对称五对角矩阵加箭型矩阵的广义逆谱问题

苏 然，雷英杰，李繁华

（中北大学数学学院，太原 030051）

0 引言

研究了具有形如式（1）的矩阵A，其中，ai（i＝1，2，…，n）为实数，bi＞0（i＝1，2，…，n），1≤m≤n。当m＝1时，矩阵A为对称的箭型矩阵［1－2］，当m＝n时，矩阵A就变成对称的五对角矩阵［3－4］。

箭型带状的逆谱问题起源于文献［5－6］关于三对角矩阵和箭型矩阵的讨论，三对角矩阵和箭型矩阵的逆谱问题广泛应用在信号处理和数学建模等领域，关于此类箭状矩阵的类似问题已得到研究，详细见文献［7－10］。五对角矩阵的逆谱问题应用于梁系模型中，梁系结构简化为梁模型时，系统必须满足一定的特殊结构，此时，系统的数学实质是一类五对角矩阵。文献［11］讨论了由3个交错特征值构造对称五对角矩阵，文献［12］研究了由3个混合特征数据构造一类广义的对称五对角矩阵。

在文献［8］中，作者已研究了三对角矩阵加箭型矩阵的逆谱问题，但未讨论五对角矩阵加箭型矩阵的逆谱问题。相比文献［8］，将箭型带状矩阵从经典的三对角矩阵［13－17］推广到了特殊五对角矩阵。给定所有主子阵的极端特征值，通过顺序主子阵间的递推关系来构造此类箭状矩阵明显存在困难。结合几何学上圆锥曲线的相关性质，通过考虑一个非退化二次圆锥曲线的存在性，研究了此类特殊箭状矩阵的广义逆谱问题。

问题给定实数和实数d＞0，构造具有形如式（1）的n阶对称实矩阵A，使得分别是矩阵A的j阶顺序主子阵Aj的最小、最大特征值，其中bm＝d。

1 预备知识

引理1给定形如式（1）的对称矩阵A，其各阶顺序主子阵的特征多项式序列满足下列递推关系：

其中：Q1（λ）＝1和Qj－1（λ），j＝3，…，m是矩阵A通过删除顺序主子矩阵Aj－1的第j－2行和第j－2列得到其对应的特征多项式。

引理2［8］给定形如式（1）的对称矩阵A，、分别是其对应顺序主子阵Aj的最小、最大特征值的充要条件为：

推论1如果形如式（1）的对称矩阵A的主子阵Aj的最小、最大特征值分别为i≤n－1）为矩阵A的对角元，Pj（λ）为Aj的特征多项式，那么

简化计算定义的记号如下：

2 问题有解的充分条件

定理1给定实数和实数d＞0且bm＝d，存在一个n阶实矩阵A，使得、是矩阵A的j阶顺序主子阵的最小、最大特征值的充分条件为：

和

证明充分性。假设条件（3）—（5）成立，矩阵A存在等价于方程组（6）的实数解。

当j＝1时，由引理1和式（6）得

当j＝2，…，m－1时，由引理1和式（6）得

由式（2）（3）和推论1知

当j＝m时，由引理1和式（6）得

式（9）可以写为：

其中

为了求解式（10），由式（2）得

其中

点（X，Y）＝（bm－1，bm）一定属于集合C：

集合C包含在圆锥曲线中。不管它是否退化，圆锥曲线始终存在。

等式（11）可以写为LMLΤ＝0，其中

当detM＝0时，圆锥曲线C是退化的，且不存在。

当detN＞0和（Um＋Vm）detM＞0时，圆锥曲线是虚椭圆，即C＝∅。

由条件（3）和推论1得－（Um＋Vm）Wm＞0。

因此，如果detN＞0，有（Um＋Vm）detM＝（Um＋Vm）WmdetN＜0，此时，圆锥曲线是椭圆，且圆锥曲线C始终存在，所以bm－1、bm存在且满足式（10）。

