统一边界条件下非饱和土一维固结理论研究

秦爱芳，郑青青，江良华

(上海大学力学与工程科学学院土木工程系，上海 200444)

建筑与道路等工程项目建设中，为了提高地基承载力以及减小后期沉降，在施工前常常采用堆载预压、真空预压等方法对地基进行处理[1]。在堆载预压作用下，土体会产生超孔隙压力，随着超孔隙压力的消散，地基将发生固结沉降。以TERZAGHI[2]为代表的饱和土固结理论虽然已经相对成熟，但依旧无法有效地解决许多工程中的沉降问题。根本原因在于，大多位于地下水位线以上的压实土、浅层换填土等都属于非饱和土[3]。相对饱和土而言，非饱和土由固、液、气三相介质组成，其压缩固结不仅存在超孔隙水压力的消散，同时包含超孔隙气压力的消散，且二者相互耦合[4]，较饱和土的固结更为复杂。若对非饱和土继续采用饱和土固结理论进行分析将会产生误差。因此，对非饱和土固结理论展开研究是非常有必要的。

国外很多学者于20 世纪60 年代开始对非饱和土固结理论开展研究，并提出了多种固结理论。BIOT[5]提出了可用于分析含有气泡的非饱和土的一般固结理论。BLIGHT[6]推导了干燥、刚性的非饱和土的气相固结方程。BARDEN[7]对压实非饱和粘土的一维固结特性进行了研究分析。而FREDLUND 和HASAN[8]基于土中的气、液相分别连续这一假设，提出了非饱和土一维固结理论，表明土体中超孔隙压力的消散过程可以用两个偏微分方程加以描述，并且该理论可以在饱和土与非饱和土之间平稳过渡。

之后，国内许多学者，如杨代泉[9]、陈正汉[10-11]、沈珠江[12]、殷宗泽[13]等，致力于非饱和土固结理论的研究并各自提出了相关理论。而目前与非饱和土一维固结问题相关的大量研究成果主要还是围绕FREDLUND 等[8]提出的一维固结理论展开的。

基于Fredlund 固结理论，秦爱芳等[14]利用Laplace 变换和Cayley-Hamilton 原理，首次得到了单面透气透水边界条件下施加大面积瞬时均布荷载时非饱和土层一维固结的解析解。随后运用同样的方法，得到了相同边界条件下加载随时间指数变化的解析解[15]。SHAN 等[16]采用分离变量法给出了非饱和土在三种典型的均质边界条件下的精确解，该解在揭示固结机理以及验证数值解和半解析解的正确性方面发挥着重要作用。考虑到实际工程中气相和液相在土层同一表面的边界条件可能有所不同，秦爱芳等[17-18]考虑了顶面透气不透水和透水不透气两种混合边界，对非饱和土在大面积瞬时加荷情况下进行了解析求解，拓展了非饱和土固结理论在工程中的应用。之后，SHAN 等[19]推求出了非均质混合边界条件下非饱和土一维固结的解析解。周万欢和赵林爽[20]、ZHOU 和ZHAO[21]通过引入两个中间变量，对非饱和土一维固结方程进行解耦以实现偏微分方程组到常微分方程组的转化，从而简化了方程的解。然后运用差分求积法得到了考虑复杂初始条件和边界条件下非饱和土一维固结的数值解，并讨论了这些因素对非饱和土一维固结的影响。HO 等[22]、HO 和FATAHI[23]利用特征函数展开法和Laplace 变换得到了均质透水边界条件下非饱和土一维固结问题的解析解。

除了传统的完全渗透边界或者完全不渗透边界，鉴于实际工程中砂垫层表现为部分排水的特点，近年来，越来越多的学者对半渗透边界条件下非饱和土一维固结问题展开了相关的研究。WANG 等[24-26]将边界条件考虑为半渗透边界和渗透性随时间变化的复杂情况，并利用解耦技术、Laplace 变换以及Laplace 逆变换方法得到了非饱和土一维固结一系列的半解析解。通过对其固结特性的分析，得出透气系数对超孔隙压力的消散速率影响很大这一结论。之后，HUANG 和ZHAO[27]采用特征函数展开法与待定系数法给出了相同边界条件下的解。

