培养想象能力 发展空间观念
——《长方体的表面积》素养进阶习题展评与教学建议

文|王灵勇

一、习题展示

●习题一

1.习题内容

下图的长方体中摆了6 个1立方厘米的小正方体，这个长方体的表面积是（）平方厘米。

2.能力指向

史宁中教授在《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》一书中指出，面积是对二维空间图形的度量。本题注重引导学生灵活运用空间想象能力，通过数学想象和推理，在头脑中建构完整的立体图形的过程，强化学生获得部分数学信息时对它进行深度加工，沟通一维、二维与三维空间之间的联系，让学生明白计算长方体的表面积需要度量出它的长、宽、高。本题注重考查学生的空间想象、几何推理和应用意识。

3.学情分析

测查了城区学校2 个班92名学生，乡镇学校3 个班144 名学生，测评统计结果显示大约67.8%的学生能正确完成。分析学生的解题过程，并对错误的学生进行访谈，学生出现错误主要有以下原因：（1）空间观念薄弱，没理解题意，不能通过正方体度量出长方体的长、宽、高，尤其是宽，部分学生认为宽是3 厘米或2 厘米；（2）对长方体表面积本质概念没有理解，计算能力薄弱，表面积计算错误。

●习题二

1.习题内容

人工智能时代已经来临，越来越多的人工智能走进了我们的生活。“扫地机器人”就是其中之一。根据统计，全球个人及家用服务机器人2020年销售额约65亿美元。2020年～2023年全球服务机器人销售总额将达到345 亿美元，其中个人及家用服务机器人销售总额为274 亿美元。

请为某品牌“扫地机器人”设计一个长方体包装盒，至少要用多少纸板？（粘贴处忽略不计）

某品牌扫地机器人技术参数

2.能力指向

哈尔莫斯指出，“数学是一种别具匠心的艺术”。通过本题考查学生的数学阅读能力、空间想象能力、数学创新应用能力、长方体的表面积计算知识。某品牌扫地机器人的参数信息标注的众多数据形成了数据干扰，学生应根据需要寻找有价值的数学信息，从而解决问题；其次为圆柱体设计长方体包装盒，需要借助一定的空间想象能力，学生在解决问题的过程中头脑经历了从二维平面空间向三维立体空间的转化，真正让学生在想象操作中培养空间观念。

3.学情分析

抽样测查了城区、乡镇学校的学生，测评统计结果显示大约65.8%的学生能提取有价值的数学信息，借助扫地机器人的直径和高度数据，通过空间想象构建出长方体包装盒，并进行正确计算。大约25.5%的学生不能从商品信息中提取出有效的数据并进行分析整理，尝试解决。另有大约8.7%的学生计算过程出现了错误。

●习题三

1.习题内容

学校科学创作小组的同学设计了一款机器零件中的电池，用棱长为1 厘米的小正方体电池拼成一个长方体电池（如下图），后来小设计师们发现，如果去掉1、2、3、4、5 中的几个小正方体电池，不仅不影响电池使用效果，还能节省资源，增大电池的接触面（即表面积比原来增加了）可以增强电池性能。如果你是设计师，你觉得可以去掉哪几个小正方形，具体有哪几种可能？哪种表面积增加最大？可以画一画或者说一说你的理由。

2.能力指向

此题具有一定的开放性，学生能正确理解长方体、正方体表面积的概念，目的在于发展学生空间想象能力，培养学生的创新意识和应用能力。探索正方体个数与表面积两者之间的内在联系。小正方体个数减少，表面积可能增加、也可能不变，学生能根据题意，提取有效的信息进行分析，培养学生进行有序思考，规范答题的习惯，发展几何直观和推理能力。

3.学情分析

根据学生解决问题的具体表现，划分为四个水平层次，如表1。

表1

测评统计结果显示：测试学生的水平大多集中于水平0、水平1、水平2。大约52.4%的学生能够简单阐述或直观说明自己的结论，但是思考的过程比较零散，缺少整体性。大约15%的学生只作答了其中的一个问题。只有大约5%的学生能进行有序思考，通过数形结合对比每一种方法，具有严谨的解决问题思路。

二、教学建议

1.加强操作想象，丰富活动体验，培养空间观念

空间观念对于学生来说比较抽象，要形成丰富的操作活动经验，还需依赖于表象。如习题1，教师在教学中需要加强操作体验活动，精心准备教具、学具供学生动手操作，同时可以借助多媒体———如几何画板的动态演示给予学生更直观的观察和认识。同时教师应注重想象和推理活动的设计，如：摆一摆小正方体活动，提供部分小正方体摆一摆（出现长、宽、高），为学生搭建完整的长方体架构提供帮助。也可以设计拆一拆活动，让学生想一想长方体中最多拆掉几个小正方体仍然能想象出长方体原来的模样（留下长、宽、高）。在操作体验、观察想象中，重点引导学生观察长方体的长、宽、高和小正方体之间的关系，说说自己是怎么想的，尤其是长和宽如何得到的。帮助学生加强对图形内在关系的认知，建立正确的图形表象，培养学生的空间观念。

2.注重生活应用，加强数学阅读，培养创新意识

教学中需要让学生尝试解决一些创新性的习题，学生在掌握知识技能的同时，经历综合运用与想象推理的过程，特别是综合运用信息读取能力、空间想象推理能力等多种能力。如习题2，教学中需加强数学阅读，培养学生信息提取能力，综合运用相关数学信息解决问题的能力。针对每个专题的数学教学内容，教师向学生推荐适合本学段学生年龄特点的数学百科课外知识，搭建展示交流的平台，引导学生养成边阅读边思考的好习惯。复习中，注重数学与生活的联系，培养学生的创新意识和应用意识。针对某品牌“扫地机器人”设计长方体包装盒，至少要用多少纸板的问题，让学生想象包装好以后的形状，需要用到哪些数据。有效选择相关的数据信息，根据数据信息想象出长方体长、宽、高。学生通过想象与说理，培养创新意识。

3.设计开放习题，渗透有序思维，培养推理能力

教学中要有意识地设计有一定思维含量的练习，让学生体会思维的有序性与想象推理的作用。如习题3，此题是一个开放题，是长方体表面积知识的拓展运用，探索小正方体数量与长方体表面积之间的关系。首先，用几个规格相同的小正方体拼一拼、看一看、说一说，拼的过程中仔细观察，小正方体个数和表面积是怎么变化的。其次，从大长方体中去掉1、2、3、4、5 中的一个小正方体，发现表面积和个数是怎么变化的。如：去掉第1 个时，由于在顶点处，减少3 个面，同时也增加3 个面，其实就是表面积不变，第5 个和第1 个同理，表面积不增加的一个个逐一排除，表面积增加的一个个罗列出来。随后继续探讨去掉2 个、3 个、4 个、5 个的情况，过程中引导学生想象去掉1个正方体的方法策略，反思去掉哪几种可以增加表面积，对之前的学习经验进行迁移运用。通过开放性练习，渗透有序思维，培养推理能力。