基于整体教学观下的初中数学复习课教学策略探析

黄小卫

初中数学复习课教学实践中存在“复习课与练习课混淆；重练习巩固，轻总结提升”等问题。复习课是新授课和练习课结束后进行的教学活动，基于整体教学观下的复习课教学有利于帮助学生梳理知识，深入理解知识掌握数学方法提升思维品质。本文提出整体内外联结、目标维度多元、核心主线辐射等复习课教学策略，从而帮助学生形成有生命力的数学知识网络，以点概面优化复习，整体实现课程目标，让学生掌握知识的同时，积累数学活动经验，提升思维品质，学会数学地思考。

《义务教育数学课程标准》（2022年版）提出，“教材编写应体现整体性。”可见，无论从学生认知发展过程，还是数学学科特点，都要求教师有意识地关注教学的整体性，让学生习得有生命会发展的数学，从而学会数学地思考和解决问题。初中数学复习课没有现成的教材，需要教师通过对数学教育和教学的理解进行设计和教学，导致复习课存在各种问题：复习课与练习课混淆；大量题目堆砌组成一份复习学案，学生苦扎题海；重练习巩固，轻总结提升；知识方法割裂，复习时知识点散乱，忽视知识方法的体系，就题论题，复习教学的设计只限于当前知识方法，不考虑知识的联系与发展；重结果，轻过程，复习时试图通过不断刷题复习提升学生解题能力，忽视学习过程的体验、数学思想的渗透等。复习课是新授课和练习课结束后进行的教学活动，整体教学观下设计的复习课有利于帮助学生梳理知识，并且将知识融入数学体系中；深入理解知识掌握数学方法提升思维品质，积累反思小结的经验。本文从“整体内外联结”“目标维度多元”“核心主线辐射”三个维度优化初中数学复习课教学策略，旨在提高教学效率。

1 整体内外联结

整体内外联结是指通过分析课标，分析教材，联系章内知识和章外知识，使知识体系化，为后续学习提供知识和方法基础。

1.1 章内整体设计

以浙教版八年级上册第一章《三角形的初步知识》为例，课标要求“理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，证明三角形的任意两边之和大于第三边。”章内逻辑关系：根据教材排布，学生的学习逻辑是从理解三角形（整体认知）到理解它的要素“顶点、边、内外角、主要线段”（局部认知），再到三角形的全等（关联认知），最后是尺规作图（逻辑提升）。然而，作为教育的数学，本章还承载了证明起始教学的重要任务，涉及命题、定理、证明等内容，贯穿整章。上述关系可用图1表示。

复习活动设计：已知△ABC，求作一个三角形与△ABC全等。

追问1：你是怎样作的？和同学比较，最简单的做法是什么？

追问2：表示这个三角形，说说三角形的定义，指出该三角形的顶点、边、角。三角形有哪些性质？

追问3：为什么研究三角形时我们会关注边、内角、外角？

由定义可知三角形是由不在同一直线上的三条线段首位顺次连接而成的图形，因此会关注构成图形的线段，即边；有相交线段自然会构成角。认识图形好比认识一个人，先有大概印象，再深入认识它的各个部分，直到它的内外联系。之后让学生画一画本章内容的知识框图。上述教学策略旨在让学生关注研究图形的“基本套路”，学生自己画知识框图有利于本章知识体系化、整体化。作为几何学习的初始教学，这样的梳理既是本章知识系统化，又是后续学习的方法指导。要实现整体复习，教师需要潜心研读课程标准和教材，高屋建瓴地带领学生认知数学，理解数学，学会数学地思考和解决问题。

1.2 跨章联结设计

数学教学具有教育性，教材会根据数学特点及学生认知规律编排内容，因此，也有了章节分割。但数学知识之间是不可分割充满联系的，也就是说教师在复习时要关注章知识块之间的联系。比如上述三角形的初步知识复习时在学生尝试画知识框架展示后，可以给出如图2的框架。

七年级上册学习了几何图形，学生已经知道点、线、面、體这些基本图形帮助我们刻画错综复杂的世界，之后学习了相交线、角、平行线，事实上都在研究图形本身及其关系。现在，对三角形的研究也是一样，三角形本身属于几何图形，它又由更基本的相交线段构成。这里可以从这一框架开始带领学生回忆相交线、角、平行线学习的过程，让学生体会研究图形不仅研究其本身，还要更深入地研究它内外部的联系，这样的思想恰与本文的内外联结设计一致。认识三角形复习通过联结之前几何图形、相交线、平行线的知识，学生自然理解研究图形需研究图形的构成要素，需研究内外部联系，为后续学习其他几何图形提供研究方法的参考。上述设计的操作框图如图3所示。

