基于整体视角　强化核心概念

陈妮 郝高峰

［摘 要］“因数与倍数”及相关单元的概念多且抽象，在总复习时可以基于整体视角，尝试以“质因数”作为核心概念，贯通初等数论在小学阶段的有关内容，引导学生触及知识的本质，从而强化核心概念。

［关键词］质因数；核心概念；总复习

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2024）08-0037-04

纵观整个小学数学的学习内容，五年级历来以难点多、概念多、问题多的“三多”现象著称。初等数论的启蒙知识便集中在五年级。如贲友林老师在教学“因数与倍数（复习）”时就和学生罗列了11种“数”（因数、倍数、质数、合数、最大公因数、最小公倍数、质因数、奇数、偶数、公因数、公倍数）。这些名称各异的“数”，有的是具有某一类特征的数的统称，如质数、合数等，有的是刻画数与数之间的关系，如因数、倍数等。面对如此多的“数”，学生在学习中常会出现由“易”到“难”的过程，刚开始学习“倍数和因数”时，学生都觉得简单易学，随着学习进程的推进，烦恼随之而来——概念间相互干扰，易混难辨，复习时更是“剪不断，理还乱”。归根结底，还是对概念理解不透的缘故。那么，如何改变这一现状呢？基于整体视角，强化核心概念应是一个有效的策略。当前的数学课堂，多以“因数”和“倍数”的概念统领其他概念，这本无可厚非。但笔者认为还可以在期末复习时再进一步，以“质因数”作为核心概念，如此才能有效贯通初等数论在小学阶段的有关内容，触及知识的本质。

一、思考

为什么要在期末复习时强化“质因数”这个概念？又为什么说“质因数”触及知识的本质呢？

（一）算术基本定理

众所周知，算术基本定理是初等数论中一条非常基本且重要的定理，它把对非零自然数的研究转化为对其含有的最基本的元素，即质数（素数）的研究。算术基本定理可以表述为：任何一个大于1的自然数都可以分解为若干个质数的乘积，而且分解是唯一的。这与小学数学中的分解质因数相对应。可以说，数论研究的本质就是质数性质的研究。

质数的英文为“prime number”。Prime number之所以最终被翻译为“质数”，是因为从因数分解的角度看它是不可再分的。而合数可以看作是由若干个质数“合”成的。可见，任何一个大于或等于2的自然数都与它的质因数有密切关系。即质数本身就可以看作它自己的质因数，而合数则是由它的若干个质因数的积“合”成的。从质因数的角度研究自然数更有利于触及其本质。

（二）教学中对“质因数”的处理

现行教材中有关“质因数”内容的呈现方式不尽相同，“留”却不能尽其用，“舍”偏又“舍不得”，颇有“食之无味，弃之可惜”之感。現以下面三个版本的教材为例予以比较（见表1）。

通过比较不难发现，为了减轻学生的学习负担，各版教材在“因数与倍数”单元中均有明显淡化质因数概念的意图。其中，人教版教材在教学因数、质数的概念时并未提及质因数，只在“分数的意义和性质”单元中，因约分和通分要用到最大公因数和最小公倍数的相关知识，才在“你知道吗”栏目中简单提及“分解质因数”及“短除”；北师大版教材虽未提及“质因数”等概念，却在“因数与倍数”“分数的意义”两个单元中多次以“你知道吗”的形式提及相关内容；苏教版教材虽然通过例题明确引出质因数、分解质因数的概念，却再无下文。尽管如此，但也从另一个侧面说明，各版本教材都认为“质因数”这部分内容不能随意从教材中移除。

实际教学更是如此。囿于各种原因，虽然有争论，但大部分教师还是会补充相关内容，不过也和教材一样，只是将“质因数”“分解质因数”作为短除或者短除法求最大公因数与最小公倍数的附属品，并没有充分挖掘其所蕴藏的数学教育价值。

（三）“质因数”的教学价值探寻

这部分的所有概念均源于“因数”和“倍数”两个概念。比如质数是只有1和它本身两个因数的数；偶数是有因数2（或是2的倍数）的数等。质因数也不例外，它是质数和因数的组合体。因此其他概念表面上都可以越过“质因数”，直接或间接与“因数”建立起联系，从而形成一个庞大的概念网。需要教师注意的是，这些概念之间只是建立起了“形”上的联系，缺少“质”的沟通。基于算术基本定理，从“质因数”的视角反观这些概念，恰恰能实现这一点。

