论述函数方程式与函数图像之间的关系

袁祯泷

【摘 要】函数方程式和函数图像是高中数学上常见的两个数学概念，二者互不相同，又相互关联、相互渗透，在特殊的条件下，这两者还可以相互转化，这就是函数方程式与函数图像二者之间的辩证关系。正确掌握和利用二者之间的关系，对以后做题具有重大意义。本文就来简单论述函数方程式与函数图象之间的关系，希望通过分享本人的学习经验能对同学们数学成绩的提高，提供微薄之力。

【关键词】函数方程式；函数图像；关系

1.引言

我们在高中数学中经常可以见到函数方程式与函数图像，二者之间的相互转化可能是某些数学大题的主要解题思路之一，掌握和熟悉这二者之间的关系，对学好数学具有重大意义。数学问题的解决，必然伴随着主观能动性的提高，必然伴随着对数学知识本质理解的加深。高中数学作为一门必修的基础学科，必然是初中数学的延伸，比初中数学需要更高的理解能力。数学能力的提高不仅仅是对数学课本知识的熟悉和掌握，更是数学思维的培养。函数方程式与函数图象的关系一直以来都是考试和高考的重要考点，熟悉并掌握函数方程式与函数图象的相互关系，并能学以致用，解决与之有关的题目和应用非常必要。

2.函数方程式与函数图象之间的关系

在数学领域内，函数是这样被定义的：若M、N都为非空的集合，若还存在一种对应关系为y，使得M中的每一个个体x，都对应N中的唯一一个个体，那么我们就称y为集合M到集合N的一个函数。对于函数方程式y=ax+b（a≠0）这个二元一次函数方程来说，它的函数图象是一条直线，方程式是那条之现在数学上的代数表达，直线图像是函数方程式直观的表现。对这个函数方程式来说，x是自变量，而y是因变量，也是函数值，y随x的变化而变化。若设y=0，函数方程式变成了ax+b=0，原二元一次方程就变成了一元一次方程，该方程的解就是直线与x轴的交点。若令x=0，原方程就变成了y=b，b即为直线与y轴的交点，b值也被称为截距。比如，函数方程式y=3x-3。该函数图像是一条直线，令y=0，即将原二元一次函数方程式变为一元一次函数方程式3x-3=0，解出x=1，即图像与x轴的交点是（1，0）；同理，令x=0，我们可以求出图像与y轴的交点为（0，-3），这样我们就可以在脑中构思出该函数的图像。同样，我们可以将之推广到二元二次函数方程式。

对于二元二次函数方程y=2x2-5x+2，因为2为正数，我们可以知道该函数的图像是开口向上的一个抛物线。该方程的解就是图像与x轴的两个交点，这两个交点我们可以通过十字相乘法来求：（2x-1）（x-2）=0，方程的解分别为0.5和2。又知道了方程的两个解，方程的图像我们就可以很容易得出。在由函数方程式画出的函数曲线上所有的点都是这个函数方程式的解；同时若一条曲线上所有的点都是某个函数方程式的解，那么这个曲线就是这个函数方程式的函数图象。

3.函数方程式的解的妙用

3.1函数方程式的解与函数图像切线

对于函数方程式y=x3+6x2-9x来说，假如经过点A（-1，n）能够做函数y图像的切线数量是3个，那么求n的取值范围是多少？这道题首先看起来很有难度，不知如何解题，那我们就先来找寻一个突破点，既然这道题与函数图象的切线有关，那么就先来求函数y的导数，y′=3x2+12x-9，所以切线的斜率就是3x2+12x-9。对于A点来说，其可能是切点，也可能不是切点，所以我们可以设切点为N（x0，y0），那么点A和点N都在切线上，由这二点求斜率，与上式连立，可得到一个关于n的有3个解的函数方程，既然要保证有3个解，那么我们通过作图，我们就可以得到n的取值范围在-5和-4之间。

3.2函数方程式的解与函数的值域

对于函数方程式y1=（1/3）x3-x2-x与函数方程式y2=2x+b在x属于[-3，4]上有2交点，求x的取值范围？我们要大概画出二者函数的图像，有些困难。由题目知，（1/3）x3-x2-x=2x+b这个等式在[-3，4]上有两个解，那么我们就转化得到的等式，将转化的等式作为一个新的方程来求解，再根据导数、极值和单调性做出大概函数图象，来解决题目。

4.结语

综上所述，函数方程式与函数图象是数学领域内的重要知识点，是高中学习阶段期末考试和高考的常见题目和拔高类题目。函数方程式与函数图象问题的解决，不仅可以提升同学做出一道大题的成就感，更可以加强对学习数学的自信心。熟悉、掌握和应用函数方程式与函数图象的相关知识，还可以了解数学从简入难的发展规律，促进认真思考、勤于动脑良好品德的形成，培养严谨、认真数学思维的形成，使同学们日后对数学的学习和复习更加得心应手。高考作为一个选拔性考试，不光考察表面的数学知识，更多的是考验同学对数学本质的了解，这就要求我们不仅要掌握基本知识，还要深入挖掘，领会数学知识点的本质。函数方程式与函数图象的关系是高中数学的重要部分，我们要从本质上了解函数，用函数的思想去做题，才能从根本上提高解决函数方程式与函数图象这类题目乃至整个数学的能力。

【参考文献】

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