类比法剖析毛细现象的能量分配*

芮云军 类淑国

(南京工业大学数理科学学院 江苏 南京 211816)

邰传智

(南京市溧水区教师发展中心 江苏 南京 211200)

毛细现象是浸润和表面张力共同引起的[1-3].就能量观点而言,液体浸润管壁现象的发生,是由于势能较高的液体内部分子不断地进入势能较低的附着层中所致,根据稳定平衡时势能最小原理[2],得到液柱的平衡位置高度为

(1)

其中ρ为液体的密度,r为毛细管的内半径,θ为接触角,g为重力加速度,σ则为液体的表面张力系数.这与教材中从流体静力学出发,利用各点压强关系推出的高度完全一致[1].

既然平衡位置的高度为h0,那液柱所能达到的最大高度是多少呢?文献[2]指出,“若系统无摩擦阻力,则液柱将在h0附近做简谐振动,最大高度可达2h0”.为了理解该命题,我们将液柱上升运动与盘曲链条升降运动进行类比,计算系统中各力做功与动能变化,分析毛细现象中的能量分配问题[4].该类比有助于学生对毛细力的理解,以及变质量系统运动和能量损失的理解.

1 毛细力与链条恒力的类比

当毛细管插入液体,在毛细力的作用下,管中液面升高.在三相界面处,由著名的Young方程表示[3,5]

σSV-σSL=σLVcosθ

(2)

其中σSV、σSL、σLV分别表示固气、固液、液气两相间的表面张力系数,如图1所示.

图1 毛细力分析

该理论指出,接触角θ完全取决于3个两相间的表面张力系数,与液柱重力无关[5].将液柱作为研究对象(如图1中虚线框所示),其所受外力可以表示为

FCapi=2πr(σSV-σSL)=2πrσLVcosθ

(3)

可见,液柱所受毛细力FCapi取决于毛细管半径r,液气两相间的表面张力系数σLV和接触角θ.

公式(3)表明,液柱上升过程中,FCapi为恒力,方向沿着管壁向上.水柱的相邻质量元之间有分子吸引力,类似于细绳,链条内的张应力．所以,液柱在毛细力下的上升运动与盘曲链条受恒力FChain的运动很相似,都可以作为一维变质量系统进行研究．液柱的线密度可以表示为

λL=ρπr2

(4)

2 毛细运动与链条运动的能量分配类比

毛细现象发生时,毛细力大于液柱重力,即

FCapi>λLgh(h

此时液柱具有加速度,具有速度v和动能Ek.随着液柱高度的增加,当

FCapi=λLgh0

液柱到达其平衡位置h0.若系统无能量损失,液柱将继续升高,并在毛细管中围绕平衡位置h0作简谐振动.然而事实并非如此,因为变质量系统(液柱)的质量元之间有动能损失ΔEk>0和粘滞阻力损耗(滞阻损失)f>0.

图2为不同的液面高度来源的3种能量分配假设．

图2 毛细力作用下的液柱高度与能量分配关系

液面上升过程中,没有任何能量损失(ΔEk=0,f=0)时,液面高度可达2h0;有动能损失,但无滞阻损失(ΔEk>0,f=0)时,液面高度为1.5h0;而同时有动能和滞阻损失(ΔEk>0,f>0)时,液面高度则为h0.作为类比,盘曲链条受竖直向上恒力FChain作用,提拉端也会有3种不同的高度,即2a0、1.5a0、a0,如图3所示.

图3 恒力提拉下的链条高度与能量分配关系

动能损失和滞阻损失可表示为

(5)

(6)

恒力做功和重力势能增加分别表示为

WC=FCy

(7)

(8)

其中FC表示恒力,根据公式(5)～(8),表1中给出了毛细恒力FCapi或链条恒力FChain做功、重力势能变化、动能损失以及滞阻损失的值,它们之间的相互关系如图4所示.

