k次幂等矩阵下Yang-Baxter矩阵方程所有解*

廖 洁,李沅津,卢甫龙,周端美,†

(1.赣南师范大学 数学与计算机科学学院;2.赣州市南康区第十中学,江西 赣州 341000)

0 引言

设A是一个n×n的复数矩阵,满足Ak=A. 本文主要考虑非线性二次矩阵方程

AXA=XAX

(1)

的所有解,其中X是一个未知矩阵. 方程(1)也被称为Yang-Baxter矩阵方程, 因为它在形式上和经典的Yang-Baxter矩阵方程[1-2]相似. Yang-Baxter方程先后由诺贝尔奖得主杨振宁教授在理论物理学[1]中和R. J. Baxter在统计力学[2]中提出. 后来该方程成为数学物理学中的一个基本方程, 更确切的说是量子群理论的入门的基本方程[3],同时在扭结理论、量子场论、C*-代数、环链不变量、量子群、保形场论和非交换几何中起着至关重要的作用[3-5].

对于方程(1)所有解的研究有文献[6-15],这些研究都是先假定系数矩阵A具有特殊结构.当系数矩阵A是二次幂等矩阵(A2=A)[6-7],三次幂等矩阵(A3=A)[8],四次幂等矩阵(A4=A)[9],对和矩阵(A2=I)[10-12],给出了方程(1)所有解的显式表达式.但是有一些表达式还不是显式表达式,还需进一步挖掘.由于受到丁玖教授对对和矩阵[10-11]和幂等矩阵[6-7]的研究,陈冬梅教授[13]给出了系数矩阵为特征值为{1,α,0}的可对角化矩阵时,方程(1)所有解的表达式;沈冬梅教授和魏木生教授[14]则给出了系数矩阵为两个不同特征值时方程(1)解的显式表达式,但实际上还未完全解决.陈冬梅教授还得出系数矩阵为可对角化矩阵的方程(1)的所有解一定可对角化,且非零特征值只能是系数矩阵A的特征值,其代数重数也不超过A的对应特征值[15].本文的主要目的是应用文献[15]的结论,寻找系数矩阵A是满足Ak=A时,Yang-Baxter矩阵方程(1)的所有解.

1 k次幂等矩阵的解

为了阐述主要结果,首先给出下面引理.

引理1[15]设J=diag(λ1In1,λ2In2,…,λtInt),其中λ1λ2…λt≠0,λ1,λ2,…,λt的代数重数分别为n1,n2,…,nt.矩阵方程ZJZ=JZJ有如下性质.

(2)

由于Z4未在(2)中出现,因此Z4可以取任意矩阵.

证毕.

若k=2,即A2=A,那么存在可逆矩阵T使得A=Tdiag(Im,0)T-1,可得到如下推论.

若k=3,即A3=A,那么存在可逆矩阵T使得A=Tdiag(It,-Is,0)T-1,可得到如下推论.

例1设A=diag(1,1,-1,0),则A2≠A,但A3=A.根据推论2可知,存在一个非奇异矩阵P,使得P-1Z1P=Λ,不考虑对角线元素编排顺序的条件下,Λ可能情况如下:

2 结论

当系数矩阵A满足Ak=A时,本文给出了矩阵方程AXA=XAX所有解的结构.定理1中的非奇异矩阵P还未完全确定,如何确定这个矩阵,这将是以后的一个研究课题.