2 目标维度多元

目标维度多元是指在复习设计时关注数学知识和技能、数学思想、数学活动经验等课程目标的整体实现。

2.1 关注数学思想

课程标准指出，“义务教育阶段应结合具体的教学内容逐步渗透数学的基本思想。”渗透是隐性的，它需要一个长期的过程。新授课需要渗透，复习课更应关注数学思想的渗透。比如特殊三角形的学习过程渗透了一般到特殊的数学思想。通过边的数量关系、位置关系的特殊化得到等腰三角形或直角三角形，如图4所示。

在复习过程中要不断渗透这样的思想，经过长期的熏陶，学生自然而然地养成了一般到特殊的思考习惯。然而为了拓展学生的思维，更深刻地理解数学，更灵活地解决问题，在复习中不仅要提供“一般到特殊”的素材，也要让学生习惯于反过来思考问题，也就是不断运用图5的逻辑来研究问题。

例如，在特殊三角形复习中做如下设计。

问题1：已知，△ABC中，AD为BC边上的中线。（1）你能获得哪些结论？（2）要使△ABC为等腰三角形，AD需满足什么条件？等边三角呢？直角三角形呢？

问题2：已知，△ABC中，AD为BC边上的高线。要使△ABC为等腰三角形，AD需满足什么条件？等边三角形呢？直角三角形呢？

问题3：仿照前面两问编一个问题，并尝试解答。

问题4：如图6，以△ABC的每一条边作三个正方形。已知这三个正方形构成的图形中，黑色部分的面积与灰色部分的面積相等，则△ABC是直角三角形吗？请证明你的判断。

问题5：如图7，以直角三角形△ABC三边为直径作三个半圆，求S1，S2，S3之间的关系。

该设计中前两个问题将中线和高线特殊化从而将一般三角形特殊化。将等腰三角形、直角三角形关于中线和高线的性质的条件结论交换，思维含量加大，由于三角形的不确定，还要对问题进行分类思考。这样的设计事实上是类比一般三角形到特殊三角形中边的特殊化产生的，问题3也让学生体验了类比仿照，体验了研究的基本套路。上述问题4、5摘自教材，复习时通过这两问学生回顾了勾股定理及其逆定理，让学生关注到图形变化结论不会改变。此时，可以让学生再换一下图形试试，最后总结只要符合什么条件，结论都成立。这样的过程就是从特殊到一般的过程。在复习教学设计时，有意识地关注数学思想的渗透，长期潜移默化，学生头脑里的数学思想将从模糊走向清晰，养成数学地思考的习惯将改变其认识事物的方式。多年后数学知识学生将淡忘，但思考、理解、解决问题的习惯将使学生受益终身。

2.2 关注过程目标

数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，积累数学活动经验是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。经历、体验、探索等都为过程目标动词，教师在设计教学时要清楚经历体验什么，探索什么。在日积月累的经历、体验、探索后，复习提炼从经验到理性的结论便是顿悟。比如，几何研究往往从定性和定量两个角度展开，而两者又是统一的。在研究两条直线的位置关系时，相交线、垂直、平行都可以通过角度（量）来刻画，可见量是刻画图形性质和关系的重要方式。在比较线段长短的时候，用了叠合法和测量法，充分说明了统一单位长度后可以量化线段比较大小。三角形的学习中，三边关系的证明由两点之间线段最短获得，但在证明之前依旧需要让学生体验量对于性的作用，也就是说画几个三角形量一量，比一比，猜一猜，再来证明。勾股定理一节的课题便是“探索”，有了三角形三边关系量、比、猜、证明的经验，学生自然想到从量开始（这里可将三角形放于方格中减小误差），证明的难点来源于二次等式。这里又要回归到图形的量化问题，在多项式的乘法和乘法公式教学中教材安排了图形面积验证，事实上也在告诉学生“我们可以通过量化图形来研究图形。”这样，探索勾股定理方向就明确了。前面图形量化限于线段和线段、角和角。弧的出现又是新的提升，弧作为曲线，它的长可以用“度”来刻画。经过上述分析，在解直角三角形复习中可做如下设计。

