地震模拟振动台在线迭代控制方法研究

张芙蓉，周惠蒙，张 博，宋伟旭，王 涛

(1.中国地震局工程力学研究所地震工程与工程振动重点实验室，黑龙江，哈尔滨 150080；2.地震灾害防治应急管理部重点实验室，黑龙江，哈尔滨 150080；3.广州大学工程抗震研究中心，广东，广州 510006；4.北京博科测试系统股份有限公司，北京 101102)

地震模拟振动台试验是模拟结构地震响应的一种最直接的试验方法[1-2]。近年来，海上风力发电塔架结构、地下空间结构、摩擦摆隔震结构等新型结构体系振动台模型试验研究[3-9]对振动台时域内再现地震波形的精度提出了更高的要求。而传统的振动台波形再现控制主要采用基于三参量控制器[10-15]的振动台控制方法或振动台位移控制结合开环迭代方法以确保波形再现精度[16]。这些方法对具有较强非线性的试验模型，控制效果有待进一步提高。而且在振动台结构模型试验中，试验体往往是易损且难以修复的，比如钢筋混凝土结构，在测试过程中产生的累积损伤导致其动力特性不断变化，识别这种变化的动力特性需要较高能量的白噪声信号，又进一步加重了物理损伤。因此即使多次迭代修正也不能反映真实的结构地震响应特性[17]。针对此问题，有学者采用自适应控制[18]和滑动模式控制等[19-20]方法实现对非线性系统的鲁棒控制。魏巍等[21]针对电液伺服振动台由于流量非线性导致的加速度振动信号波形失真现象，提出一种基于流量非线性逆模型的补偿控制策略，提高了振动信号的跟踪精度。PHILLIPS 等[22]提出了一种基于模型的多运动量振动台控制策略，以改进对单轴振动台加速度命令的跟踪，同时保证对非线性系统的鲁棒控制。NAKATA[23]提出了一种加速度轨迹跟踪控制方法，提高了加速度的复现精度。RYU 和REINHORN[24]提出了一种基于振动台和试验体动力特性及其相互作用的跟踪控制策略，对非线性振动台系统模型进行实时估计和控制。YAO 等[25]为了减少谐波失真并提高振动台的控制性能，开发了一种谐波消除最小均方(LMS)自适应算法。田磐和陈章位[26]针对加速度迭代更新速率低而导致振动台在试件弹塑性阶段控制精度差的缺陷，提出一种频率分段快速迭代控制方法。

上述迭代算法的实现过程，并没有对系统矩阵的识别精度进行定量评估，皆采用系统矩阵直接更新策略。系统矩阵识别精度无法得到保证，是制约在线迭代控制方法精度提升的瓶颈问题。

本文研究了一种基于系统矩阵修正的高精度在线迭代控制方法(HRICS)，通过选择不同的矩阵精度评价指标对振动台的系统矩阵进行针对性的修正，最终得到期望的输出响应。本文首先介绍了HRICS 方法的算法原理，然后实现了HRICS 方法的软硬件架构和振动台模型试验设计，最后进行试验验证并对结果进行分析。

1 高精度在线迭代控制方法原理

高精度在线迭代控制(HRICS)方法在线识别并修正系统矩阵，当系统特性相对于初始状态发生变化时，HRICS 方法可对系统变化特性进行实时识别，从而提高波形再现精度。

HRICS 方法将输入的地震动数据按照采样频率进行分段处理，每一段数据即为系统矩阵识别更新的基本单位：帧。一帧数据时长为T，当采样频率为fs时，一帧数据的长度为n=T fs。HRICS方法的控制原理如图1 所示。

图1 HRICS 控制原理框图Fig.1 HRICS control block diagram

1) 第1 帧驱动信号生成。HRICS 方法首先判断初始系统矩阵是否已知，若初始系统矩阵已知，则利用初始系统矩阵进行驱动计算，生成第1 帧驱动信号；否则，使用白噪声组成第1 帧驱动信号。