目前有关非饱和土固结理论的研究多是侧重于某种特定边界条件下的解答，尚无一个通用的解。而在实际工程中，土体的边界条件是多种多样的，具有不确定性。因此，本文拟采用一种统一形式边界条件，结合非饱和土一维固结的控制方程、初始条件等，运用Laplace 变换和Laplace逆变换等数学方法给出超孔隙气压力以及超孔隙水压力在瞬时均布荷载作用下时间域内的半解析解。通过退化的方式模拟各种边界条件，与文献中已有的结果进行对比以验证所得解的正确性和有效性，讨论并分析不同的边界参数对非饱和土固结特性的影响。 这种统一边界条件的优点在于可以通过设置不同的边界参数，将其退化到均质、混合、半渗透等各种边界条件，以满足实际工程需求。另外，此统一边界条件也可应用到同类其它研究中。

1 数学模型

非饱和土单面统一边界条件下一维固结计算模型如图1 所示。顶面为统一边界，底面边界既不透气也不透水，非饱和土层表面作用有竖向瞬时均布荷载q，并假设固结及外荷载作用仅发生在z向。其中，H为非饱和土层的厚度，而水平方向无限大。

图1 非饱和土一维固结计算模型Fig.1 Calculation model for one-dimensional consolidation of unsaturated soil

1.1 控制方程

基于FREDLUND 等[8]提出的非饱和土一维固结理论，基本假定如下：

1) 气、液相连续，且二者的流动规律分别符合Fick 定律与Darcy 定律；

2) 固体土颗粒和水是不可压缩的；

3) 固结过程中的变形较小，土体中气、液相的体积变化系数与渗透系数均假定为常量；

4) 不考虑气体在水中的扩散和溶解、热效应、水分蒸发的影响；

5) 固结过程中，土体的变形、超孔隙水压力和超孔隙气压力的消散仅发生在竖直方向。

以上假定并非适用于所有情况。就非饱和土而言，气、液相的渗透系数是土体湿度(吸力或饱和度)的函数，且土骨架与液相的体积切线模量是非线性关系。当应力增量较小时，假设这些参数在瞬态过程中保持不变，不影响固结规律分析，这对半解析解的求解起到了一定的简化作用[1,26-27]。基于此，瞬时均布荷载作用下非饱和土一维固结过程中超孔隙气压力与超孔隙水压力控制方程可以表示为[8]：

其中：

1.2 初始条件

假设外荷载作用后，初始超孔隙压力在整个土层中均匀分布，即：

1.3 边界条件

顶面采用统一形式边界，即：

底面采用不透气不透水边界，即：

式中：aa、ba、aw、bw分别为控制上边界气、液相渗透性能的参数，即边界条件由方程中的边界参数控制。其中，aa、aw分别为不透气、不透水系数；ba、bw分别为透气、透水系数。可以看出，当aa和aw趋于0 时，此时边界条件为透气透水边界；当ba和bw趋于0 时，此时边界条件为完全不渗透边界；当边界参数aa、ba、aw、bw均不为0 时，此时相当于半渗透边界。对于边界不同的渗透性能条件，如透气(水)、半透气(水)、不透气(水)，具体参数取值已列于表1 中。

表1 边界渗透性能相关参数Table 1 The parameters related to the permeability performance of boundary

通过设置合理的边界参数，所得的解可用于模拟顶面边界条件为完全渗透边界、透气不透水边界以及半渗透边界等多种情况，可以将其看作一个固结理论的通解，弥补了目前非饱和土一维固结理论的解答仅限于特定边界条件下的不足。

2 非饱和土一维固结的半解析解

2.1 Fredlund 非饱和土一维固结方程的通解

对非饱和土层的气相及液相固结方程式(1)与式(2)进行Laplace 变化，可得：

经过化简整理，最终求得的通解表示如下：

其中：

C1、C2、D1、D2为关于s的任意函数，可通过边界条件得到。

式(10)与式(11)分别为非饱和土固结过程中超孔隙气压力与超孔隙水压力在Laplace 变换域内的通解，特定边界条件下的半解析解只需代入相应的边界条件即可求得。

2.2 统一边界条件下半解析解的推导

边界条件式(6)和式(7)经Laplace 变换后表示为：

将求得的通解式(10)和式(11)及其一阶偏导代入顶面边界条件式(12)与底面边界条件式(13)，可得：

对以上方程组进行求解，可求得C1、C2、D1、D2表达式分别为：

其中：

将所得的C1、C2、D1、D2的表达式代入式(10)和式(11)，并将其用三角函数形式表示，即：

其中：

式(19)和式(20)即为Laplace 域内单面统一边界条件下非饱和土一维固结的解。利用Crump方法[28]编程，分别对式(19)和式(20)进行Laplace逆变换，可得时间域内相应解答。

