高中数学教科书建模情境分析

钟晓翠 张昆

摘      要

数学建模是高中数学课程改革的重点内容，而问题情境是数学建模内容的主要载体。以人教A版、沪教版高中教科书为研究对象，从“内容分布”“类型及数量”“真实性水平”“表征特征”“建模层次”5个维度比较两版教科书数学建模问题情境，研究发现如下几项特点：两版教科书中数学建模问题情境的内容分布相对集中；各类问题情境下多少不等，较少渗透“数学文化情境”；沪教版注重真实性水平中的“纯现实情境”，而人教版更关注“真实情境”；表征特征相对突出“复合型表征”，对“综合型表征”运用极少；人教A版重视“理解模型”，沪教版则更关注“建构模型”。据此得出数学建模问题情境在教科书编写与教师教学方面的四点建议。

关 键 词

高中数学教科书；数学建模；问题情境

引用格式

钟晓翠，张昆.高中数学教科书建模情境分析[J].教学与管理，2024（06）：78-81.

一、研究背景

数学建模是将数学知识运用于其他研究领域的基本手段，不仅成为信息时代专业人才的必备技能，更成为数学教育领域不可或缺的教学内容[1]。数学建模问题情境则是学生学习数学建模的主要载体，它们从各个维度刻画着数学建模的全貌，并蕴含着丰富的数学素养[2]。近年来，随着数学核心素养概念的提出，设置合适的数学问题情境是培养学生发现问题、综合运用知识、数学创造性思维等能力的优质教学资源，启发学生处理情境任务获得处理活动的经验，已成为数学教学改革的重要议题[3]。因此，针对问题情境的整体特性进行深层次刻画的研究受到数学教育界广泛关注。陈志辉在Yeping Li等研究基础之上，将数学情境划分为6种类型，并将每类数学情境的分析因素确定为数学特征、表征特征和任务特征3个维度，提出了描述数学问题情境水平的六情境三维特征分析模型[4]。陈敏等关注学生在解决数学问题时，情境的构成对于认知所产生的正向或负向影响，由此提出了背景素材特征、语境呈现方式、语境干扰程度、任务挑战水平4个维度的数学问题情境分析框架[5]。李保臻等通过对数学建模问题情境的内涵分析，从内容分布及编排、类型及数量、真实性水平、表征特征4个维度建立高

中教科书中数学建模问题情境比较分析框架[6]。

这些文献对于本研究的选题、确定研究框架与形成研究过程都具有帮助，但是从数学建模的角度深层刻画数学建模问题情境的研究较为少见。因此笔者在李保臻等数学建模问题情境分析框架的基础之上，参考吴凌菲等对建模层次的划分[7]，重新思考“建模层次”情境分析的必要维度，建立数学建模问题情境的五维特征分析框架。

二、研究设计

1.研究对象

人教A版（2019年）是与最新版《普通高中数学课程标准（2017版）》相配套的教科书，在国内具有广泛的影响力。沪教版（2020年）是基于地方课程标准编写的教科书，充分体现了“国家标准、上海特色、国际水平”的特点。因此选取了经过国家教材委员会审核通过的，分别由人民教育出版社于2019年出版以及上海教育出版社于2020年出版的普通高中数学教科书（分别简称为人教A版、沪教版）为研究对象。

2.分析框架

为了提高教科书中数学建模问题情境分析的可操作性，笔者参考了李保臻等人的数学建模问题情境分析框架，以及吴凌菲等人的建模层次划分标准。在此基础上，从五个主要维度展开分析：一是问题情境的“内容分布”维度，以揭示不同主题或知识点的布局和关联；二是问题的“类型和数量”维度，以剖析各类题目的占比；三是问题情境的“真实性水平”维度，以评估其与现实生活相关程度及可信度；四是问题情境的“表征特征”维度，以识别其包含的各种文字、图像和表格数据等表征方式的多元性；五是“建模层次”维度，以理解问题情境中涉及的数学模型和建模方法的复杂性和系统性。这样的多维度分析能够更全面、更系统地分析数学建模问题情境，同时对每个维度又进行水平划分，以此建立數学建模问题情境的五维特征分析框架（见表1）。

表1   数学建模问题情境的五维特征分析框架

下面以沪教版“诱人的优惠券”的问题情境为例进行分析。

近年来，“双十一”演变成为一年一度的购物狂欢节。从2009年开始，“双十一”购物规则的复杂度不断增大，而面对商家复杂的优惠规则，消费者都尝试用足优惠。最近，某商家推出三种优惠券，分别是满199元减20元、满299元减50元、满499元减110元。这些优惠券之间不可叠加使用，但它们可以与满400元减50元的购物津贴同时使用（如图1）。此外，这两类优惠券有使用顺序，必须先使用商家优惠券，再使用购物津贴。