当bm＝d，X＝bm－1时，由式（11）得

由定理1中条件（4）和（5）解得

由条件（5）知，bm－1有2个解，选bm－1＞0。

由式（10）和推论1得

当bm－1＝d，Y＝bm时，类似上述证明，解得

当j＝m＋1时，由引理1和式（6）得

由推论1得

当j＝m＋2，…，n时，由引理1知

由引理2和推论1得

证毕。

注1

1）在定理1重构对称矩阵A的顺序主子阵Am时，主子阵Am的所有项都是唯一的，除了am。

2）定理1保证了圆锥曲线C总是存在的，不管它是否退化，设bm＝d，相当于在平面内考虑直线X＝d，这条直线可能与圆锥曲线C相交，也可能不相交。定理1中条件（4）保证了直线X＝d与圆锥曲线至少有一个交点。

推论2基于定理1的相同假设和表示下：

2）如果满足条件（3）和bm＝d。则存在形如式（1）的主子阵Am，使得j＝1，…，m是矩阵A的j阶顺序主子阵的最小、最大特征值，且满足条件（3）和bm＝d。

注2在几何学上，推论2的建立可能得出不同类型的圆锥曲线，有2种情况：

1）如果Um（Vmd2＋Wm）＝0，detM＝detN＝0时，圆锥曲线是退化的，当Wm（Um＋Vm）＜0，圆锥曲线是由2条平行线组成，在这种情况下，任何直线X＝d与圆锥曲线相交。如果Um（Vmd2＋Wm）＞0，detM≠0和detN＜0，圆锥曲线X＝d是一个双曲线，在这种情况下，任何直线X＝d与双曲线相交。

2）如果detN＞0，（Um＋Vm）detM＜0，圆锥曲线C是一个椭圆，由于椭圆的中心在Y轴上，任何直线X＝d＞0，d在一个适当的区间内与椭圆相交。

3 数值算法与实例

3.1 数值算法

步骤1输入实数和实数d＞0且bm＝d；

步骤2若满足定理1中的条件（3）则继续；否则算法结束；

步骤3当j＝1时，计算a1＝；

步骤4当j＝2，…，m－1时，计算

步骤5当j＝m时，计算UmVm，Um（Vmd2＋Wm），再进行判断UmVm＜0且Um（Vmd2＋Wm）＜0，如果成立，执行步骤6，否则停止；

步骤6计算

步骤7当j＝m＋1时，计算

步骤8当j＝m＋2时，计算

步骤9输出矩阵A。

3.2 数值实例

表1所示为初始特征数据，设定m＝4，n＝6。

解当d＝1时，满足表1，通过3.1节的数值算法和Matlab R2021b计算得矩阵A6的主子阵A4为：

当d＝3时，意味着矩阵A6不存在主子阵A4。根据推论2得即d∈（0，2.463 7），此时，矩阵A6存在主子阵A4且b4＝d。

通过3.1节的数值算法和Matlab R2021b计算得到矩阵为：

再通过Matlab R2021b计算矩阵A6的顺序主子阵的特征值如下：

图1为矩阵A6所有主子阵特征值的演示结果。

图1 定理1中低阶A j特征值的分布

4 结论

基于三对角矩阵和箭型矩阵的研究，讨论了对称五对角矩阵加箭型矩阵的广义逆谱问题。前人利用特征值的交错性解决了三对角矩阵加箭型矩阵的逆谱问题，然而通过该方法重构五对角矩阵加箭型矩阵时，明显存在困难，故在其基础上进行改进，通过加入其他约束条件保证了二次曲线一般方程的存在性，实现了特殊箭型带状矩阵的重构。给定各主子阵的极端特征值，通过顺序主子阵间的递推关系，将矩阵的逆谱问题转换为求解圆锥曲线方程的问题，获得了问题有解的充分条件和解的表达式。这对研究其他矩阵的逆谱问题有一定的借鉴意义。