2) 响应信号生成。得到第m帧驱动信号后，取第m帧驱动信号的第i个数据，输入振动台控制系统，测量出系统响应信号的第i个数据，重复输入驱动数据，直到输出第n个响应数据，生成第m帧响应信号。

3) 系统矩阵在线识别及修正。由第m帧驱动信号和第m帧响应信号在线辨识，获得第m帧识别矩阵，并根据逻辑信号值，判断是否进行矩阵修正，若不修正，则第m帧识别矩阵可直接作为第m帧系统矩阵；否则，选择矩阵修正策略和矩阵精度评价指标对第m帧识别矩阵修正更新，第m帧系统矩阵即为更新后的第m帧修正矩阵。其中矩阵修正策略有2 种：一种为帧修正策略，采用相干函数加权和作为矩阵精度评价指标，衡量每一帧识别矩阵的精度，对识别矩阵进行更新；另一种为频率点修正策略，频率点修正策略需要判断识别矩阵每一个频率点的精度，精度的判断可采相干函数指标和功率谱密度指标。

4) 驱动信号迭代更新。第m帧系统矩阵求逆得到系统逆矩阵，利用系统逆矩阵和目标信号驱动计算生成下一帧驱动信号。

5) 重复以上步骤，不断更新驱动信号，直到试验结束。

以下介绍HRICS 方法的2 个关键环节：系统矩阵在线识别及其修正算法。

1.1 系统矩阵在线识别

系统矩阵在线识别算法不保留任何过去识别的矩阵信息，将第m帧在线识别的矩阵直接作为系统矩阵。系统矩阵在线识别过程如图2 所示，依次将第m帧驱动信号um(t)的n个驱动数据输入振动台系统得到n个响应数据从而获得第m帧响应信号ym(t)。对驱动信号和响应信号进行傅里叶(FFT)变换，得到频域响应Um(f)和Ym(f) 。 求出um(t) 的 自相关功率谱密度Sumum(f)：

图2 系统矩阵在线识别算法原理Fig.2 Online recognition algorithm for system matrix

以及um(t)和ym(t) 的互相关功率谱密度Sumym(f)：

式中：Umj(f)和Ymj(f) 分 别为um(t)和ym(t)的第j个数据段的FFT 变换，(f)为Umj(f)的共轭复数，(f)为Ymj(f)的共轭复数；M为平均次数；N为FFT 变换的点数。

识别矩阵Hm(f)的计算采用H1法：

对识别矩阵Hm(f)求逆，可得到系统逆矩阵Gm(f)：

目标信号y˜m(t)进行FFT 变换得到频域响应Y˜m(f) ，Y˜m(f)和Gm(f)进行驱动计算，求出第m+1帧新的频域驱动信号Um+1(f)：

将Um+1(f)进行傅里叶逆变换(IFFT)得到um+1(t)，将m+1 赋值给m，重复以上步骤，不断进行驱动信号迭代更新。

1.2 系统矩阵在线修正

HRICS 方法可以采用帧修正或频率点修正策略对系统矩阵在线修正，修正算法引入矩阵精度评价指标，在系统矩阵在线识别的基础上进行改进。HRICS 方法获得识别矩阵后，根据矩阵精度评价指标和上一帧获得的修正矩阵，更新修正识别矩阵，提高振动台系统的波形再现精度。系统矩阵在线修正算法示意如图3 所示。

图3 系统矩阵在线修正算法示意图Fig.3 Schematic diagram of online correction algorithm for system matrix

图4 为第m帧系统矩阵在线修正过程，根据驱动信号um(t) 和 响应输出ym(t)的功率谱密度Sumum(f)、Sumym(f)、Symym(f) ， 求 出 相 干 函 数Cm(f)：

