帕斯卡《思想录》的理性精神与数学成就

刘宗宝，吴维煊

(江苏省宿迁经贸高等职业技术学校， 江苏 宿迁 223600)



帕斯卡《思想录》的理性精神与数学成就

刘宗宝，吴维煊*

(江苏省宿迁经贸高等职业技术学校， 江苏 宿迁 223600)

帕斯卡的数学成就是其几何学精神、敏感性精神与理性精神的有机结合的产物.帕斯卡对几何有着浓厚的兴趣，有着基于敏感与理性的严谨.帕斯卡的《思想录》是世界上最伟大的随笔经典，该书集中体现了作者以“几何精神”为主体的思想理论.帕斯卡以笛卡尔的理性主义思想为基础，不仅继承与发扬了理性主义传统，以理性来批判一切,同时又在继承的基础上指出理性本身存在的内在矛盾，展现其特有的揭示矛盾的方法，因而在数学发展史上写下浓墨重彩的一笔.

帕斯卡;思想录；几何精神；数学成就

0　引言

布莱士·帕斯卡(Blaise Pascal，1623-1662)生活在17世纪的法国，是著名的哲学家、思想家和科学家，他的思想理论集中地表现在他的《思想录》一书中，该书以其论战的锋芒、深邃的思想以及流畅的文笔阐述了“人的全部尊严就在于其思想”这一哲学观点.《思想录》这一哲学著作是世界思想文化史上的经典著作，对后世产生了深远影响，被认为是法国古典散文的奠基之作.《思想录》一书集中体现了作者以“几何精神”为主体的思想理论，帕斯卡以笛卡尔的理性主义思想为基础，不仅继承与发扬了理性主义传统，以理性来批判一切；同时又在继承的基础上指出理性本身的内在矛盾，展现其特有的揭示矛盾的方法，即“帕斯卡方法”.

1　发现几何图形的性质——敏感精神与几何精神的结合

帕斯卡由于体弱多病，父亲不准他学习数学.禁止他学习数学，反而引起他对数学的好奇心，并请求他的家庭教师给他讲几何学.教师告诉他，这是对准确的图形和图形的各个部分性质的研究.他从教师对这门学科的描述和父亲反对这门学科的禁令得到了鼓励和探索的欲望.他放弃了自己的游戏时间，为了不让父亲失望，他只能秘密地从事这门学科的研究，没靠任何帮助，发现了几何图形的许多性质.在几何学中，原则都是显然可见的，很多人由于缺乏运用习惯，很少能敏感地关注到几何问题，也就无法将注意力放到这上面来.而帕斯卡有对几何学的直觉和敏感，在几何图形性质的发现过程中，将几何学精神与敏感性精神有机结合，加之以潜心研究，就会发现很多几何图形的性质[1].

三角形内角和等于平角这个定理是帕斯卡发现的.在对这个定理的探索中，他采用的是较为直观的折纸三角形的办法，也就是把三角形的顶点折到其内切圆的圆心上，如图1所示；或者把顶点折到垂足处，如图2所示.

帕斯卡的数学成就中，较为突出的是提出著名的帕斯卡定理，即： 如果一个六边形内接于圆锥曲线，则其三对对边的交点共线，并且逆命题也成立.

该定理被后人称之为帕斯卡神秘六线形定理，用这个定理能够推演出许多我们知道的有关圆锥截线的知识.此外，用投影的概念(由G·迪沙格发展)帕斯卡说明了除圆以外其他圆锥截线定理.

内接于任意圆锥截线的六边形，当它的延长线成直线AB、BC、CD、DE、EF、FA时，则三组对边的交点P、Q和R总是共线(图3).

该定理的证明：

图4所示，如果1、2、3、4、5、6六个点在一条圆锥曲线上，则56和23,16和34,12和45这三对直线的交点共线.

令α=0，β=0，γ=0，α′=0，β′=0，γ′=0为直线12,34,56,45,61,23的方程，考虑三次曲线αβγ+kα′β′γ′=0

不管k的值是什么，此三次方程过1、2、3、4、5、6、P、Q、R九个点，取圆锥曲线上另一个点7，并如此确定k，让该三次曲线也过点7.然而，一条三次曲线和一条二次曲线至多交于3×2=6个点，除非该二次曲线是该三次曲线的一部分，而余下的部分是某直线，并且余下的三个点P、Q、R必定处于一条直线上.

帕斯卡给出该定理之后近200年，产生了该定理的对偶定理：

一个六边形的六条边切一条圆锥曲线，当且仅当，连接其三对顶点的直线交于一点.