图1   优惠券与购物津贴

根据五维特征分析框架中的各个维度对该案例进行深入剖析。首先，这个案例内容分布在沪教版必修第四册第1部分第2节数学建模案例（二）；其次，它以生活中的一个常见场景“电商平台使用优惠券”为背景，因此可以归类为“生活情境”；再次，由于案例中使用的商家数据没有明确出处，所以它属于“准真实情境”；然后，这个情境的设计融合了故事情节和插图，因此可以确定为“复合型表征”；最后，该情境需要我们运用所学的函数知识来构建新的数学模型，从而研究并解决问题，因此，我们可以将它归类为“建构模型”的层次。

三、研究分析

基于数学建模问题情境的五维特征分析框架，系统解析人教A版和沪教版中数学建模问题情境内容的设置特色。

1.内容的分布

由表2可知，两版教科书的数学建模问题情境内容在必修和选择性必修中都有所涉及，但它们的分布特点各不相同。人教A版主要集中在“函数应用模型”和“统计模型”这两个方面，比较注重这两种模型在实际问题中的应用，而沪教版则主要分布在必修第四册和选择性必修第三册的数学建模专题册中，更注重数学建模的专题性和系统性。此外，沪教版也在课后阅读、探索与实践等栏目中散布了一些数学建模的实例，突出了其在实际问题中的应用性和实践性。

表2   两版教科书数学建模问题情境的内容分布

2.类型及数量

根据五维特征分析框架，对两版教科书中数学建模问题情境的类型及数量进行了统计和分析，以剖析各类题目的占比（见表3）。

表3   两版教科书问题情境类型及数量统计

由表3可知，人教A版和沪教版在“生活情境”占比上差异显著，人教A版为24.24%，沪教版高达42.11%。两版教科书都注重与日常生活问题相关的数学建模问题情境。在“文化情境”方面，两版教科书占比均较低，需要适当增加数学文化、人文艺术以及中国传统文化方面的内容。在“社会情境”和“科学情境”方面，人教A版和沪教版的占比均比较接近，表明两版教科书在设置与社会、自然科学相关的数学建模问题情境方面有相似之处。但通过进一步的分析，在“社会情境”中人教A版更关注模型的应用，而沪教版则注重优化类问题。

3.真实性水平

根据五维特征分析框架，从“真实性水平”的4个层次统计两版教科书中数学建模问题情境以评估其与现实生活相关程度及可信度（见表4）。

表4   两版教科书问题情境真实性水平统计

由表4可知，人教A版和沪教版在数学建模问题情境的真实性水平上存在一定差异。在“构造式情境”方面，两版教科书都注重对问题情境进行数学化分析和处理以适应学生数学建模学习的特点，占比分别为30.30%、29.82%。在“准真实情境”方面，沪教版更注重设置接近真实情境的问题情境，占比相对较高。在“真实情境”方面，人教A版更注重将现实生活、历史文化和数学紧密联系起来，设置真实的数学建模问题情境，占比高达51.52%。在“纯现实情境”方面，沪教版因有独立的数学建模分册，方便师生参考实践，故占比较高。

4.表征特征

根据五维特征分析框架，对两版教科书中数学建模问题情境的“表征特征”进行统计分析，以识别情境中包含的各种文字、图像和表格数据等形式的多元性（见表5）。

表5   两版教科书问题情境表征特征统计

由表5可知，人教A版教科书在“单一型表征”上比例较高，达到42.42%，较为依赖单一故事情节呈现内容。而沪教版则相对较少使用这种形式，更注重多样性。两版教科书都注重“复合型表征”，将故事情节与插图、表格结合，丰富呈现数学建模问题情境。但在“综合型表征”上，两版教科书都使用较少，需加强综合运用多种方式表述问题。总体而言，人教A版更注重传统故事情节的表述，沪教版则更注重表述的多样性。两版教科书在“复合型表征”方面表现较好，但在“综合型表征”方面需改进。

5.建模层次

根据五维特征分析框架，对两版教科书中数学建模问题情境建模层次的3个水平进行统计分析，以理解问题情境中涉及的数学模型和建模方法的复杂性和系统性（见表6）。

表6   两版教科书问题情境建模层次统计

由表6可知，人教A版和沪教版中“理解模型”占建模层次总数的比例分别为45.45%、31.58%，人教A版中“理解模型”的占比最高，而沪教版相对较少。进一步分析发现，人教A版“理解模型”最多的原因是其数学建模问题情境多呈现在“练习”和“习题”栏目中，数量较多。两版教科书中“应用模型”的占比分别为34.85%、22.81%，“应用模型”在各自教科书的建模层次中均处在次要位置，说明两版教科书在学生能否筛选出合适的模型解决需要运用多种知识的常规性问题方面不够重视。两版教科书中“建构模型”的占比分别为19.70%、45.61%，人教A版中“建构模型”占比最少，沪教版中占比最高。说明人教A版提供给学生进行完整的数学建模活动的机会较少，这不利于从数学建模整体角度上培养学生的核心素养，而沪教版有专门的数学建模专题册，形成完整的建模知识体系，有利于学生數学建模素养的整体培养。