3 对比验证及参数分析

算例验证和边界参数分析过程中的各项参数取值与QIN 等[17]一致，具体如下：

3.1 对比验证

取aa=aw=0 ，而ba=bw=-1，统一边界条件下非饱和土一维固结的半解析解即为上边界透气透水，下边界不透气不透水假定下的解：

其中：

将退化后的结果与文献[26]中同种边界条件下的结果进行对比，以此验证本文所得解的准确性。

图2 和图3 分别为z= 8 m 处不同ka/kw条件下，以及ka/kw=10时不同深度条件下超孔隙压力随时间t的变化规律。由图可知，本文半解析解的退化结果与参考文献[26]中的结果完全一致，由此验证了所得解的准确性。

图2 z = 8 m 时不同 ka/kw下超孔隙压力随时间t 变化图Fig.2 Variations of excess pore pressures with time under different ka/kwwhen z = 8 m

图3 ka/kw=10时不同深度处超孔隙压力随时间t 变化图Fig.3 Variations of excess pore pressures with time under different depths when ka/kw=10

图2 表明，当计算深度一定时，超孔隙压力的消散速率随着ka/kw比值的增大而增大。而观察图2(b)发现，在时间t=1×107s 之后，超孔隙水压消散速率并不随ka/kw比值的改变而发生变化。根本原因在于，分析中超孔隙水压渗透系数保持不变，仅改变气相渗透系数，这只会对超孔隙气压力的消散产生影响，因而在超孔隙气压力消散完成后，ka/kw比值变化不再对超孔隙水压力的消散产生影响。

由图3 可知，在ka/kw不变的情况下，计算深度越小，超孔隙气压力开始消散的时刻越早，但最终都于同一时刻 1×106s 左右消散结束。因为顶面既透气也透水，施加荷载后，临近顶面的超孔隙气压以更快的速率排出；由于底面完全不渗透，则土层中的气体无法从底面直接排出，而是要逐渐渗透到上部土层再经顶面排出，其渗透路径更长。因此，随着深度的增加(即远离透水透气边界)，土体中超孔隙气压的渗透路径也在相应地增加，从而导致其消散速率有所减缓。

对比图2(a)和图2(b)、图3(a)和图3(b)可以观察到同一个现象：超孔隙水压的消散曲线大致分为两个阶段。第一阶段为非饱和土固结前期，以超孔隙气压力消散为主；第二阶段为固结后期，以超孔隙水压力消散为主，且中间存在一段“平台期”。产生“平台期”的原因可能是超孔隙气压刚消散结束，由于基质吸力的存在，超孔隙水压需要一个调整过程方可继续消散。另外，超孔隙气压力消散结束的时刻恰好是“平台期”的起始时刻，同时也是非饱和土固结前期与固结后期的分界点。不难发现，“平台期”的位置同样受ka/kw大小以及计算深度的影响。

3.2 边界参数对固结特性的影响分析

以下基于本文所得的单面统一边界条件下非饱和土一维固结的半解析解，通过控制变量，采用不同边界参数模拟不同渗透性能的边界，探讨不同边界以及边界参数在非饱和土固结过程中对超孔隙气压与超孔隙水压消散规律的影响[29-30]。其中，边界参数的取值参考半渗透边界及统一边界条件下非饱和土固结相关研究中参数取值[20,25,31]，其变化范围定为0～50。

3.2.1 统一边界模拟不同渗透性能的边界

为探讨不同边界条件下非饱和土一维固结特性，本文通过设置不同的边界参数来模拟底面均为完全不渗透边界，而顶面分别为均质边界、半渗透边界以及混合边界等多种情况。

假设aa=aw=1 ，通过 对 边界参数ba和bw取 不同的值，从而使上边界实现从完全不渗透到完全渗透这一变化过程。图4(a)和图4(b)分别给出了在ka/kw=10时，超孔隙气压及超孔隙水压在对应的时间t=6×104s 和t=1×108s 下沿土层深度方向的消散曲线。不同渗透性能的上边界所对应的ba和bw取值具体如下：

图4 不同边界条件下超孔隙压力随深度的变化图Fig.4 Variations of excess pore pressures with depth at different boundary conditions

