TPACK视角下初中数学微项目学习设计与实施
——以“函数在优化家庭储物空间中的应用”为例

◎ 龚 笛

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《2022 版课标》）中指出，要注重信息技术与数学教学的融合，重视大数据、人工智能等对数学教学改革的推动作用，改进教学方式，促进学生学习方式转变。TPACK 模型作为信息时代教师所需的新知识框架，整合了技术、学科内容和教学方法，为教学改革提供了新的视角。初中数学作为一门基础学科，需要不断探索新的教学方式，以适应时代发展的需要。本文利用数字化学习平台，将技术整合到数学建模的过程中，提高教学效果和学习体验。以微项目引领、小组讨论、任务驱动的方式进行探究式教学，学生经通过动手实验理解函数概念，构建数学模型得出解决方案，培养学生数据观念、模型观念和应用意识等数学核心素养。

一、基于TPACK 框架的初中数学微项目学习设计流程

（一）TPACK 框架简介

1985 年，舒尔曼提出了PCK，试图从专业能力维度给出教师专业发展的一些重要指标。2005 年，科勒与米什拉引入技术知识，指出需要结合特定的教学情境来理解教师的发展，特别强调了信息技术的重要作用［1］，由此，TPACK 框架成型。TPACK 是一套符合信息技术时代教师专业发展需要的专业知识体系，它是由CK（学科知识）、PK（教学法知识）、TK（技术知识）、PCK（学科教学知识）、TCK（整合技术的学科知识）、TPK（整合技术的教学法知识）和TPACK（整合技术的学科教学知识）等七个部分组合而成，各个元素之间的关系如图1 所示［2］。TPACK 追求的是在学科教学的过程中，将信息技术与学科进行整合。TPACK 框架下的数学教学，要求教师应以CK、PK、TK 三个核心要素为基础，运用整合技术的数学教学知识（TPACK）进行教学［3］。

图1 TPACK 框架图

为进一步提升教育现代化的水平与质量，上海市黄浦区在区域层面系统推进指向核心素养的项目化学习，引领学生走向真实的学习。在探索、实践、行动研究的基础之上，提出了实践层面的概念框架AKAI 循环，即激活（Activation）—新知（Knowledge）—应用（Application）—整合（Integration），如图2所示［4］。

图2 概念框架AKAI 循环

教师应用AKAI 模型设计数学微项目时，先对微项目涉及的数学学科知识（CK）进行分析，确定以核心素养为导向的教学目标，再选择合适的教学法（PK）和信息技术支撑软件（TK）。接着对这三个要素进行整合，运用整合技术的数学知识（TCK）创设情境，提出问题，激发学生的学习兴趣和求知欲；运用学科教学知识（PCK）采用问题式教学和探究式教学，学生以实践操作、合作探究等形式在解决问题的过程中完成对新知的建构和理解；运用整合技术的教学法知识（TPK）提供更加丰富、灵活、个性化的学习方式和资源，改变教师角色由知识的传授者转变为指导者，整合技术的学科教学知识（TPACK）确定教学环节，再进行教学实施和综合性评价，最后反思总结，具体流程如图3 所示。

图3 基于TPACK 的教学设计流程图

二、TPACK 视角下的微项目学习案例教学设计解析

基于TPACK 视角下的微项目学习设计的维度与流程，笔者在沪教版八年级数学教材第18 单元“正比例函数与反比例函数”单元教学设计的基础上，设计的以“函数在优化家庭储物空间中的应用”为题的微项目为例，进行深入的可行性分析与内涵研究。

《2022 版课标》中有三个涉及模型的数学核心素养，分别是模型意识、模型观念、数学建模，它们是一个整体在不同阶段的等级。初中阶段的模型观念具有承上启下的作用，在平时的教学过程当中，主要是通过应用问题培养模型意识，问题的开放性都很低，而本设计基于单元整体教学，在模型观念的统领下，以正比例函数知识为背景，根据实际情境提出开放性问题，通过教学过程的推进，完整体验数学建模的基本过程，为未来学习数学建模奠定基础。

《2022 版课标》指出应用意识主要是指有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题。也就是说，学生从数学的角度，用数学的语言、知识、思想方法描述、理解和解决各种问题，数学能力不仅仅在于掌握数学知识的多少，解决数学难题的多少，重要的是要看是否会利用数学知识和数学思维去解决实际问题，以及形成学习新知识的能力和适应社会发展的需要。

（一）学科内容知识的整合（CK）

本微项目的设计立足单元教学设计，进一步强化对函数概念的理解：函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，是数学学习的基础；还需要了解函数的定义、函数的表示方法、正比例函数的相关知识等。在此基础上，实验阶段整合科学、物理学科的知识和技能，建模阶段整合概率统计领域知识，解决问题阶段注重与实际应用的联系，让学生感受到函数在实际生活中的应用价值。