1.因数和倍数

因为因数和倍数本身就是一对相互依存的概念，所以我们只讨论质因数和因数的关系。从质因数的视角看，不难发现一个数的因数就是由其所含有的质因数决定的。比如12=22×3，那么20，21，22和30，31分别组合就会产生12的6个不同的因数。即1=20×30，2=21×30，4=22×30，3=20×31，6=21×31，12=22×31。

2.最大公因数和最小公倍数

因为一个数的若干个质因数会“合”成它除1以外的所有因数，所以几个数的公因数当然是由它们公有的质因数合成的（1除外）。那么最大公因数就是几个数所有的公有质因数的积。而最小公倍数不仅包含几个数公有的质因数，还得乘上它们各自独有的质因数。短除法只是简洁地记录了这一过程。在最小公倍数的基础上不断增加质因数，就会构成其他的公倍数。如A=2×3×3，B=2×3×5。（A，B）=2×3=6，[A，B]=2×3×3×5=90。

3.  2、3、5的倍数的特征

2和5的倍数特征看个位，恰恰是因为10只含有2和5两个质因数，即10=2×5。可见，一个整十数一定是2或5的倍数，所以只看个位就可以了。3的倍数的特征看各个数位，也是因为9，99，999，……中含有质因数3。比如要判断354是不是3的倍数，之所以可以根据3+5+4=12来判断，是因为百位上的“3”表示的3个100可以看作3个99和3个1，十位上的“5”表示的5个10可以看作5个9和5个1，个位上的4就是4个1，而“3个99”“5个9”都含有质因数3，即是3的倍数，只需要考虑剩下的“3个1”“5个1”和“4个1”，而这恰好暗合了各个数位上的数字之和。同理，偶数和奇数（0和1除外）也和是否含有质因数2密切相关。

4.约分和通分

约分就是同时剔除分子和分母中的公有质因数的过程，即运用分数的基本性质将分子、分母同时除以它们的公有质因数，直至只剩下各自独有的质因数。通分就是不断增添分子和分母的公有质因数的过程。这里分子、分母同乘4就相当于同时2次增添共有质因数2。

通过“质因数”打通了这些概念之间的“隔断墙”，让这些在“因数”“倍数”概念统摄下的概念群真正融为一个整体后，“数”在学生的心中就不再是一个静态的、固定的符号。学生知道它可以变换成不同的样态后，在看见数，比如“20”时就会想：20是由2×2×5合成的。这个想法也可以迁移到运算中。这样更利于学生深入研究数，并且逐步由“数”向“式”过渡。而这一切都植根于算术基本定理。

二、实践

在课时教学时，教师将“质因数”概念内隐其中，在一定程度上可以将难点分散，减轻学生的概念负担；在单元复习时，教师可以通过“因数”和“倍数”将精简后的诸多概念连成线、织成网，帮助学生整体建构知识体系。如此，到期末复习时，教师就可以捅破最后一层“窗户纸”，以“质因数”作为核心概念贯通小学“初等数论”内容复习，帮助学生拨云见日，明确知识的本质。基于此，笔者做了如下尝试。

（一）以“质数”为引，确立核心概念

【教学片段1】

师：在“因数与倍数”单元，我们学了许多不同的“数”，它们有些是一类数的统称，有些则反映了数与数之间的关系。你能分得清吗？

生1：偶数、奇数、质数、合数均表示一类具有共同特点的数；因数、倍数、公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数以及质因数等，是表示数与数之间的关系的数。

师：说得真好。那么在“偶”“奇”“质”“合”这四类数中，人们对哪一类数情有独钟？

生2：质数！因为它只有1和它本身两个因数。

生3：我还知道很多数学家都喜欢研究质数的性质。我们书上介绍过的“哥德巴赫猜想”就跟质数有关，我还听说过“孪生素数”呢。

生4：质数在密码学中还有广泛的应用！

师：质数，又叫素数。数学有一门分支叫“数论”，主要是研究自然数的性质，包括质数的性质。与质数相对的概念叫“合数”。我们常说“人如其名”，你有没有想过，质数“质”在哪里？合数又是由什么“合”成的呢？

