析模型的故障诊断理论和方法得到了深入发展,其基本原理是通过比较实际测量的信息与解析模型的测量估计来构建残差,进一步对残差进行优化,并与阈值进行比较以判断是否有故障发生[1-7].但是对于大型复杂系统,存在模型庞大、模型不确定、建模困难等实际问题.采用数据驱动故障诊断方法,尤其是子空间辅助的数据驱动FDI(fault detection and isolation)系统,可摆脱对模型的依赖,通过构建并分析残差,达到故障诊断的目的.大型复杂系统数据的维数和数量过于庞大,基于数据驱动的设计方法可能导致FDI系统的阶数过高,从而降低残差数据对某些重要参数和信号的灵敏度,造成漏报现象.KPI(key performance index)思想最早源于经济学,并被广泛应用于汽车系统设计与管控中.将KPI思想引入FDI系统残差的设计中,基于KPI选择关键参数后FDI系统的阶次降低,可以减小FDI设计的难度和工作量,提高残差信号对系统重要参数和信号的灵敏度,从而构建出数据驱动KPI-FDI系统.

嵌入式诊断滤波器备受关注.基于故障诊断系统与被控对象的对应关系,在实现对被控对象故障异常监视与诊断的同时,还可达到对系统状态的有效观测.Steven等[8]在数据驱动的故障诊断系统设计基础上,进一步研究了系统状态估计问题,提出了一种基于数据驱动的观测器设计方法,并指出其对于基于数据驱动的控制器设计的重要意义;但是, 设计中无差拍观测器在处理随机扰动时的性能有待于进一步提高.

本文以某复杂系统为例,引入KPI思想,研究了基于数据驱动的故障诊断滤波器优化设计问题.

1KPI系统子空间模型

稳态下的大型复杂系统可以表示为线性时不变系统,其模型描述如下:

(1)

式中,E()为方差；Q，R，S为噪声矩阵.

为了解决复杂系统输出变量过于庞大的问题,定义如下的KPI变量:

(2)

式中,Wy为权重函数.

进一步给出KPI模型为

(3)

假设系统矩阵A,B,C，D,系统阶数n和矩阵Q，R，S均未知.对采集的数据进行处理,构建如下的Hankel数据结构:

X(i)∈Rn×N,U(i)∈Rl×N,Y(i)∈Rm×N

W(i)∈Rl×N,V(i)∈Rm×N,Usp-1∈Rspl×N

Ysp-1∈Rspm×N, Usf-1∈Rspl×N, Ysf-1∈Rspm×N

Zsp-1∈Rsp(l+m)×N,Zsf-1∈Rsf(l+m)×N

Wsf-1,u∈Rspl×N,Vsf-1,f∈Rsfm×N

式中,N为测试数据长度;sp,sf为整数,且大于n.

参考文献[9],将式(3)改写为 References)

(4)

式中,K表示Kalman增益;e表示白噪声.

基于式(4),构建KPI模型的Hankel等式:

Ysf-1=Γsf-1X(i)+Hsf-1,uUsf-1+Hsf-1,wWsf-1,u+

Vsf-1,f=Γsf-1X(i)+Hsf-1,uUsf-1+Hsf-1,eEsf-1

(5)

式(5)即为大型复杂系统的KPI子空间模型.

利用Zsp-1,Usf-1和Ysf-1构建如下的QR分解:

(6)

求解齐次方程组

(7)

(8)

2KPI系统多通道残差生成器设计

本文考虑KPI离散线性时不变系统,基于文献[8]的研究结果,可得多通道残差生成器mDOs的紧凑形式为

(9)

式中

基于文献[8],Luenberger方程中的矩阵T满足条件rank(T)=n,由此可构建全状态观测器为

(10)