完全不渗透边界：ba=bw=0；

半渗透边界：ba=bw=0.1和0.5；

完全渗透边界：ba=bw=50；

透气不透水边界：ba=50,bw=0

从图4(a)超孔隙气压的消散曲线中可以看出，随着边界参数ba取值的增大，上边界的透气性能愈强，则相同深度下的超孔隙气压消散速率越快。对比不同ba取值下的半渗透边界，其透气性能同样与ba大小成正相关。此外，观察到透气透水和透气不透水两种边界条件下的超孔隙气压消散曲线重合，说明顶面是否透水对超孔隙气压消散无影响。

由图4(b)可知，上边界的透水性能同样随着边界参数bw取值的增大而逐渐增强，使得上边界从完全不透水状态过渡到了完全透水状态。对比图4(a)发现，除了完全不渗透边界，其它各边界条件下的uw/u0w均从相同的值0.6 左右开始变化，产生这一现象的主要原因是，在固结前期超孔隙气压消散过程中，一部分超孔隙水压也随之消散，“平台期”后进入固结后期，超孔隙水压开始消散。这一现象与图3(b)中不同深度下超孔隙水压消散规律一致。但是，由于固结前期超孔隙气压已经消散完成，透气不透水边界下的超孔隙水压在固结后期不再继续消散，而是保持恒定。同样，对于半渗透边界，其透水性能与bw数值大小成正相关，且bw不同取值对其影响程度也有所差异。

3.2.2aa和ba对超孔隙气压力消散规律的影响

图5 给出了在顶面完全透水假设下，即aw=0，bw=-1 ， 分别考虑边界参数aa和ba不同取值在时间t=6×104s 时，超孔隙气压力随深度的变化规律。

图5 ka/kw=10时超孔隙气压力随计算深度的变化规律Fig.5 Variations of excess pore air pressure with depth atka/kw=10

图5(a)所示是ba=1，aa分别取0、0.1、1、5、20 和50 时超孔隙气压随深度的消散曲线；图5(b)所示的是aa=1，ba分别取0、0.1、1、5、20 和50 时超孔隙气压随深度的消散曲线。由图5(a)可知，当aa从0 增至50 时，超孔隙气压的渗透性由完全渗透变为近似完全不渗透；由图5(b)看出，当ba从0 增大至50 时，超孔隙气压的渗透性由完全不渗透变为完全渗透。对比图5(a)和图5(b)可知，aa与ba对超孔隙气压消散速率影响规律不相同，即超孔隙气压的消散速率随着aa的增大而减小，随着ba的增大而增大，表明aa与ba对超孔隙气压消散速率影响效果完全相反。因此，可以将边界参数aa看作透气阻力系数，将参数ba看作透气系数。透气阻力系数aa越大说明顶面边界渗透阻力越大，表现为透气性能越差，故超孔隙气压消散速率越小；而ba越大说明此时顶面边界透气性能越好，更有利于超孔隙气压消散，故消散速率更快。除此之外，aa和ba对超孔隙气压消散速率影响程度也不相同。当aa取值介于0.1～50 时，超孔隙气压的消散速率随着aa的增大呈均匀减小的趋势；当ba取值介于0～5 时，超孔隙气压消散速率随ba的增大呈增大趋势，而当ba≥5后各消散曲线近乎重合。

3.2.3aw和bw对超孔隙水压力消散规律的影响

将顶面边界视为完全透气边界，即aa=0，ba=-1 ，分别考虑aw和bw对超孔隙水压力消散规律的影响。此时，时间取为固结后期t=1×108s，所得结果如图6 所示。图6(a)是bw=1，aw分别取0、0.1、1、5、20 和50 时超孔隙水压随深度的消散曲线；图6(b)则是aw=1，bw分别取0、0.1、1、5、20 和50 时超孔隙水压随深度的消散曲线。

图6 ka/kw=10时超孔隙水压力随计算深度变化规律Fig.6 Variations of excess pore water pressure with depth at ka/kw=10