（二）教学法知识的整合（PK）

微项目学习强调学生的主动性和探究性，因此本案例中采用实验探究、创设情境、任务驱动、动手实践、小组讨论等多种教学方法。先以一个真实的情境“根据家庭洗手液的使用量情况估计洗手液用完的时间，综合其他因素确定洗手液的补货时间，使得家庭储物空间最优化”贯穿始终，激发学生解决问题的兴趣。再以任务为导向，以知识点为纽带，将教学内容设计成多个具体的、可操作性强的任务，学生紧密围绕任务活动，在教师的引导下，实现知识的内在构建，提高学生真实问题的解决能力。

（三）技术知识的整合（TK）

本微项目的数学建模的学习中，数据处理、图表绘制是基本能力，列统计表、画各类统计图、复杂的数值计算可以借助Excel、GeoGebra 等软件快速、准确地解决。

（四）技术与学科的整合（TCK）

本微项目学习中学生通过收集实验数据、分析实验数据抽象出数学问题，用函数的方法研究洗手液累计使用量与实验天数两个变量之间存在的数量关系和变化规律；学生在引导下借助“墨水屏”终端上的GeoGebra 数学软件绘制散点图，进而猜想得到正比例函数模型，利用统计学方法——最小二乘法建立优化的函数模型，并绘制函数图像，数字化学习平台将整个活动中的操作、思维可视化，形成模型观念，体验数学建模，这样可以让学生更加深入地理解函数的概念和性质，同时也可以培养学生的综合思维能力和实践能力。

（五）教学法与学科的整合（PCK）

本微项目实践时，课前和课中学生在实验测量、数据记录、数据分析、绘制散点、建立模型、优化模型、检验模型等任务驱动下，经历运用函数这一数学学科知识概念，构建数学模型并给出相应的解决方案，发展数据观念、模型观念和应用意识等数学核心素养。

（六）技术与教学法的整合（TPK）

本微项目在技术方面整合学生“墨水屏”终端和“人人通”学习平台，构建数字化学习环境。“人人通”学习平台可以连接教室希沃一体机，播放视频、课件等教学资源，也可以实现直接在平台上书写板书、推送板书、学生演示等功能，学生“墨水屏”终端支持获取板书、自定义笔记、资源共享、用GeoGebra 软件绘制函数图像等功能。利用数字化技术提供更加丰富、灵活、个性化的学习方式和资源，使教师角色由知识的传授者转变为指导者。另外，通过数字化评估方式和反馈机制关注学生的学习过程，实现形成性和表现性评价，从而引导学生主动探究、实践创新。

三、TPACK 视角下的微项目学习案例教学设计与实施

（一）教学环节

【环节一】创设情境，提出问题

观看视频，提出问题：“你家洗手液应该什么时候购买，家庭储物空间才达到最优化呢？”

设计意图：引发兴趣和动机，激活前概念和既有经验；引入问题情境，组织头脑风暴。

【环节二】实验分享，分析数据

学生课前活动：实验记录每个学生家庭一周7 天每天的洗手液使用量并计算累计使用量，完成“家庭洗手液使用量”实验记录表的填写，详见表1。

表1 “家庭洗手液使用量”实验记录表

分享讨论：①你是如何测量的？实验过程中碰到的困难和解决方法是什么？②分析实验数据，你觉得有哪些规律？

设计意图：通过整合科学、物理学科的知识和技能进行实验测量、数据记录、数据分析，引导学生运用函数这一数学学科知识概念研究问题，培养学生数据观念。

【环节三】绘制图形，建立模型

（1）小组讨论：如何用所学的函数表示法呈现洗手液累计使用量y（克）与时间天数x（天）之间的变化规律？

（2）绘制散点图：①将7 天实验数据形成的7 个点标记在直角坐标系中，形成散点图；②预测第8 天和第9 天洗手液累计使用量对应的2 个点的位置。

设计意图：学生尝试操作绘图，借助“墨水屏”终端上的GeoGebra数学软件绘制散点图，进而猜想得到正比例函数模型。

【环节四】交流讨论，优化模型

（1）小组讨论：你觉得正比例函数模型y=kx（k ≠0）中比例系数k 在本问题中如何确定呢？

（2）简单介绍一种常用的统计分析方法——最小二乘法。

（3）计算“一周7 天平均每天的洗手液使用量”，建立函数模型。

（4）利用GeoGebra 软件绘制所建立的正比例函数模型的图像，并观察讨论散点与所画直线的位置关系。

（5）教师演示绘制基于整个班级实验测量数据建立的函数模型的图像，观察讨论散点与所画直线的位置关系。

（6）归纳：更多的实验数据，可以更全面地揭示潜在规律，并有助于更准确地解释某些现象。

设计意图：利用最小二乘法建立优化的函数模型，师生共同运用GeoGebra 数学软件绘制函数图像，数字化学习平台将活动中的操作、思维可视化，让学生形成模型观念、体验数学建模。

