相干耦合非线性薛定谔方程的孤子解

赵晓莹，宋 妮，雷宇祥

（中北大学 理学院，太原 030051）

在过去的几十年里，对非线性薛定谔方程的研究已经引起了学者们的广泛关注［1-2］。Hao等［3］研究了非齐次离散非线性薛定谔方程并利用达布变换法导出了该方程的调制不稳定性条件和凝聚定律，同时在消失和非消失背景下，给出了非齐次离散非线性薛定谔方程的两类显式解。Mehmet Ekici等［4］在克尔定律和抛物定律这2个非线性定律的基础上，利用扩展的雅可比椭圆函数展开法，得到了谐振非线性薛定谔方程的雅可比椭圆函数行波解。Song等［5］研究了非齐次高阶非线性薛定谔方程的n阶波动问题。在海森堡铁磁自旋系统的基础上，生成了高阶非线性薛定谔方程。基于广义达布变换，得到了该方程的n阶怪波解，并利用数值模拟，描绘出解析解的非线性数值图。Zhou等［6］研究了与空间参数有关的非线性薛定谔方程，模拟出具有失谐、时空色散、多模态色散和光纤增益或损耗等特性的孤子在空间非均匀光纤中的传播。通过ansatz方法，得到了一定系数约束下的解析钟形解、扭结解和奇异孤子解。Li等［7］研究了海森堡铁磁链下的（2+1）维4阶非线性薛定谔方程的孤子与怪波解。利用一种规范变换，将此方程的非零位Lax对转换为一些常系数微分方程，再求解方程，得到了非零势Lax对的向量解。通过线性稳定性分析，给出了平面波解调制不稳定的条件。然后，利用达布变换给出了N孤子解以及N阶怪波解的行列式表示。

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众所周知，非线性薛定谔方程可以描述孤子以及怪波在非均匀介质中的传播［8］。然而，由于所研究问题的复杂性，单分量非线性薛定谔方程已经无法很好地描述孤子及怪波传播性态的复杂性［9-11］。例如，光孤子在单模光纤中的传播可以由非线性薛定谔方程来刻画，而当考虑不同频率或偏振下多个光纤元件之间的碰撞时，则需要利用耦合非线性薛定谔方程描述其传播过程。随着对耦合非线性薛定谔方程的深入研究，发现在非线性光学［12］、等离子体［13］、力学［14］以及玻色-爱因斯坦凝聚［15］等领域都有着广泛的应用。利用达布变换法，Wang等［16］研究了具有非线性交替符号的相干耦合薛定谔方程的光学怪波，得到了怪波的结构族，包括具有1个波峰2个波谷的怪波以及具有1个波峰或2个波峰却没有波谷的亮怪波。利用高阶紧化法，Kong等［17］将具有经典哈密顿形式的三分量耦合非线性薛定谔方程转化为有限维哈密顿系统，采用2阶平均向量场（AVF）法进行实时性分析，得到了一种高效节能方案。

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1 相干耦合非线性薛定谔方程

主要研究具有交替非线性符号的相干耦合非线性薛定谔方程

式中：q1，q2是与自变量x和t有关的光滑复包络函数；x代表归一化距离；t代表延迟时间；γ代表非线性强度［18］。利用非标准的Hirota双线性法，Sakkaravarthi K等［19］获得了方程（1）的单孤子以及双孤子解。当γ＝2时，基于达布变换迭代算法，Zhang等［20］得到了耦合非线性薛定谔方程的单峰与双峰孤子解。本文中利用广义达布变换，着重研究式（1）的2阶孤子相互作用的动力学特性。目前还没有相关文献对其进行研究。