帕斯卡提出六线形定理，并推导出400多条推论，对这个构型所做的探讨，几乎多到了让人难以置信的地步.帕斯卡六线形定理的发现及众多推论的得出，是帕斯卡精确性精神与几何精神有机结合的产物，他能够敏锐地、深刻地钻研种种原则的结论，这就是精确性的精神；他能够理解大量的原则而从不混淆，这就是《思想录》中提到的几何学精神.

2　探讨几何规律——由特殊到一般的理性精神

在帕斯卡的数学成就中，广为人们熟知的是帕斯卡三角形.人们常把三角形数与数学家帕斯卡的名字结合起来，成了众所周知的帕斯卡

三角形.帕斯卡最早在他的书《论算术三角形》中写到如下的数字三角阵(图5)：

(a+b)0=11(a+b)1=1a+1b1 1(a+b)2=1a2+2ab+1b21 2 1(a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b31 3 3 1……………………………………图5

当我们想要论证一件一般事物时，就必须遵循由特殊到一般的原则，先给出一个个案的特殊规律，由特殊规律揭示一般规律.但是如果我们想要论证一个特殊的个案时，我们又必须遵循由一般到特殊的原则，从一般的规律着手揭示其特殊规律.虽然帕斯卡不是算术三角形的创始者，但是，帕斯卡运用由特殊到一般的理性精神，发现并证明了算术三角形的一些新的性质.

图6

一些表面上毫无相关的数学内容，实质上有着深刻的联系，斐波那契数列、牛顿二项展开式和帕斯卡三角形就是一个典型的例子.在这三者之间，存在着相互的联系.图6说明了它们之间的亲密关系：沿着帕斯卡三角形斜向点划线的数累加，便产生斐波那契数列，帕斯卡三角形的每一行，则代表二项式(a+b)某个特定乘方展开式的系数.

图6中，帕斯卡研究得出：在帕斯卡三角形中，对角线(图中虚线)上部分数的和等于最后一个数的下面一行左下方位置上的那个数.例如：从1到36的三角形数的和，等于最后一个数36的下面一行左下方位置上的那个数120(图上打圈的数)[3].

该方法对所有的对角线——自然数对角线、三角形数对角线、四面体数对角线、四维空间四面体数对角线，等等，都保持正确.

3　得分问题的解决——将敏感的现实问题转化为几何原则

帕斯卡在研究了帕斯卡三角形的性质之后，将其应用到多个领域，其中最为重要的应用是关于得分问题.所谓得分问题又称赌金分配问题，这是一个敏感的现实问题.任何一个社会，博弈都是一个与人类活动相伴的客观存在，如何让博弈相对公平？例如，在两个被给定有相等技巧的博弈者之间，在一个中断的博弈中，已知两个博弈者在中断时的得分以及在赌博中获胜所需要的分数，那么相应于已得的分数应如何分配赌金？帕斯卡将现实问题转化为几何原则，用算术三角阵对这个问题推出许多结论.

对于一般情况，A需要m分获胜，B需要n分获胜，选择帕斯卡算术阵的第(m+n)条对角线，然后，求此对角线的前n个数的和α和此对角线的最后m个数的和β，于是，赌金应依α∶β的比例划分.

帕斯卡解决了一般问题后，又用算术三角阵推出了很多结论.

例如，当博弈者超过两个时，或两个博弈者的技巧参差不齐时，其赌金分配问题.帕斯卡通过对这些得分问题的探讨，不仅让几何与现实联系更加密切，也为概率论的产生打下了基础.

很多人对现实事物有敏感的发现力，也具有探索规律的执着精神，具备成为几何研究者的性格特征，但这些人中的大部分却不能成为几何学家，其根本原因在于他们未能将敏感的现实问题转到几何学的原则方面来；而成为几何学家的人，就在于他们能看到自己身边的现实问题，并对问题产生探索的兴趣，并用几何学的简洁原则，解决问题并进行推论.

图7

4　三角阵算术——清晰的洞见力与严密推理的结合

帕斯卡构造的三角阵算术(图7)任一元素(在第二行或随后的行中)，是上一行中正好在它上面的元素及其左边的元素的和.如在第4行中35=15+10+6+3+1这种三角阵(不管是多少阶的)，如图所示那样画对角线就得到了，这条对角线上的数正是二项展开式中的逐次系数.又如第五条对角线上的数，即1、4、6、4、1是(a+b)4的展开式中的逐次系数.