式中

Ax=T-AzT∈Rn×n,Bx=T-Bz∈Rn×1

Lx=T-L∈Rn×m,Cx=G-1CzT∈Rm×n

Dx=G-1Dz∈Rm×l

3基于mDOs观测器的Kalman滤波器设计

mDOs观测器设计没有充分考虑系统噪声的影响,而是根据等价空间设计了无差拍观测器.当系统中存在未知噪声时,无差拍观测器的估计精度将受到影响.除了状态估计外,残差信号同样受到噪声的影响,如果设计的残差不考虑噪声,则故障诊断系统性能将有所下降.假定系统噪声为高斯白噪声, Kalman滤波器被公认为该情况下的最优观测器.本节主要研究在mDOs观测器的基础上,如何基于数据进一步设计Kalman滤波器,实现系统状态估计与故障诊断的性能优化.

假定在KPI白噪声模型中白噪声e的方差为Σe,稳态卡尔曼增益为Kz.根据mDOs观测器,可得到如下的闭环滤波器:

(11)

式中

Kz,u=[Kz,u,1Kz,u,2…Kz,u,su]∈Rsu×m

u=1,2,…,m; Kz,u,j∈Rm; j=1,2,…,su

(12)

由式(12)可知, 如果存在Kz使得

TK-L=KzG

(13)

则式(11)所表示的闭环滤波器即为Kalman滤波器.

mDOs与白噪声模型的误差方程为

(14)

将式(14)进行扩展可得

(15)

式中

Hsf-1,k=

Ξsp-1rsp-1(k-sp+1)≈Ξsp-1rsp-1(k-sp+1)

(16)

式中

综合式(15)和(16),残差序列rsf-1可通过esf-1(k)和rsp-1(k-sp+1)直接表述为

rs(k)=Hsf-1,rrsp-1(k-sp+1)+Hsf-1,kesf-1(k)

(17)

式中,Hsf-1,r=Γsf-1Ξsp-1.与Yf和Yp相似,将式(17)表示为如下的Hankel模型:

Rsf-1(k)=Hsf-1,rRsp-1(k-sp+1)+

Hsf-1,kEsf-1(k)

(18)

假设残差序列为某一静态零均值随机噪声,当s≥n时,Rsf-1(k)与Rsp-1(k-sp+1)不相关,则有

(19)

定义Rsp-1(k-sp+1)的正交投影补矩阵为

Rsp-1(k-sp+1)

(20)

且式(20)满足

(21)

由此可得数据矩阵Σr为

(22)

根据式(20)～(22)可得

[Hsf-1,rRsp-1(k-sp+1)+Hsf-1,kEsf-1(k)]T=

(23)

(24)

由此可得

(25)

(26)

4仿真分析

图1为某型火控系统的原理框图[10].该系统由多个传感器、执行器和子系统组成,共计30余个单体设备,其中火控计算机为系统的核心,单体之间的连接和数据通信以总线为主.其工作过程概略为:在获取目标位置的基础上,采集各传感器的信息,包括装备所处阵地的气象信息、火药温度、装备所处的地理坐标、车体平面的姿态量和身管的空间指向等数据;其次,以火控计算机为主动方,向随动系统、发射控制系统、操作显示系统和通讯管理系统等发送命令,并进行数据交互,在火控计算机内部完成射击所需的控制量计算;最后,各执行器在接收到命令数据后,迅速调整车体平台姿态,并控制身管迅速转向预定的空间指向.为了确保射击精度,要求车体平台的姿态量和身管空间指向的输出误差限制在10个密位以内.

图1　某型火控系统原理框图

本文采用数据驱动的方法,从若干输出量中将对系统性能影响最大的5个输出量(平台北向角y1、纵倾角y2、横倾角y3、身管方位角y4、身管高低角y5)选择为KPI参量,基于数据构建KPI-FDI系统.