其中hi1和hi2（i＝1…4）是复杂的参数且不全为零。将代入达布变换［17］，得到了相干耦合非线性薛定谔方程的1阶半有理函数解，

2 经典达布变换及广义达布变换

在零振幅背景下［11］，讨论相干耦合非线性薛定谔方程2阶孤子的动力学行为。在方程（6）中，通过选取不同的参数值，可以得到以下3种情况：

式中λ代表光谱参数，

利用Lax对的零曲率方程Ut-Vx+［U，V］＝0，可得到相干耦合非线性薛定谔方程（1）。假设种子解q1［0］＝q2［0］＝0，则Lax对式（2）（3）的解如下：

结构安排如下：在第2节中，引入式（1）的Lax对，利用经典达布变换以及广义达布变换，得到方程的1阶以及2阶孤子的表达式。根据所给出的种子解q1［0］和q2［0］以及矢量本征函数 Φ［0］，利用泰勒级数和达布迭代法，求出1阶与2阶孤子解。在第3节中，基于2阶孤子解，利用数值模拟，得到了2阶孤子相互作用的动力学行为三维图。在第4节中，给出了相干耦合非线性薛定谔方程的一些结论。

① 当Re（λ1）≠Re（λ2）（Re表示复数的实部），如图1（a）所示，在q1分量中单峰孤子之间发生相互作用，呈”十”字交汇状并在两峰交汇处会产生大振幅孤子。在q2分量中孤子的形态由单峰变为双峰并发生相互碰撞，呈双“十”字交叠在一起并在两峰交汇处产生2个大振幅孤子。值得注意的是，q1与q2分量的振幅存在很大差异但它们的相位并未发生任何改变。q1分量振幅在5左右，而q2分量振幅在0.4左右。如果改变λ1的取值，孤子之间会发生相互吸引的现象，如图1（b）所示。当增大γ的取值，会使孤子的振幅变大。

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3 孤子的相互作用及结论

方程（1）的Lax对如下：

② 当lm（λ1）≠lm（λ2）（lm表示复数的虚部），如图1（c）所示，在q1分量中单峰亮孤子之间形成束缚态，并发生了周期性的相互吸引或排斥。在q2分量中双峰孤子之间的动力学性态与q1类似。与①类似，q1与q2分量的振幅变化很大，但其相位没有发生任何改变。

图1 2阶孤子的动力学性态图

学校可以开展针对任务型教学法的观课、评课比赛。通过学习其他教师的教学优势，提高自身素质，定期检查教案，评比教案。教师需要反复收集材料，处理材料，设定任务，精算时间。这是一个班级成功的关键。备课是一项艰苦的心理活动，教师必须在有限的时间内计划好所有的步骤，准备应对紧急情况的策略。与没有任何准备的纯教学相比，它有不同的效果。在任务的设计上，一个课时的任务数量要根据教学内容来设置。它不能太多或太少。Skehan曾说过，“任务型教学的核心是让学生通过学习语言完成任务。”[1]任务设置必须有针对性。通过完成这项任务，学生将掌握一些技能。老师应该掌握这项工作的困难程度。

2）当h21＝h32＝h41＝0，lm（λ1）≠lm（λ2），如图2（a）所示，在q1与q2分量中，孤子之间发生相互碰撞。其中，在q1分量中一组单峰孤子与一组双峰孤子之间形成周期性相互作用，其传播方向与t轴平行。在q2分量中一组单峰孤子变为双峰孤子并与另一组双峰孤子之间发生周期性的相互吸引与排斥，其传播方向仍与t轴平行。

简化检定法要点：在每个仪器站上用望远镜盘左和盘右对每个目标点进行观测，获取目标点的三维坐标（x，y，z），这样在2个仪器站上共获得16组目标点的三维坐标测量数据。每次设立仪器站，仪器度盘的初始方向无特定要求，可以是任一数值，但在整个观测期间，需要保持目标点稳定可靠。

图2 2阶孤子的动力学性态图

4 结论

主要利用广义达布变换求解相干耦合非线性薛定谔方程的2阶孤子解。通过改变参数的取值研究了2阶孤子之间相互碰撞的动力学特征。利用数值模拟，做出了一系列孤子相互作用的三维图并对其进行了分析。