生5：合数是由质数合成的。如6=2×3，6就是由质数2和质数3“合”成的。质数就是数的本质、数根，不需要用别的数合成。

师：合数20是由“2×2×5”“合”成的。我们知道，任何一个合数都能写成几个质数相乘的积的形式，而且如果不考虑顺序，这个分解式是唯一的。这几个质数都是这个数的因数，因此都叫这个数的“质因数”。今天的复习课，我们就围绕“质因数”展开。

（二）以“质因数”为核心，明晰概念本质

1.投石问路：探索“质因数”与“因数”的关系

【教学片段2】

师：老师写一个数，你们能找到它的全部因数吗？

（教师写A，众生摇头，教师继续写A=2×2×3。）

师：现在呢？

生1：我能確定2和3都是它的因数，也是它的质因数。

生2：4、6也是，因为2×2=4，2×3=6。

生3：还有12，2×2×3=12。

生4：还有1。因为1是所有非零自然数的因数。

师：我们来整理一下，A的因数有1，2，3，4（2×2），6（2×3）和12（2×2×3），其实A就是12。现在你有什么发现吗？

生5：我发现一个数的因数就是由它的质因数一个一个、两个两个，这样几个几个“合”成的。

生6：我发现用“质因数”找因数时会漏掉“1”，大家一定要记得加上“1”。

2.举一反三：自主沟通“质因数”与其他概念

【教学片段3】

师：同学们，你们想研究质因数与谁之间的关系？请以小组为单位，自主选择研究方向。注意用质因数的积的形式表示数，这样会更便于大家发现关系。（学生合作探究后交流）

组1：我们组研究的是质因数与最大公因数的关系。通过研究A=2×2×3，B=2×3×5发现，最大公因数就是把它们公有的质因数乘起来（如图1）。我们还用列举的方法验证了A是12，B是30，它们的最大公因数是6。

组2：我们选择用12和18来研究最小公倍数。12=2×2×3，18=2×3×3（如图2）。我们用短除法试了一下，除数2和3就是它们的公有质因数，最后剩下的商2是12独有的质因数，3是18自己独有的质因数。最小公倍数乘“一圈”原来是这个道理。我们还可以看出最大公因数乘“一边”的道理。

组3：我们发现偶数都含有质因数2，而奇数都不含有质因数2。

组4：我们也研究了最大公因数和最小公倍数，发现在短除过程中可以很容易看清以前不明白的东西，比如“为什么两个数的积等于它们的最大公因数乘最小公倍数”。我们还用这种方式试了一下约分（如图3），这不就是划去共同的质因数嘛，太有意思了！

师：同学们，如果说约分是划去分子、分母公有的质因数。那么，通分就是——

生（齐）：不断增加它们的质因数。

（三）以“算术基本定理”为落脚点，筑起概念的“承重墙”

【教学片段4】

师：今天，我们从“质因数”角度更加深入地复习了这些曾经让我们眼花缭乱的概念。你们有什么想和大家交流的吗？

生1：让人茅塞顿开！质因数太厉害了！它竟然和这么多知识都有联系。

生2：我明白了以前没有想明白的一些问题。比如短除法中之所以在求最大公因数时乘“一边”，是因为边上的除数就是它们所有的公有质因数。这样乘起来一定是最大的。

生3：我觉得学习不能只记概念，弄明白背后的道理更重要。

生4：我知道了为什么人们那么爱研究质数，它真的很“质朴”！看到合数，我们也可以把它想成若干个质因数相乘的样子。

师：同学们，一个大于等于2的自然数一定能分解成几个质数相乘的形式，而且这种分解方式是唯一的。这就是我们将来要学习的“算术基本定理”。正是有它的存在，我们才能透过“质因数”洞察这部分知识的本质。

总之，“因数与倍数”的教学需要教师立足整体视角，通过强化核心概念，帮助学生理解和掌握其中诸多的抽象概念，触及知识本质，完善知识结构。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 贲友林.复习，让“知识”和“人”都生动活泼起来：以《因数与倍数（复习）》教学为例[J].教育视界，2022（17）：27-33.

[2] 伍鸿熙.数学家讲解小学数学[M].赵洁，林开亮，译.北京：北京大学出版社，2016.

[3] 张必胜.“质数”译名的历史探源与意义分析[J].上海翻译，2022（4）：78-83.

（责编 吴美玲）