面积巧分割，二元一次方程组来帮忙

马雁

摘 要：主要阐述了“实际问题与二元一次方程组”中的种植计划问题的探究过程，通过学生自主探究、合作交流、举一反三、触类旁通、自编习题这几个环节，提升学生主动探索、独立思考、自主创新的能力，使他们更深刻地体验到二元一次方程组在现实生活中的强大作用，凸显出数学来源于生活，又服务于生活。

关键词：二元一次方程组；种植计划问题；面积分割；等量关系

二元一次方程组是刻画现实世界的有效数学模型，用它解决实际问题的一般方法是根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组，求解并检验所得问题的结果是否符合实际意义。其中，关键是寻找实际问题中的等量关系。这就对学生分析问题和解决问题的能力有较高要求。

例题：（种植计划问题）据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2，现要在一块长200 m，宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？

方案一：竖分

方法1：如图1，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE=xm，BE=ym，根据总产量比列方程组：

x+y=200100x∶200y=3∶4 解得x=120y=80

答：过长方形土地的长边上离一端约120m处，把这块地分为两个长方形.较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物.

方法2：设甲面积为x m2，乙面积为y m2，列方程组

x+y=20000x∶y=3∶4 解得x=12000y=8000

答：过长方形土地的长边上离一端约120m处，把这块地分为两个长方形.较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物.

（2）方案二：横分

方法1：如图2，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形ABEF和DCFE.设AE=xm，DE=ym，根据总产量比列方程组.

x+y=100200x∶400y=3∶4 解得x=60y=4

答：过长方形土地的短边上离一端约60 m处，把这块地分为两个长方形.较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物.

方法2：设甲面积为x m2，乙面积为y m2，列方程组

x+y=20000x∶2y=3∶4 解得x=12000y=8000。

答：过长方形土地的短边上离一端约60 m处，把这块地分为两个长方形.较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物.

实际上，按面积分割长方形的问题可转化为分割边长的问题，分别分割长和宽，进而找到等量关系：甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4。列二元一次方程组求解得到结果。

为了让学生对二元一次方程组深度的思考，增加解决实际问题的实践，发挥学生主动性，自主探究的积极性，把实际问题模型化的思想提到了新的高度。下面是学生自己搜集编制的变式题或类型题。

【变式1】长方形土地，分成一个三角形，一个梯形；

据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2，现要在一块长200 m，宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两部分，其中一部分为三角形，使甲、乙两种作物总产量的比是3∶10，请你设计一种分割方案，并通过计算说明。

【变式2】长方形土地，分成两个梯形；

有甲、乙两种作物，它们的单位面积产量的比是1∶2，现有一块长200m，宽100m的长方形土地，从某边的中点引一条线段，怎样把这块地分为两个梯形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？

【变式3】三角形土地，分成两个三角形；

一块三角形土地ABC，底BC长160 m，高AD长50 m，将三角形ABC分成2个小三角形，以A为顶点，已知种两种花甲、乙，要使甲、乙单位面积费用的比是2∶3，总费用比为2∶5，该如何划分？

三个变式题由学生讲解解答过程和思考方式。在此基础上归纳总结：与例题的相同与不同，解法上的异同。本题注重解法多样性展示，引导学生合作讨论，并养成多题一解。一题多解的思维习惯。

通过利用二元一次方程组解决实际问题，使学生积极参加数学活动，激发学生的学习兴趣，体验到数学活动充满探索与创造。初步接触并感知一定的数学思想，能用数学思想来指导，形成良好的数学思维策略，从而提高学生的学习能力与效率。

参考文献：

[1]张守丽.二元一次方程组与生活实际问题[J].数学学习与研究（七年级学生适用），2008（3）.

[2]印登清.关于《实际问题与二元一次方程组》的教学设计[J].数理化解题研究（初中版），2014（5）.