Az=diag(Az,1,Az,2,Az,3,Az,4，Az,5)

Bz,1={-0.07,0.14,0.02,-0.07,-0.24,

-0.05,0.17,0.03,0.10,-0.34,0,

0.12,0,0.04,-0.33,-0.03,0.15,

0.03,0.12,-0.35,-0.04,0.11,0.08,

0.11,-0.23,-0.03,0.03,0.05,-0.09,

-0.10,0,0.03,0.02,0.03,-0.03,

-0.05,0,0.07,-0.13,-0.05,-0.02,

0,0.08,-0.01,-0.10,-0.03,0.13,

0.03,0.07,-0.27}

其余Bz,i∈R50与此类似.

观测增益矩阵表示为

Lz,1={0,0.01,-0.03,-0.02,0.01,0,0.03,

0.01,0,0.15,0.02,-0.06,0.03,-0.16,

-0.14,0.02,0.01,0.09,-0.02,0.03,

-0.06,-0.11,-0.11,-0.09,-0.03}

其余Lz,i∈R25与此类似.

其他矩阵表述如下:

Cz=diag(Cz,1，Cz,2,Cz,3,Cz,4,Cz,5)

在辨识等价空间及其向量和构建mDOs观测器后,对基于mDOs观测器的Kalman滤波器增益设计方法进行验证,y1,y2,y3,y4,y5的KPI输出误差曲线如图2所示(Ey1,Ey2,Ey3,Ey4,Ey5为误差幅值),对应的Kalman增益为

图3给出了优化之后的Kalman滤波器的KPI输出估计误差曲线.由图可知,优化后残差的幅值降低至优化前的1/2,从而验证了数据驱动设计针对mDOs观测器的Kalman滤波器的有效性.

5结语

本文针对故障诊断滤波器的最优化问题进行了研究,提出了一种数据驱动的基于mDOs观测器的Kalman滤波器设计方法及实施步骤,并利用某型火控系统进行了验证.结果表明,优化后残差的幅值降低至优化前的1/2,从而故障诊断系统可对更小的故障进行监测.但是在所提算法中,采用数据驱动方式设计并使用mDOs观测器状态,往往存在因阶数过大而求逆困难的问题,可通过对观测器的重新设计解决这一问题.

(a)y1输出误差曲线

(b) y2输出误差曲线

(c) y3输出误差曲线

(d) y4输出误差曲线

(e) y5输出误差曲线

(a) y1输出误差曲线

(b) y2输出误差曲线

(c) y3输出误差曲线

(d) y4输出误差曲线

(e) y5输出误差曲线

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Data-driven based optimal filter design for KPI system

Yao Zhigang Peng Kaixiang

(School of Automation and Electrical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)

Abstract:In order to optimize the data-driven design of embedded fault diagnosis filters, a FDI (fault detection and isolation) residual generator is presented based on KPI (key performance index), and a design method for the closed-loop Kalman filter based on the multi-diagnostic observers (mDOs) is studied to realize fault diagnosis and effective observation for system status. First, the KPI subspace model for the large complex system is obtained based on the sampling data. The tracking error is defined, and the closed-loop filter is realized. Then, the residual sequence is expressed as the Hankel mode. A new threshold matrix is constructed by defining an orthogonal projection complement matrix as well as selecting appropriate data columns. Finally, the calculation method for the Kalman filter gain is obtained, and the design steps for the optimal Kalman filter are described. The results show that the amplitude of the optimized residual is half that of the pre-optimized residual. The data-driven based optimal filter design for the KPI system can improve the monitoring sensitivity for tiny fault and optimize both status estimating and fault diagnosis.

Key words:KPI(key performance index); residual; observer; filter

DOI:10.3969/j.issn.1001-0505.2016.02.004

收稿日期:2015-08-04.

作者简介:姚智刚(1980—)，男，博士，讲师，xyhk_yzg@163.com.

基金项目:国家自然科学基金资助项目(61473033).

中图分类号:TP29

文献标志码:A

文章编号:1001-0505(2016)02-0249-06

引用本文: 姚智刚,彭开香.基于数据驱动的KPI系统最优滤波器设计[J].东南大学学报(自然科学版),2016,46(2):249-254. DOI:10.3969/j.issn.1001-0505.2016.02.004.