用帕斯卡线解答数学问题2284

李伟健

(安徽省滁州中学 239000)

帕斯卡线是圆锥曲线中一条重要性质，反映了射影变换的不变性质—结合性，本文拟从帕斯卡线的角度解答数学问题2248，解答过程中，发现了数学问题2248存在另一对平行的直线．

Pascal线对于任意一个内接于非退化的二阶曲线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上，即Pascal线．

数学问题2284如图，非退化二次曲线c内接三角形ABC内接四边形DEFG满足：DE∥AB，EF∥BC，FG∥CA．过点A作直线l∥DG．求证：直线l是二次曲线c的切线．

证明将这一问题放入射影空间，从射影空间看，互相平行的直线是交于无穷远点的直线，设M=DE×AB，Q=EF×BC，N=FG×CA，且设K=AE×BG，T=AA×DG，无穷远直线记为l，

(1)曲线c的简单六点形AEFGBC，其帕斯卡线为三点AC×FG=N，BC×FE=Q，AE×BG=K连线，此帕斯卡线为直线l，所以K∈l；

(2)曲线c的简单六点形ABGDEA，其帕斯卡线为三点AB×ED=M，EA×GB=K，AA×GD=T连线，此帕斯卡线为直线l，所以T∈l；

因此，从欧几里得平面看非退化二次曲线c在点A处的切线平行于直线DG，所以直线l是二次曲线c的切线．

从证明的过程看，由于K∈l，一旦连接AE、BG，直线AE与直线BG必然平行．

因此说数学问题2284实际上是一个射影命题，因而它的本质解答必然是属于射影几何的，原解答从曲线方程的角度解答，计算量实在是太大了，所以笔者在此呼吁，中学阶段的圆锥曲线问题的探究活动，迫切需要射影几何指导．师范大学应对此重视，毕竟这对提高中学数学教师对圆锥曲线的探究水平，乃至教学水平都是一件经得起时间考验的事情．