我们能容易地证明：“算术三角形”的第五条对角线上的数分别为

帕斯卡不是算术三角形的创始者，但他发现并证明了算术三角形的一些新的性质.涉及算术三角阵的下列关系式，就是帕斯卡推导出来的.

1)算术三角阵的任一元素(不在第一行和第一列的)等于正好在它上面的元素和正好在它左边的元素的和；

2)算术三角阵的任一给定元素减去1，等于这行上面包括给定元素的列的左边的所有元素的和；

4)在第m行、第n列的元素等于在第n行、第m列的元素；

5)任一对角线上的元素和是上一对角线上的元素和的二倍；

6)第n条对角线上的元素和为2n-1.

帕斯卡推导出这些关系式，需要有异常清晰的洞见力和严密的推理，只有具备了这些理性精神才不至于根据这些已知的原则进行谬误的推理.

5　旋轮线的发现——数学与物理的有机结合

图8

帕斯卡的最后一部数学著作是关于旋轮线(此线用于拱桥)的，这条曲线是一个圆的圆周上一点，当该圆沿着直线滚动时的轨迹(图8).这条有很丰富的数学性质和物理性质的曲线，在微积分方法的早期发展中起到重要作用，并引导数学家们考虑：旋轮线绕各种不同的线转动得到的回转曲线和回转体，以及其他涉及所形成的图形的形心的问题，帕斯卡用微积分的不可分元法(该法等价于今天的定积分方法)解决了.旋轮线有许多引人注目的性质，被称作“几何学中的美人”和“争吵的祸根[4].

独轮手推车的发明应归功于帕斯卡.

《思想录》是世界上最伟大的随笔经典，400年来畅销，被译成几乎所有文字.《思想录》第一编关于精神和文风的思想，帕斯卡认为：凡是几何学家只要能有良好的洞见力，就都会是敏感的，因为他们是不会根据他们已知的原则做出谬误的推理的；而敏感的精神若能把自己的洞见力运用到那些自己不熟悉的几何学原则上去，也会成为几何学家的. 在《思想录》中，帕斯卡认为：大自然是把它自己的影子以及它的创造主的影子铭刻在一切事物上面的，天才地揭示了人因思想而伟大这一动人主题.帕斯卡的许多数学成就，是在前人基础上凭借几何学家的理性精神的进一步探索，推广数学概念就像超出我们能够想象的空间那样，在理性的前提下，在跟事物的现实比较中，将探索走向深入，因而在数学发展史上写下浓墨重彩的一笔.

[1] (美)霍华德·伊夫斯，数学史概论[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009:315.

[2] 吴维煊，中西方数学知识体系间的相互影响与融合[J]，牡丹江大学学报，2012(12):122-130.

[3] 吴维煊，由杨辉三角形构建的数学联系[J].数学教学研究,2010(2)：54-57.

[4] (美) 帕帕斯T.数学趣闻集锦(上册)[M].上海：上海教育出版社，2001：190-523.

The Rational Spirit and Mathematics Achievement ofPenseesby Blaise Pascal

LIU Zong-bao， WU Wei-xuan*

(Senior Vocational School of Economy and Trade, Suqian, Jiangsu, 223600, P.R.China)

The combined action of the spirits of geometry, sensibility and reason lead to the mathematics achievement. Pascal had keen interests in geometry and preciseness owning to sensibility and reason.Penseeswritten by Pascal reflected his thoughts and ranked one of the greatest essays in the world. Pascal contributed to the mathematics development by promoting the rationalism thoughts founded by Decare. On the one hand, Pascal carried on and forwarded the traditional rationalism, criticizing everything on the guidance of rationalism. On the other hand, Pascal showed his unique way to solve problems after realizing the immanent contradiction of rationalism.

Pascal;Pensees; spirits of geometry; mathematics achievement

2016-06-30

江苏省“十二五”规划2015年度立项课题：职校区域传统文化教育实践的研究——以宿迁为例(B-b/2015/03/061)作者简介：刘宗宝，男，江苏涟水人，江苏省宿迁经贸高等职业技术学校校长，副教授，江苏省特级教师，宿迁市名校长,江苏省优秀教育工作者，全国优秀教师，中国数学学会会员；

吴维煊,女,江苏连云港人，江苏省宿迁经贸高等职业技术学校教授,江苏省有突出贡献的中青年专家，宿迁市数学专业学科带头人,宿迁市数学学科领军人物,宿迁市职教数学中心组副组长.

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2095-3798(2016)05-0056-05