解析几何课程难度的定量分析比较

杨新玲

（古浪县第一中学，甘肃 武威）

解析几何是几何方法与代数方法相结合的第一次尝试，在高考试卷中一般以解答题的形式出现，学生需要用代数的方法计算证明几何问题，所以解析几何给人的直观感受就是难度较大。如果一门课程需要在有限的课时内，学习太多的知识点，每个知识点的掌握都需要学生进行很多的推理和运算步骤，那这门课程的难度系数自然就会增加，可见课程难度与课程时间、课程广度和课程深度都有关系，其中与课程时间反比，与其他两个因素成正比。《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）是课程的基本理念、课程目标、课程实施建议等的详细阐述和要求，是最低限度的教学要求，《高中数学教学大纲》（以下简称《大纲》）是每门学科的教学纲要，包括教学目标、任务、教学内容的范围、深度和结构、教学进度等的基本要求，也是对学生进行考核的出题范围及出题深度的纲要性文件。以下，笔者对《标准》与《大纲》中的要求对解析几何部分进行难度分析，并针对难点提供解题思路。

一、高中解析几何课程难度分析

在《标准》中解析几何的内容是分层次的，对于选修文科的学生和选修理科的学生，部分内容是要求不同的。在课程广度上，《标准》中解析几何包括必修2的直线与方程、圆与方程、空间直角坐标系，以及选修课的圆锥曲线与方程；《大纲》中的解析几何包括直线和圆的方程、圆锥曲线与方程两部分内容均在必修当中。在课程时间上，《标准》中理科生解析几何总课时是34个学时（文科生总课时是30个学时本文不做考虑，只比较对理科生来说的《标准》与《大纲》的比较），而《大纲》中授课总时数为40个学时。从课程难度来说，《标准》比《大纲》的课程难度要大，《标准》中对解析几何的要求有以下特点：内容渗透着数形结合的思想，注重知识发生发展的过程强调几何背景。

例如《标准》中要求学生经历椭圆曲线的形成过程，让学生对圆锥曲线的定义和几何背景有个深入的了解，并提出有条件的学校要发挥现代信息技术的应用，用计算机演示出平面截圆锥得的圆锥曲线，这样可以使学生对所学的知识有切身的实践和体现，通过看演示过程，更能发现空间几何图形与解析几何中的一些结论，并能将这些思想和方法用到解题过程中去。

从几次大纲的修订来看，现行的2003年的《标准》在解析几何部分的课程时间在减少，课程广度和深度相对以前的1996年和2000年的《大纲》来说没有相应地减少，反而是增大了，尤其是课程深度增大比较明显。

二、高中解析几何难点的解题思路

从问卷调查来看，笔者发现学生在解析几何的基本定义与概念理解上问题不大，但一到实际运用环节却表现较差。经过分析后，笔者认为解析几何比较难的原因是：学生对基本定义与概念更加偏向于机械地记忆，缺乏真正的理解，也不能在知识点间建立有效的联系。其实，解析几何就是一个对几何方法和代数方法的综合运用。就像《标准》所要求的那样，教师在课堂教学中应注重让学生通过自主学习获得知识，体会解题的技巧，养成良好的数学思维习惯，这样才能从根本上解决这个“一看就懂一用就错”的问题。以下笔者总结了几种比较常见的解题方法。

1.利用“韦达定理”设而不求

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系，所以是解答解析几何题非常有效的工具，在考题中，很多题目都是将圆锥曲线与直线综合起来考查，利用知识交叉点进行出题。这类题目在解答过程中，一般不容易求出交点坐标，但是可以通过联立方程组，利用韦达定理得到交点坐标的和与积。

2.利用“点到直线的距离公式”建立等量关系

如果考题当中涉及了直线与圆相切，那么我们可以利用点到直线的距离公式建立联系。因为这时，圆心到切线的距离就是圆的半径，设 M（x0，y0），直线 l：Ax+By+C=0，则点 M 到直线 l的距离是这样可以得到很多有用的结果。这个点到直线的距离有时是三角形的高，有时是直线的垂直关系而产生的距离，学生要学会灵活运用该知识点，才能真正服务于解题。

3.利用“两点间的距离公式”求弦长

如果高考题目当中出现一条直线被圆锥曲线截得一段线段，要求它的长度时，弦长一定与两个交点的坐标有关，所以在解答的过程中，最好是设直线的斜率是 k，交点为 A（x1，y1），B（x2，y2），通过建立一个直角三角形就可以很容易得到的形式，解后就可以通过韦达定理求解。

本文用定量的方法对《标准》与《大纲》中高中解析几何部分的难度进行了分析，得出由于这部分内容在《标准》中课时减少，课程广度和深度都有所增加，更加注重学生对数学原理的理解，以往只是记住公式的做法，在遇到问题时不能发挥作用，所以笔者列举了几个难点进行了解析。