锥形光纤光栅传感器的传感特性

孙晓东 杨松峰 刘天宇 朱瑞楠 冯起鹏

（黑龙江科技大学，黑龙江 哈尔滨 150022）

光纤光栅传感技术是现代信息技术的重要支柱，广泛应用于航空航天、电力系统等领域。由于其出色的传感特性，例如抗干扰、抗腐蚀、电绝缘、低成本和高灵敏度，因此成为世界各国研究的热点[1]。由于当前的光纤光栅（FBG）解调方法主要利用对温度和应力都敏感的λB（中心发生波长）进行编码，因此无法区分这2 个变量，从而存在应力-温度交叉敏感问题[2]。为解决该问题，国内外学者提出了双光栅法[3]、封装法等解决方案。但是这些方法会提高解调系统的复杂性，降低系统灵活性。因此，本文从光纤光栅的制作方法入手，提出将光纤光栅腐蚀成锥形，锥形光纤光栅的特殊结构使其反射波的半峰值宽度仅与应力的变化有关。利用这一特性对反射波进行编码，解决了温度-应力交叉敏感问题。本文运用耦合模理论分析了锥形光纤光栅（TFG）的传感原理及特点，并利用MATLAB 进行了仿真验证。

1 温度应力交叉敏感理论

光纤光栅的传感原理是，当外界条件（温度、应力）发生变化时，会导致光纤光栅的折射率neff和周期Λ发生变化，这种变化进一步引起反射波长的偏移，从反射中心波长变化公式可以看出，折射率和周期的变化最终导致中心波长的变化，如公式（1）所示。

式中：λB为反射回来的入射光的中心波长；neff为光纤的折射率；Λ为光栅的周期。

当一束光沿着光栅入射时，只有满足特定条件（即满足公式（1））的光才会发生反射，这部分光的反射波具有特定的中心波长λB。而不满足这一条件的其他光则会沿着光纤传播，不发生反射。因此，通过检测反射光的参量变化，就可以对外界环境（例如温度、应力等）进行监测。

当光纤光栅处于温度场中时，光会吸收能量并因此发生变化，从而导致反射光也发生变化。如图1所示。

图1 光纤光栅的温度、应力模型

对公式（1）两边求微分，可以得到FBG 反射波长偏移量ΔλB的表达式，如公式（2）所示。

式中：ΔΛ为温度变化引起的光栅周期变化量；Δneff为温度改变引起的光栅折射率的变化量。

为了研究温度变化对光纤光栅的影响，通过公式（2）等式的两边对温度t进行求导并化简。如公式（3）所示[9]。

式中：t为温度。

式中：ς为折射系数；α为周期系数。

令Kt=（ς+α）λB，公式（4）可以写为公式（5）。

式中：Kt为光纤光栅的温度灵敏系数，通常情况下都为常数；Δt为温度变化量。

根据公式（5）可得：当光纤光栅用以测量温度时，反射中心波长偏移量ΔλB与温度变化Δt具有良好的线性关系。

应力和应变是光栅最常见的外部影响因素，例如挤压或者拉伸，都会导致光栅周期Λ变大或变小，同时也会引起有效折射率neff的变化。如图1所示，当光纤受到轴向作用应力F时，可以对光纤反射波长的变化量进行如下分析。

通过公式（2）两边对应变ΔL取微分，得到的结果如公式（6）所示。

当光纤受到应力作用时，由于材料的弹光效应，会导致反射光谱的中心波长发生偏移，因此根据耦合模理论，可得出波长偏移量，如公式（7）所示。

式中：Pe为光纤光栅的有效弹光系数；ε为应变。

公式（7）为光纤光栅的轴向应变传感表达式并且公式中每个参数都是常数，可以看出光纤光栅的中心波长偏移ΔλB和应变ε有良好的线性关系。因此，当光纤光栅用作应变传感器时，其理论线性输出特性良好。

通过分析在不同温度和应力条件下的光纤光栅，笔者得出结论：有效折射率neff和光栅的周期Λ随温度和应力的变化而变化，导致反射波长偏移。假设光栅的反射中心波长是温度和应力的函数：λB=λB（ε·t），通过泰勒展开可以简化为公式（8）。

式中：Kt为温度变化引起的中心反射波长变化系数；Kε为应力变化引起的反射波长变化系数；Δε为应力变化量。Kε、Kt可以经过理论计算或试验测量得到。

当应变和温度发生变化时，都会引起反射中心波长发生偏移，因此在实际测量中，当测量其中一个参量（例如应力）时，会受到来自另一个参量（温度）变化的干扰。即无法同时测量应变和温度[8]。