图4 系统矩阵在线修正算法原理Fig.4 Online updating algorithm for system matrix

式中，ym(t) 的自相关功率谱密度Symym(f)：

通过系统矩阵在线识别，获得识别矩阵Hm(f)后，选择相应的修正策略，若选择帧修正策略，先计算相干函数加权和指标。

将第m帧目标信号y˜m(t) 的功率谱密度Sy˜my˜m(f)作为权重：

式中：Y˜mj(f) 为y˜m(t)的第j个数据段的FFT 变换，Y˜m*j(f) 为Y˜mj(f)的共轭复数。

Sy˜my˜m(f) 与相干函数Cm(f)加权，得到相干函数加权和指标 Φm：

式 中：Sy˜m,iy˜m,i为Sy˜my˜m(f)的第i个频率点；n为参与加权的数据点数。

将 Φm和第上一帧的 Φm-1相比较，判断 Φm的值是否大于 Φm-1，若大于，则更新系统矩阵，第m帧识别矩阵Hm(f)直接作为第m帧修正矩阵Hm(f)。否则，不更新系统矩阵，第m帧的修正矩阵Hm(f)保持为第m-1 帧的修正矩阵Hm-1(f)。

若选择频率点修正策略，则可采用相干函数指标和功率谱密度指标两种矩阵精度评价指标来判断是否进行矩阵的修正更新。频率点修正策略循环判断第m帧相干函数Cm(f)的第i个频率点Cm,i是否大于0.95，或者判断第m帧响应信号的功率谱密度Symym(f) 的 第i个频率点Sy˜m,iy˜m,i是否大于第m-1 帧 功率谱 密度的 第i个频 率 点Sy˜m-1,iy˜m-1,i，若 满足条件，第m帧识别矩阵Hm(f)的第i个频率点Hm,i作为第m帧修正矩阵Hm(f)的第i个频率点Hm,i；否则，Hm(f)的第i个频率点Hm,i仍为第m-1 帧修正矩阵Hm-1(f)的第i个频率点Hm-1,i。当判断到第n个点时可以获得第m帧修正矩阵Hm(f)。完成系统矩阵在线修正阶段，对第m帧修正矩阵求逆，继续进行驱动信号迭代更新，重复以上步骤，直到试验结束。

2 试验系统设计

为了进一步证明HRICS 方法的有效性，在中国地震局工程力学研究所恢先地震工程实验室振动台上进行试验验证。如图5 所示，试验体为调谐质量阻尼器(TMD)装置[27]，该装置使用的是摩擦阻尼，带有一定的非线性特征。试验体的质量、基本频率、刚度、阻尼分别为500 kg、1.948 Hz、1896.93 N/m、220 N·s/m。振动台性能参数见表1。

表1 振动台性能参数Table 1 Performance parameters of shaking table

图5 TMD 试验体Fig.5 TMD test specimen

振动台试验框架如图6 所示。振动台试验以振动台控制器作为基础控制单元，使用基于共享内存卡(SCRAMNet)的实时通信方式，实现外部控制逻辑的扩展。使用运行在主机PC 上的Matlab/Simulink 软件搭建和编译HRICS 算法。

图6 振动台试验HRICS 框架Fig.6 HRICS framework for shaking table test

在振动台试验开始前，先将算法编译至xPC目标主机中，通过SCRAMNet 卡进行数据收发。试验中数据的采样频率fs为256 Hz，FFT 点数N为1024 点，一帧数据时间T为4 s。通过Simulink模型实现HRICS 控制算法，加速度计测量响应加速度，将响应信号反馈至xPC 目标主机中，用于下一步的迭代控制。

3 试验验证

人工地震动频率一般在2 Hz～30 Hz 的范围内，而天然地震动频率一般在2 Hz～25 Hz 的范围内。人工地震动的能量在频域上分布均匀，能覆盖大量的实测地震动频率，故采用y向人工地震动作为试验的目标加速度信号。由于振动台的位移限制，将目标信号幅值缩放到4 m/s2以下，波形如图7 所示。