【环节五】数形结合，检验模型

（1）计算第8、第9 天洗手液的累计使用量和这瓶洗手液用完的时间。

（2）描出第8、第9 天2 点的位置，对比之前预测的2 点的位置。

（3）讨论：你得到哪些结论？

设计意图：应用建立的函数模型求出结果并讨论结果的意义，从而对现实问题做出估计；并用GeoGebra 数学软件验证之前的预测。

【环节六】应用模型，解决问题

通过“制订洗手液购置储存计划还需要考虑哪些问题呢？”这一小组讨论活动，交流解决问题的方案。

设计意图：整合多领域知识与应用情境适配性问题，为后续制订洗手液购置储存计划提出建议，发展应用意识。

【环节七】总结归纳，拓展提升

（1）总结归纳：①数学建模的基本过程；②解决问题过程中涉及的数学思想方法；③数学建模的意义和价值。

（2）讨论：本节课建立函数模型的方法能在其他现实情境中进一步推广吗？

设计意图：启发学生从各个方面自主小结；引导学生迁移知识，拓展数学建模的领域，为未来学习数学建模奠定基础。

【环节八】及时反馈，综合评价

利用学习平台，根据评价量表，进行综合评价，详见表2。

表2 综合评价维度量表

设计意图：运用数字化评价方式和反馈机制关注学生的学习过程，实现形成性和表现性评价，从而引导学生主动探究、实践创新，最后采用学习平台上的“课堂打分”功能及时直观反馈评价数据。

【环节九】作业布置，任务延伸

（1）课堂上通过建立正比例函数模型预测家中洗手液用完的时间，那么事实是怎么样的呢？请学生回家实验验证。

（2）测量、计算家庭洗手液储物空间，调查、确定各品牌洗手液最佳购置计划，进而制订洗手液购置储存计划。

（3）使用本节课所学的建模方法，选择家中其他日用品作为研究对象，进一步优化家庭储物空间。

设计意图：作业的设计是课堂的延续也是后续优化项目设计的基础，借助数字化学习平台发布探究型任务，便于收集时间跨度大的作业；支持照片、视频等多形式的作业提交；统计作业结果、实现综合评价。

（二）教学反思

在实施过程中，我们采用了微项目学习的方式，以家庭储物空间优化为真实情境，通过建立函数模型，应用建立的模型求出结果并讨论结果的意义，从而对现实问题做出估计，提出解决方案，培养学生的数学应用能力和创新思维。

在本次教学实践中，笔者融合多种现代化的教学技术，如学习平台、GeoGebra 数学软件、多媒体教学软件等，将抽象的数学知识与实际生活相结合，通过直观的图像和视频，帮助学生更好地理解函数建模的过程。数字化技术的运用，不仅提高了学生的学习兴趣，也增强了他们对知识的理解和掌握。

从课堂反馈来看，大部分学生对本次教学表现出浓厚的兴趣，他们积极参与到课堂讨论和项目中，对函数在储物空间优化的应用有了更深入的理解。同时，学生在解决实际问题的过程中，也锻炼了他们的团队协作能力和创新思维。

四、结语

本文从TPACK 视角出发，探讨了初中数学微项目学习设计与实践，以“函数在优化家庭储物空间中的应用”为例，精心设计并实践了一种结合了技术、学科和教学法的微项目学习模式。数字化技术支撑下的微项目学习能够有效地提高学生的学习积极性和学习效果，通过实际操作和应用，学生能够更深入地理解和掌握数学知识，并能够在日常生活中应用这些知识解决实际问题，这样能有效地促进学生的学习和提高学生的问题解决能力。

当前，为跟进新课程的理念，教育数字化技术与数学课程正深度融合，本文不仅提供了一种新的视角来看待初中数学教育，也提供了一种新的教学方式。学生将现实情境数学化，用数学眼光观察世界；结合数学知识与数字化技术解决问题，用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，深入培养对学生未来学习至关重要的创新思维和实践能力。

未来，笔者可以进一步思考如何更好地将TPACK 模型与微项目学习相结合，以实现教学效果的最优化；如何更好地利用数字化技术提高微项目学习的效率和质量；如何更好地培养学生的创新能力和实践能力等。同时也需要不断实践和总结经验教训从而不断完善和提高TPACK 视角下微项目学习的设计与实践水平。