四、结论与建议

人教A版和沪教版教科书中数学建模问题情境内容的“内容分布”“类型及数量”“真实性水平”“表征特征”“建模层次”的分析说明了它们在数学建模问题情境设置上的特点。通过对人教A版和沪教版中数学建模问题情境类型和情境水平的比较分析，说明它们在建模问题情境设置上的共性和差异。研究发现：（1）两版教科书中数学建模问题情境的内容分布较为集中，其中人教A版主要涉及“函数应用模型”和“统计模型”两个方面，沪教版则主要分布在数学建模专题册内。（2）在情境类型与数量方面，各类型问题情境下多少不等，人教A版更侧重“社会情境”，而沪教版则侧重“生活情境”，且两版教科书对数学文化情境渗透较少。（3）在真实性水平方面，人教A版注重“真实情境”水平，对“纯现实情境”水平关注较少，沪教版则关注较多。（4）在表征特征方面，人教A版与沪教版更突出“复合型表征”，对“综合型表征”的应用较少。（5）在建模层次方面，沪教版更关注“建构模型”，但人教A版却反之。

1.教学建模问题情境应贯穿高中数学始终

教科书中应确保数学建模知识覆盖全面。通过上述对比发现，人教A版数学建模内容集中在“函数应用模型”及“统计模型”方面，使其在自始至终且循序渐进的建模问题情境内容方面略有不足，而沪教版有专门的建模专题册，形成完整的建模知识体系，但其建模情境也较为零散，不利于学生深入透彻地理解数学建模。教科书的编写可通过系列的数学建模问题情境，联系必修、选择性必修及选修内容，帮助学生构建螺旋上升知识体系。以此促进学生对数学建模的理解和应用，提高数学素养和解决问题的能力。

2.教科书应适当增加数学建模文化情境

教科书在设置数学建模问题情境时，应考虑情境类型的平衡。人教A版和沪科版教科书的“文化情境”在情境类型与数量上的占比都是最小的，这不利于培养学生的数学文化素养。因此，高中数学教科书可以从中华优秀传统文化等方面入手，适当增加数学建模文化情境的数量，培养学生的数学文化素养。

3.教科书应提高数学建模问题情境的真实性

人教A版中的“真实情境”数量较多，表现出对数学与现实生活联系的重视，但“纯现实情境”相对较少，可能导致学生在学习过程中感到数学建模距离自己较为遥远。而沪教版的“纯现实情境”占比相对较高，学生可以自主探究以及实践参与可行的“纯现实情境”问题解决过程，以此培养创新意识与科学精神，并更深刻地感悟数学的价值。

4.教师在教学中应帮助学生提高阅读质量和理解效果

人教A版在单一型表征方面较为突出，但复合型表征和综合型表征方面略显不足；沪教版在复合型表征方面表现较好，但综合型表征方面仍有待提高。在编写教科书时，可考虑使用多种方式呈现数学建模问题情境，提高内容的丰富性和多元性，同时教师应根据高中教科书和实际教学内容、学生的认知水平，灵活运用多种表征方式，提升学生对数学建模问题情境的理解和兴趣。

参考文献

[1] 黄健，徐斌艳.国际视野下数学建模教与学研究的发展趋势——基于第14届国际数学教育大会的分析[J].数学教育学报，2023，32（01）：93-98.

[2][6] 李保臻，陳国益.高中数学教科书中数学建模问题情境的比较研究[J].数学教育学报，2022，31（03）：6-14.

[3] 丁福军.学习机会视角下我国数学教材中的情境任务分析——以初中“圆的性质”为例[J].上海教育科研，2020（01）：74-78+43.

[4] 陈志辉.中美两国初中数学课程的问题情境水平比较研究——以“函数”内容为例[J].数学教育学报，2016，25（01）：5-9.

[5] 陈敏，杨玉东.小学生解决真实情境问题的调查研究——基于PIS

A数学素养的视角[J].上海教育科研，2016（09）：46-49+54.

[7] 吴凌菲，胡典顺.2021年高考试题数学建模素养考查情况探析[J].教学月刊·中学版（教学参考），2022（Z1）：22-27.

[作者：钟晓翠（1991-），女，广东广州人，淮北师范大学数学科学学院，硕士生；张昆（1965-），男，安徽合肥人，淮北师范大学数学科学学院，中学高级教师，博士。]

【责任编辑   王泽华】