图7 目标加速度信号Fig.7 Target acceleration signal

在初始矩阵未知和初始矩阵已知两种不同条件下，分别比较HRICS 方法采用无修正的矩阵在线识别策略和有修正的矩阵修正策略的控制效果。在初始矩阵已知且相同的情况下，比较ICS 方法与HRICS 方法对目标波形的再现精度，验证HRICS 控制算法的有效性。试验通过比较目标信号和响应信号的绝对误差和功率谱密度，采用绝对误差的均值MAE (式(10))和均方根RMES(式(11))作为衡量标准，评估HRICS 的控制效果。通过Simulink 建立非线性仿真模型，利用数值模拟试验验证HRICS 在试验体具有非线性特性情况下的控制效果。

3.1 HRICS 方法控制效果验证

在初始矩阵未知时，由输入白噪声信号作为首帧驱动信号，进行振动台试验。图8 与图9 分别为采用矩阵在线识别、帧修正策略、频率点修正策略获得的响应信号与目标信号的绝对误差以及功率谱密度曲线。

图8 初始矩阵未知时HRICS 方法的响应绝对误差Fig.8 Absolute error of HRICS method with unknown initial matrix

图9 初始矩阵未知时HRICS 方法的功率谱密度对比Fig.9 Power spectral density comparison of HRICS method with unknown initial matrix

绝对误差越小，HRICS 方法对目标信号的再现能力越强。图8(a)、图8(c)、图8(d)可以看出，在0 s～12 s 时，矩阵在线识别、频率点修正策略的绝对误差较大，但是在获取一定数据量后，绝对误差逐渐收敛，输出的响应信号逐渐趋于目标信号。图8(b)表明，帧修正策略与矩阵在线识别和频率点修正策略相比，绝对误差较大，目标信号的再现精度不佳。

图9(a)～图9(d)可以看出，帧修正策略相比于矩阵在线识别和频率点修正策略，其控制效果最差。将频率5 Hz～6 Hz 的功率谱密度进行放大对比，从图9(a)、图9(c)、图9(d)能够看出，频率点修正策略的控制效果优于矩阵在线识别，而频率点修正策略中采用相干函数指标与采用功率谱密度指标相比，前者更能获得较好的地震模拟试验精度。

时域和频域的试验结果表明，初始矩阵未知时，频率点修正策略优于矩阵在线识别和帧修正策略；而对于频率点修正策略，采用相干函数指标作为矩阵精度评价指标时，HRICS 方法对目标信号的复现精度最高。

在初始矩阵已知时，由初始矩阵驱动计算获得驱动信号，输入驱动信号，继续进行振动台试验。图10 与图11 分别展示了初始矩阵已知时，矩阵在线识别和采用不同矩阵修正策略时，响应信号与目标信号的绝对误差和功率谱密度对比曲线图。

图10 初始矩阵已知时HRICS 方法的响应绝对误差Fig.10 Absolute error of the response of HRICS method with known initial matrix

图11 初始矩阵已知时HRICS 方法的功率谱密度对比Fig.11 Power spectral density comparsion of HRICS method with known initial matrix

由图10(a)～图10(d)可见，矩阵在线识别与矩阵在线修正获得的控制效果差异很小，误差均在12 s 以后，随时间逐渐收敛。从图11(a)～图11(d)和5 Hz～6 Hz 的功率谱密度局部放大图可以看出，矩阵在线识别与矩阵在线修正获得的响应信号的功率谱密度与命令信号的功率谱密度吻合度相当。时域与频域结果表明，当初始矩阵已知时，HRICS 方法采用矩阵在线识别或矩阵在线修正，都能获得近似的控制效果。

目标信号和响应信号的绝对误差的均值和均方根值在表2 中列出。图12 为HRICS 方法采用矩阵在线识别、帧修正策略、频率点修正策略的不同情况下，第1 帧～第6 帧的响应信号和目标信号的绝对误差的均方根值对比图。

