局部强紧空间的若干性质

邓梦其，蔡 琳，李美琪，张文锋

（江西科技师范大学大数据科学学院，江西 南昌 330038）

1 前言

作为连续domain[1]和广义连续格[2]的共同推广，Gierz、Lawson 和Stralka[3]引入了拟连续domain 的概念，并证明了具有Scott 拓扑的拟连续domain 正是分配超连续格的谱。拟连续domain 具有许多类似于domain 的性质。目前，这方面的研究已经取得了许多显著的成果[4-10]。拟连续domain 通常是按序理论方式定义的，但它们也存在拓扑式描述（比如局部强紧空间[10]）。局部强紧空间由于其在拓扑学、范畴论、序论和计算机科学方面的应用已被人们广泛研究[10-12]。

在一般拓扑空间中，两个紧集的交不一定是紧的。Lawson[13]引入了性质M，证明了对于连续domain P，任意两个Scott 紧上集的交仍是Scott 紧的当且仅当P 关于某一（任一）基满足性质M。其后，张文锋和徐晓泉[14]引入了性质MF，证明了对拟连续domain P，任意两个Scott 紧上集的交是Scott 紧的当且仅当P 关于某一（任一）基具有性质MF。本文将继续讨论局部强紧空间的一些性质，并进一步研究局部强紧空间上的紧性问题，同时给出了局部强紧空间上任意两个紧上集的交仍是紧的一个等价刻画，推广了拟连续domain 上的相关结果。

2 预备知识

设P 为一偏序集，令P（＜ω）＝{F⊆P ：F 是有限的}，Fin P ＝{↑A ：A∈P（＜ω）}。对∀x∈P，A⊆P，令↑x ＝{y∈P ：x ≤y}及↑A ＝∪a∈A↑a 。A 称为P中的上集，若A ＝↑A。对偶地可以定义↓x 和↓A。D⊆P 称为定向集，若D 是非空的，且对∀d1，d2∈D，∃d3∈D 使得d1，d2≤d3。P 称为定向完备偏序集（简记为dcpo），若对任意定向集D⊆P，∨D 存在。

设P 是偏序集，P 上的全体上集构成的拓扑称为Alexandroff 拓扑，记作α（P）。U⊆P 称为Scott 开集，若U 满足：（1）U ＝↑U；（2）对任意定向子集D⊆P，当∨D 存在且∨D∈U 时，有DU ≠Ø。P 上的全体Scott 开集构成的拓扑称为Scott 拓扑，记作σ（P）。以{P ↓x ：x∈P}为子基生成的拓扑称为上拓扑，记为ν（P）。P 上一拓扑τ 称为序相容的，若ν（P）⊆τ⊆α（P）。

设（X，τ）是一个拓扑空间，A⊆X。符号clτA 和intτA 分别表示A 关于τ 的闭包和内部。A 称为空间（X，τ）的紧子集，若A 的每个开覆盖有有限子覆盖。

对任意T0空间（X，τ），X 上的特殊化序“≤”定义如下：x ≤y ⇔x∈clτ{y}。若X 是T0的，则≤是X上的一个偏序。本文中关于T0空间的所有序理论的陈述和概念（包括上集和下集等）都是指特殊化序。

定义2.1[10]一个T0空间（X，τ）称为局部强紧空间，若∀x∈U∈τ，∃F∈X（＜ω）使得x∈intτ↑F⊆↑F⊆U。

定义2.2[1]设X 为一个dcpo。

（1）一非空集族Φ⊆2X称为定向的，若∀H，K∈Φ，∃G∈Φ 使得G⊆↑H↑K。

（2）∀A⊆X 及∀x∈X，称A way below x，记为A≪x，若对任意定向集D⊆X，x ≤∨D⇒D↑A≠Ø。

（3）X 称为拟连续domain，若∀x∈X，集族{↑F∈Fin X ：F≪x}是定向的且↑x ＝∩{↑F∈Fin X：F≪x}。

定理2.1[1]一个dcpo X 为拟连续domain⇔∀x∈X 及U∈σ（X），x∈U⇒∃F∈X（＜ω）使得x∈intσ（X）↑F⊆↑F⊆U。

推论2.1 一个dcpo（X，σ（X））是局部强紧空间⇔X 为拟连续domain。

定理2.2 表明，dcpo P 上的Scott 拓扑σ（P）具有Rudin 性质。

3 主要结果

引理3.1 设（X，τ）为T0空间。考虑以下条件：

（1）（X，τ）是局部强紧的；

（2）对（X，τ）中的任一紧集K 及U∈τ，若K⊆U，则∃F∈X（＜ω）使得K⊆intτ↑F⊆↑F⊆U；

则（1）⇔（2）⇒（3）。若（X，τ）具有Rudin 性质，则（3）⇒（1）。

证（1）⇔（2）：由[Proposition 3.1，10]。

推论3.1 设（X，τ）是局部强紧空间且K⊆X。则以下两条件等价：

（1）K 在（X，τ）中是紧的。

（2）∃F∈X（＜ω）使得K ＝↑F。

下面给出本文的主要结果。

定理3.1 设（X，τ）是局部强紧的。考虑以下条件：

（1）任意两个紧上集的交仍是紧的。

（3）对任意两个紧上集A，B，存在一个定向族Φ⊆Fin X 使得A B＝∩Φ。

则（1）⇒（2）⇒（3）。若（X，τ）具有Rudin 性质，则（3）⇒（1）。

证（1）⇒（2）：由引理3.1。

由定理2.2 及定理3.1，得到下述推论：

推论3.2 设τ 是dcpo P 上序相容拓扑且τ⊆σ（P）。若（P，τ）是局部强紧空间，则下列两条件等价：

（1）任意两个紧上集的交仍是紧的。

推论3.3[14]设P 为拟连续domain。则以下两条件等价：

（1）任意两个Scott 紧上集的交仍是Scott 紧的。

4 结论

局部强紧空间是拟连续domain 的一种重要推广，本文讨论了局部强紧空间的一些性质，特别研究了局部强紧空间上任意两个紧上集的交在什么条件下仍是紧的紧性问题。给出了其上任意两个紧上集的交仍是紧的一个等价刻画，推广了拟连续domain 上的相关结果。