通过图6(a)观察到，当aw从0 增至50 时，超孔隙水压的渗透性由完全渗透变为近似完全不渗透；由图6(b)看出，当bw从0 增大至50 时，超孔隙水压的渗透性由完全不渗透变为完全渗透。结合图6(a)和图6(b)可以发现，aw和bw对超孔隙水压消散速率影响规律不同，即超孔隙水压的消散速率随着aw的增大而减小，随着bw的增大而增大，说明aw和bw对超孔隙水压消散速率影响效果相反。因此，可以将边界参数aw视作透水阻力系数，而将参数bw视作透水系数。透水阻力系数aw越大说明顶面边界渗透阻力越大，表现为透水性能越差，故超孔隙水压消散速率越小；而bw越大说明此时顶面边界透水性能更佳，越有利于土体中超孔隙水压消散，故消散速率更快。同样，aw和bw对超孔隙水压消散速率影响程度也不相同。当aw取值介于0.1～50 时，超孔隙水压的消散速率随着aw的增大呈均匀减小的趋势；当bw取值介于0～5 时，超孔隙水压消散速率随bw的增大而增大，当bw≥5后各消散曲线近乎重合。

3.2.4aa不变而aw变化对超孔隙压力的影响

为研究边界参数aw对超孔隙压力消散速率的影响，取aa=ba=bw=1，aw从0 增至50(透水性由完全渗透变为近似完全不渗透)，则图7(a)和图7(b)分别是aw变化时超孔隙气压和超孔隙水压在深度z=5 m 处随时间t的变化过程。

图7 当z = 5 m, aw变化时超孔隙压力随时间t 的变化规律Fig.7 Variations of excess pore pressures with time at z = 5 m and different aw

从图7(a)可以发现，无论aw取何值，超孔隙气压消散曲线均重合，说明仅改变aw的取值对超孔隙气压力的消散不产生任何影响。而从图7(b)可知，aw发生变化主要影响超孔隙水压力的后期消散速率：aw越大，超孔隙水压消散所需时间越长，表明超孔隙水压消散速度越小。这同样也说明了非饱和土固结过程中前、后期分别由超孔隙气压消散与超孔隙水压消散控制。

综上所述，aw是与超孔隙水压消散相关的边界参数，其大小仅决定超孔隙水压消散速率的大小，对超孔隙气压的消散过程无影响。

3.2.5aw不变而aa变化对超孔隙压力的影响

为研究边界参数aa对超孔隙压力消散速率的影响，取aw=ba=bw=1，aa从0 增至50(透气性由完全渗透变为近似完全不渗透)，所得超孔隙压力在深度z=5 m 处随时间t的变化过程如图8(a)和图8(b)所示。

图8 z = 5 m 时, aa变化时超孔隙压力随时间t 的变化规律Fig.8 Variations of excess pore pressures with time at z = 5 m and different aa

从图8(a)可以发现aa变化对超孔隙气压消散有明显影响，且都于105s 左右开始。随着aa取值的增大，超孔隙气压消散所需时间越长，即消散速度越小。而观察图8(b)可知aa变化仅影响超孔隙水压力消散的前期。原因在于，这些微小的影响仅是固结前期超孔隙气压消散所致。

由边界条件式(6)可知，参数aa、aw的变化分别主要影响超孔隙气压力与超孔隙水压力的消散过程。因此，当aw不变，仅改变aa时，超孔隙气压消散过程受影响程度较大，而对超孔隙水压消散的后期几乎没有影响。

4 结论

本文基于Fredlund 非饱和土一维固结理论得到了统一边界条件下非饱和土地基作用瞬时均布荷载时的半解析解。通过对边界参数的分析，可以得到以下主要结论：

(1) 本文得到的统一边界条件下的半解析解更具通用性，满足实际工程中不同类型边界条件的需求。

(2) 通过改变相关边界参数的取值，可以模拟土层边界由完全不渗透到完全渗透的变化过程。

(3) 对比不同边界条件下超孔隙压力消散规律可知，边界条件对超孔隙气压力和超孔隙水压力消散规律影响很大。相对完全透气透水边界条件而言，半渗透边界对非饱和土中超孔隙气压及超孔隙水压的消散有一定的阻碍作用。

(4) 参数aa、aw与ba、bw对超孔隙压力消散规律的影响效果完全相反。参数aa、aw可视作渗透阻力系数，而参数ba、bw可视为渗透系数。

(5) 参数aa、ba主要影响超孔隙气压的消散速率，而aw、bw主要影响超孔隙水压的消散速率。当边界参数aa≤0.1或ba≥5时，对应的边界近乎完全透气边界；当aw≤0.1或bw≥5时，对应的边界接近完全透水边界。