表2 绝对误差的均值与均方根Table 2 Mean and root mean square of absolute errors

图12 第1 帧～第6 帧的响应绝对误差的均方根Fig.12 Root mean square of absolute error of response in frames 1 to 6

由表2 可知：1) 在初始矩阵未知时，系统矩阵在线识别的情况下，绝对误差的均值与均方根为0.2057 m/s2和0.2951 m/s2，采用基于相干函数指标的频率点修正策略后，绝对误差的均值与均方根下降到0.1885 m/s2和0.2645 m/s2；采用功率谱密度指标的频率点修正策略后，绝对误差的均值和均方根下降到0.1943 m/s2和0.2804 m/s2；但是采用帧修正策略后，响应绝对误差的均值与均方根分别上升为0.2954 m/s2和0.3973 m/s2。2) 在初始矩阵已知时，无修正的矩阵在线识别和采用相应策略的矩阵在线修正方法所获得的响应绝对误差的均值与均方根误差相差很小，绝对误差的均值在0.2535 m/s2～0.2692 m/s2，均方根在0.3777 m/s2～0.3911 m/s2。效果相对较好的为采用功率谱密度指标的频率点修正策略，其获得的响应绝对误差的均值与均方根最小，分别为0.2535 m/s2和0.3777 m/s2。

由图12 可见：1) 在初始矩阵已知或未知两种情况下，基于频率点的修正策略和帧修正策略以及无修正的矩阵在线识别相比，其绝对误差收敛的最快；2) 初始矩阵已知或未知，对帧修正策略的结果有明显影响，初始矩阵未知时，帧修正策略的响应误差发散，初始矩阵已知时，响应误差收敛。

除人工地震动以外，同时也采用EI-Centro 天然地震动进行了相同的试验验证HRICS 的控制效果，试验结果均表明：无论初始矩阵已知还是未知，HRICS 方法采用频率点修正策略对识别矩阵进行修正更新，最终获得的效果优于矩阵在线识别和帧修正策略。

3.2 ICS 与HRICS 方法控制效果对比

ICS 方法以白噪声识别后的第一次迭代控制效果参与对比试验，HRICS 选择采用相干函数指标的频率点修正策略作为系统矩阵修正方法。ICS 方法与HRICS 方法使用的初始矩阵均由ICS 识别获得。输入和上述试验相同的人工地震动作为目标波形，比较HRICS 与ICS 方法的控制效果。图13和图14 分别为目标信号与响应信号的绝对误差和功率谱密度的对比图。

图13 目标和响应信号的响应绝对误差Fig.13 Absolute error of response for target and response signals

图14 目标与响应信号的功率谱密度对比Fig.14 Comparison of the power spectral density of the target and response signals

图13(a)、图13(b)可以看出，HRICS 的目标信号和响应信号的误差随时间逐渐收敛。HRICS方法的绝对误差均值和均方根分别为0.2368 m/s2和 0.2716 m/s2，远低于ICS 方法的0.3445 m/s2和0.3629 m/s2，这表明HRICS 方法的控制精度优于ICS 方法第一次迭代后的控制效果。

图14 表明HRICS 响应信号的功率谱密度与目标信号的功率谱密度吻合度较高，说明HRICS方法相对于ICS 方法的第一次迭代，表现出更好的控制效果。时域和频域结果表明，HRICS 方法能够在振动台试验中取得更优的控制精度，对目标信号也表现出更强的再现能力。

3.3 非线性情况下，HRICS 控制仿真

在Simulink 中建立振动台仿真模型，以非线性单自由度结构作为数值模拟试验的试验体，如图15 所示。通过HRICS 控制器将驱动命令输入到作动器中，控制振动台移动，并输出内环位移信号和外环加速度响应信号，使HRICS 完成在线迭代，复现目标信号。

图15 振动台非线性仿真模型Fig.15 Nonlinear simulation model of shaking table

试验体的质量为450 kg，阻尼为2500 (N·s)/m，初始刚度为17 765 N/m。由图15(b)可以看出，试验体为非线性体系，刚度的变化如式(12)所示：