问题1：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=4，解这个直角三角形。

问题2：上述问题中运用到哪些知识？

问题3：已知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=6。求cosB

问题4：已知△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a。求cosB

问题1学生关注的是解直角三角形的含义、三角函数定义等。问题2让学生把用到的知识并非做简单的知识回忆，应让学生明确勾股定理解决的是直角三角形的边边关系，直角三角形两锐角互余解决的是角角关系，而三角函数则是边角关系，即角的大小可以用边的比值来量化，这与之前学习的线段、角、弧的量化相统一。问题3非直角三角形中已知三边求角，问题4是问题3的一般化，学生仅仅获得了解非直角三角形的方法是不够的，还应追问“这里为什么可解？给出哪些条件可解？”事实上这里让学生体验了用量化三角形判断全等的过程。问题3、4中三边确定，三角可确定，说明三边对应相等的两个三角形可以重合。上述设计围绕“量化几何图形研究问题”，让学生体验定性和定量研究关系。值得注意的是过程性目标无论在新授课还是复习时都应关注；复习素材无论是拿来主义还是自编都需要挖掘其价值，切忌仅以解出题目为目的，切忌以难倒学生为目的。

3 核心主线辐射

核心主线辐射指抓住某一知识点，联系各个知识块，以点概面进行复习的设计。在复习《特殊平行四边形》一章时，就可以利用“对称”这一个点辐射延伸，做如下设计。

问题1：已知△OBC，将△OBC绕点O顺时针旋转180°（1）做出旋转后的△ODA，连接AB，CD，判断四边形ABCD的形状。（2）要使四边形ABCD为矩形，则△OBC需满足什么条件？要使四边形ABCD为菱形？正方形呢？（如图8所示）

问题2：G为正方形ABCD对角线上一点，GF⊥BC于F，GE⊥CD于E，连接AG，EF。求证：EF=AG。（如图9所示）

问题3：G为正方形ABCD对角线上一点（不与B，D重合），F在边CB（不与B，C重合），GF=AG，求证：GF⊥AG（如图10所示）。

问题4：G为正方形ABCD对角线上一点，F在边CB上，GF⊥AG，求证：GF=AG（如图10所示）。

问题5：四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN，AM，CM。⑴求证：AM=EN；⑵当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为+1时，求正方形的边长（如图11所示）。

中心对称是平行四边形最本质的性质，等腰三角形最本质的性质是轴对称。而四边形的研究最终归结于三角形，所以在复习时设计了三角形旋转问题。由于等腰三角形的轴对称性，它旋转180°后使四边形有两条对称轴得到了矩形；而直角三角形旋转180°后直角边所在直线即为对称轴得到菱形；等腰直角三角形更特殊可得到了有四条对称轴的正方形。在新授课时将平行四边形的边、角特殊化获得菱形、矩形、正方形，复习时以“对称”为核心特殊化，让学生聚焦于四边形内部的三角形，拓宽了思路，利于学生运用图形变换认识图形及其性质。在问题1关注特殊平行四边形的对称性后，给出问题2（摘自书本例题），运用对称性很容易获得AG=CG，再利用矩形对角线相等即可得EF=AG。问题3是继续利用对称性获得AG=CG，从而构造了等腰三角形GFC，接着利用等腰三角形的对称性想到作垂线。问题4将“对称性”辐射到正方形的“旋转对称性”。这样，如图12、图13、图14所示，正多边形中E、F分别在边上，且BE=CF，AE与BF的夹角问题就很容易被接受了。问题5是继续将“对称”辐射到旋转，即利用旋转寻找三角形的费马点。让学生的视角继续在图形变换上，感受变换虽带来的位置变化但大小不变，从图形变换的角度认识图形有利于空间观念的提升，发展其几何直观想象的能力。上述设计以特殊平行四边形的对称性为核心，辐射概括图形变换的本质。与其面面俱到，细细碎碎地复习每个知识点，不如以点概面，以一个核心为抓手辐射迁移到相关内容，提高复习的效率，提升学生思维的深度和广度。

综上所述，整体教学观下复习课教学，使学生摆脱了大量题目堆砌组成的复习学案，学会关注数学的前后联系，体验了整体复习的数学活动过程，提升了解题能力，习得了发展的有生命力的数学。整体教学观下复习课教学促使教师结合课程标准、学生情况以及教材逻辑体系，做到在知识方法的可联系、可迁移处进行适当的迁移联系。值得注意的是，基于整体教学观下的复习课教学，需要教师认真研读并理解课程标准和教材，根据课标要求和教材逻辑对一章或一个知识块结合内外联系加以设计。同时，要关注各维度课程目标的整体实现，力求以点概面进行知识和方法的迁移。