问题产生的根源是笔者对同时受温度和应力影响的波长λB进行了编码。锥形光纤光栅具有独特的结构特点，其反射波的半峰值宽度仅与应力有关，而与温度无关。如果对这一特性进行编码，就能够解决交叉敏感问题。

2 锥形光纤光栅的理论模型

如图2所示，锥形光纤光栅的半径沿着轴向方向逐渐变小，光栅的周期和纤芯的半径保持不变。

图2 锥形光纤光栅

2.1 锥形光纤光栅应力传感原理

当一束光入射光纤光栅时，只有满足公式（1）条件的光会沿中心轴反射回来。该反射波的波长即为光栅的反射中心波长λB，不满足上述波长条件的光会继续向前传播。根据耦合模理论可知，λB=2neffΛ。当光栅受到应力作用时，光栅之间的距离距离会发生变化，如图3所示。这种变化会导致反射光的带宽也发生相应的变化[4]，如公式（9）所示。

图3 施加应力前后的锥形FBG 变化

式中：ΔFWHM为反射波的半峰值宽度；R0为光纤的最初半径；F为轴向作用力；E为杨氏系数；Λ0为未受力的光栅周期。

由公式（9）可知，光谱的带宽变量FWHM与施加的力F呈线性关系。综上所述，当锥形光纤光栅受到轴向作用力时，不仅会引起反射中心波长的线性偏移，还会导致反射波的半峰值带宽发生展宽，展宽量的大小与施加的作用力呈良好的线性关系。

2.2 锥形光纤光栅的温度传感原理

温度变化导致反射中心波长变化量，如公式（10）所示。

当外界温度发生变化时，锥形光栅的反射带宽宽度保持不变，反射波长与温度的关系也维持了良好的线性关系[4]。温度的变化仅会导致反射中心波长的偏移，这种偏移与温度之间保持线性关系。通过上述分析可知，当波长同时受应力和温度的影响时，反射中心波长的变化可以进行近似计算。如公式（11）所示。

式中：Kε1为应力系数1；Kt1为温度系数1。

当温度和应力同时作用于传感器时，反射波的半峰值宽度并不会因温度的变化而改变，仅与应力的变化有关。如公式（12）所示。

式中：Kε2为应力系数2。

由公式（11）和公式（12）可得Δt、Δε的矩阵方程，如公式（13）所示。

式中：M为综合系数，M=Kt1Kε2

由公式（13）可知，通过对反射波的半峰值ΔFWHM进行编码，能够同时测量温度Δt和应力Δε的变化量且二者不会相互干扰，解决了上文使用波长λB编码时面临的温度和应力交叉敏感的问题。

3 仿真与结果分析

在MATLAB 环境下，笔者对锥度为1.56 的传感器进行了应变和温度的仿真试验。在应变仿真试验中，将温度维持在20 ℃，以便专注于研究应变对传感器的影响。而在温度仿真试验中，笔者保证光栅不受任何外力的作用，并将温度从0 ℃开始提高到120 ℃，以探究温度变化对传感器的影响。仿真结果如图4、图5所示。

图4 应力响应特性

图5 温度响应特性

由图5 得出以下结论：当光纤所处的温度保持不变时，随着作用在光纤上的应力发生变化，反射波长和FWHM也会随之变大并且呈现良好的线性关系。由图6 可以看出，当光纤不受力时，随着温度的上升，FWHM的变化相对较小，近似呈现为一条直线，如图5所示，表明反射波长会随温度的升高而呈线性上升。

从图4 和图5 中曲线的斜率可以得到公式（14）中各系数的具体数值。如公式（14）所示。

通过测量波长和反射带宽的变化量，并利用相关方程，就可以同时测量温度和应力的变化，该方法不仅简便，而且具备很高的测量精度。

综上所述，锥形光纤光栅传感器有良好的应力响应特性，其能够随着外界应力的变化而产生线性响应，由于其反射带宽仅随应力变化而不受外界温度的影响，因此该传感器可以有效地解决温度与应力之间的交叉敏感问题。

4 结论

尽管锥形光纤光栅的形状发生了变化，但是其对应力和温度的响应特性仍然非常优越。通过本文的研究发现，反射波的波长会随温度和应力的变化而发生线性变化，而锥形光纤光栅的反射波半峰值带宽仅随应力变化，与温度无关。这说明本文提出的方法能够有效地解决温度和应力之间的交叉敏感问题，在解决交叉敏感问题方面具有理论和实际应用价值。