式中：k0为试验体的初始刚度；x为输出位移响应。

仿真试验中以白噪声为目标波形，采集台面加速度为输出信号，验证HRICS 在非线性体系下，采用以相干函数为矩阵精度评价指标的频率点修正策略的控制效果；以EI-Centro 波为目标信号，采集台面加速度为输出信号，对比ICS 和HRICS 的在非线性体系下的控制效果，验证HRICS 的优越性。

图16 为白噪声激励下的HRICS 控制效果图，从图16(a)、图16(b)中时域和频域的加速度响应曲线可以看出，HRICS 方法采用以相干函数为矩阵精度评价指标的频率点修正策略时，获得的加速度响应信号与目标波形吻合度较好。表明HRICS 控制方法能改善系统的非线性特性对加速度响应信号波形失真的影响。

图16 目标与响应信号的加速度响应和功率谱密度对比Fig.16 Comparison of acceleration response and power spectral density of target and response signals

图17(a)、图17(b)分别为ICS 迭代和HRICS迭代的时域和频域效果对比。从图17 可见，在系统具有明显的非线性特征情况下，HRICS 方法最终响应与期望曲线更加接近。这表明，HRICS 控制方法能够很好地满足对目标波形的复现要求。

图17 ICS 与HRICS 的加速度响应和功率谱密度对比Fig.17 Comparison of acceleration response and power spectral density of ICS and the HRICS

通过数值模拟分析可以得到如下结论：在试件具有非线性特性的情况下，HRICS 迭代方法采用以相干函数为矩阵精度评价指标的频率点修正策略时，可以提高振动台加速度再现精度；HRICS方法对目标波形的复现精度高于ICS 方法。对于振动台试验而言，更期望精确再现加速度，所以采用HRICS 方法更合适。振动台仿真模型仍与真实的振动台有很大差别，还需通过真实试验进一步验证HRICS 迭代算法在非线性系统下的可靠性。

4 结论

本文提出了一种基于系统矩阵修正的高精度在线迭代控制方法，该方法结合3 种矩阵精度评价指标来评估系统矩阵识别精度，采用基于数据帧或数据频率点的系统矩阵在线修正策略，有效地提高了振动台模型试验目标波形的再现精度。基于振动台搭建了HRICS 方法的软硬件平台，以调谐质量阻尼作为试验体进行了地震模拟振 动台模型试验，在初始矩阵已知或未知的情况下，以人工地震动为控制目标，进行HRICS 方法矩阵在线识别以及不同矩阵修正策略的对比试验，并将HRICS 方法与ICS 方法比较，验证HRICS 方法的优越性。最后通过数值模拟，验证了HRICS 在非线性体系下的控制效果。得到主要结论如下：

(1) 在初始矩阵未知和初始矩阵已知2 种不同的情况下，HRICS 方法采用频率点修正策略获得的控制效果要优于帧修正策略和矩阵在线识别策略。

(2) 在初始矩阵已知时，且初始矩阵相同的情况下，HRICS 方法对目标波形的复现精度明显高于ICS 方法第一次迭代后对目标信号复现精度。

(3) 系统具有非线性特性的情况下，HRICS 方法采用以相干函数为矩阵精度评价指标的频率点修正策略时，可以提高振动台加速度再现精度；且对目标波形的复现精度高于ICS 方法。

在初始矩阵未知的试验中，建议采用以相干函数指标为矩阵精度频率指标的频率点修正策略；在初始矩阵已知的试验中，宜根据实际情况，选择相应的修正策略。

本文在验证算法的不同控制策略的效果时，所采用的试验体主要为含有部分非线性特征的线性试验体，数值模拟分析的结果表明采用以相干函数为矩阵精度频率指标的频率点修正策略能避免试件突变对HRICS 算法的影响，但对于试件进入非线性之后的响应修正还需要进一步的试验验证。