表1 毛细上升与链条提拉中的能量分配值

图4 毛细上升(链条提拉)中的高度与能量关系

2.1 无能量损失(ΔEk=0,f=0)

假设液面上升过程中,没有任何能量损失.则毛细力做功将完全转化为液柱重力势能ΔEp的增加

(9)

得到

(10)

此时

k定义为能量系数,表示液柱上升到平衡位置h0处,毛细力所做的功,即

将毛细力替换为链条恒力FChain,液柱线密度替换为链条线密度λ．由公式(9)、(10)可得,盘曲链条上升到平衡位置a0时,恒力做功为

升高2a0时做功为

如表1和图4中的A点所示.

2.2 仅有动能损失(ΔEk>0,f=0)

假设变质量系统质量元之间仅仅发生非弹性碰撞,动能损失不可避免.又假设液柱与毛细管壁没有摩擦阻力,以液柱为研究对象,其动力学方程可以表示为[6-8]

(11)

其中f1=λLv2为已动部分与未动部分的冲力,正是动能损失的内力,可通过动量定理得到[8].

求解方程(11),得到液柱上升过程中的速度可以表示为

(12)

所以,当液柱为最高点时,v=0,此时液柱的最大高度为

继续求解该变质量系统到达最高点(1.5h0)之后的动力学方程,发现液柱将在平衡位置h0附近,作准周期的阻尼振动.

此时

将公式(12)中的v2带入公式(5)计算动能损失

而重力势能增加

2.3 同时存在动能损失和滞阻损失 (ΔEk>0,

f>0)

根据公式(5)～(8)定义,毛细现象的动力来源于毛细力FCapi做功,一部分提高液柱重力势能ΔEp,一部分增加系统内能ΔEi.很显然,系统内能为液面上升过程中的动能损失ΔEk和滞阻损失Wf之和.

ΔEi=ΔEk+ΔEf=WCapi-ΔEp

(13)

根据理论分析可知,同时存在动能损失和滞阻损失时,液面上升高度介于1.5h0与h0之间.当滞阻损失特别大时,液柱的运动可认为是过阻尼振动,毛细上升最大高度为其平衡位置.公式(13)对于盘曲链条也适用．有趣的是,此时液柱上升或链条升降过程的内能变化是恒力做功的一半,另一半为重力势能增量,如表1和图4中的C点所示,即

(14)

3 实验验证

公式(5)、(6)中,动能损失和滞阻损失的具体计算是十分不易的.公式(14)同样告诉我们,ΔEk、Wf为互补关系.为了展示这种相反的变化趋势,我们采用链条与鱼漂组成变质量运动系统,鱼漂可以提供向上的恒力FChain(大小不变的浮力).链条上下运动具有动能损失,在水中运动也会有很大的滞阻损失.实验中,鱼漂的平衡位置为a0=59.5 cm,将鱼漂从1.5a0处静止释放(在水中)[8].手机拍摄其运动轨迹视频,Tracker软件提取高度．

根据之前的分析,链条将做振幅逐渐减小的准周期振动.图5中的曲线1表示“仅仅考虑动能损失”情况下的数值模拟图像.作为比较,曲线2为实际测量的运动图像.

图5 鱼漂受恒定浮力的理论(1)与实际(2)振动图像

很显然,实际情况下,链条运动同时存在动能损失和滞阻损失,所以振幅减小,周期增加.由理论值的T1=1.54 s增加到实验值的T2=2.24 s.并且这种振幅与周期的变化,随着有机玻璃透明圆柱筒(装水容器)内径D的改变而变化,原因是链条运动中的粘滞阻力大小会变化[9].其表达式为

(15)

图6 不同粘滞阻力下的鱼漂振动图像比较

ΔEk和Wf之间的互补关系,也可以通过毛细管液面的不同上升速度来进行验证,如图7所示.

图7 不同粘滞阻力下的液柱上升速度比较

4 总结

将毛细力看做恒定外力,毛细管中的液柱看做一维变质量系统,构建了一维变质量系统受恒力作用的物理模型,与盘曲链条受力和运动相类似.通过3种能量假设,对毛细现象的能量来源和分配进行了分析.通过具体实验,验证了理论分析的正确性,加深了学生对毛细力做功、重力势能变化、动能损失、滞阻损失的概念及相互之间关系的理解.