基于波利亚提示语优化教学的案例分析

酆京亚　彭慧

［摘 要］烙饼问题是小学生体会优化思想的经典问题。烙饼问题引导学生不仅要解决问题，而且还要高效地解决问题。这与波利亚“怎样解题”表所提出的问题不谋而合，可通过设置“提示语”“引导性问题”，帮助学生初步形成从数学的角度提出问题、分析问题、解决问题的能力，在烙饼问题的解决过程中体会优化思想。

［关键词］波利亚提示语；问题序列；烙饼问题；优化

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2024）08-0055-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求义务教育阶段的学生发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题。南京师范大学数学与计算机科学学院教授、博士生导师涂荣豹认为，数学解题元认知能力的提高有赖于解题者善于运用波利亚的提示语以及善于提炼具有个人风格的提示语。李怀军、张维忠在研究中发现，小学生的数学问题提出能力不强，且小学生数学问题提出能力的发展存在阶段性，四年级为发展这一能力的“关键期”。

一、基于波利亚提示语的“烙饼问题”教学目标定位及内容安排

优化思想在解决问题的策略中发挥着重要作用，人教版教材中多次渗透优化思想，如搭配问题、沏茶问题、烙饼问题、田忌赛马、找次品等。在低学段中，学生对优化思想有了一定的感悟，在进入高学段后，学生初步体会解决问题方法的多样性，在“多”中择“优”，将“做”和“思”有机结合，初步形成提出问题、分析问题、解决问题的能力。烙饼问题从烙3张饼、4张饼、10张饼……[n]张饼，是渗透优化思想的一个重要载体，同时也是问题的迁移和拓展。对此，笔者认为教学最核心的要素是让学生体会到“最快”的思想本质，也就是锅里总是烙2张饼，给学生探索的空间，体悟根据饼的张数分奇偶的情况分析。基于波利亚提示语的烙饼问题教学思路如图1所示。

二、波利亞提示语在“烙饼问题”教学中的案例分析

出示“烙饼问题”情境1：爸爸、妈妈和我每人吃1张饼，但是锅里每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面烙3分钟，怎样才能尽快吃上饼？

1.提示语序列串：理解问题

师：首先想一想，我们要完成的事情是什么？

生1：要烙3张饼。

师：只是烙3张饼吗？还有没有其他的要求？

生2：尽快吃上饼。

师：“尽快”怎么理解呢？

生3：就是用最短的时间去烙好3张饼。

师：我们需要烙好3张饼，同时要用时最短。接下来我们看看，已知条件告诉了我们什么信息？

生4：1张饼要烙两面，每面烙3分钟。

师：还有其他信息吗？

生5：每次最多只能烙2张饼。

师：怎么理解“每次最多只能烙2张饼”呢？

（教师拿出自制教具：1个“锅”、3张“饼”）

生6：锅里每次只能放2张饼。

师：可不可以在锅里只放1张饼呢？

生7：可以。

师：那锅里既可以放1张饼，也可以同时放2张饼，你会怎么选择呢？说说你为什么这样选择。

生8：我选同时放2张饼，因为这样更快，也节省时间。

2.提示语序列串：拟定计划

师：那烙2张饼需要多长时间呢？

生9：12分钟。因为烙1张饼需要6分钟，所以烙2张饼需要12分钟。

生10：6分钟。因为一个锅里可以同时放2张饼，每面烙3分钟，两面只需要6分钟。

师：我们整理一下，“每次烙（）张饼，别让锅（）”，这样应该最省时间。那烙3张饼最少需要多长时间呢？

设置比赛，模拟计时，让每个学生都动手操作，借助教具圆片来“烙”，并记录烙饼方案（见表1）。

生11：方案一1张1张烙用时最长，需要18分钟；方案二先2张同时烙，再单独烙1张，这样最后1张只能先烙正面，再烙反面，需要12分钟。

师：我们需要烙3张饼，每张饼需要烙2面，一共需要烙多少面？

生12：要烙6面。

师：每次锅里可以烙2面，那是不是3次就可以把这6面烙完呢？

生13：是呀，3次就可以了。

生14：锅里是不能空着，要同时烙2张饼，我们要烙3张饼，可以按照方案三交替烙的方法，第一次烙1号饼、2号饼的正面，第二次烙1号饼的反面、3号饼的正面，第三次烙2号饼、3号饼的反面，一共需要9分钟。

3.提示语序列串：回顾与反思

师：我们成功解决了这个问题。我们是怎么解决这个问题的呢？关键是什么？

生15：不能让锅空着。

生16：交替烙。

师：能不能把这个方法用于其他的问题？

4.教学评析

烙3张饼是本次教学活动的基础，学生会有不同层次的表征。基于层层递进的问题序列串，引导学生明确情境中的信息，借助直观教具“锅”“饼”，让学生体悟优化思想。

出示“烙饼问题”情境2：爸爸、妈妈、姐姐和我每人吃1张饼，但是锅里每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面烙3分钟，怎样才能尽快吃上饼？

1.提示语序列串：理解问题

师：按照刚才的思路，我们要完成的事情是什么？已知条件告诉了我们什么信息？

生17：烙4张饼最快需要多长时间。

生18：锅里最多同时烙2张饼，每张饼要烙两面，每面烙3分钟。

生19：不能让锅空着。

2.提示语序列串：拟定计划

引导学生拿出学具，动手试一试，并记录烙饼方案（见表2）。

师：哪种烙法更快？

生20：正反烙。

师：为什么正反烙更快？

生21：正反烙只需要烙4次，而交替烙则需要烙5次。

生22：因为有4张饼，交替烙3张后，还多1张饼，这多的1张只能一面一面地烙，浪费了时间。

师：2张饼正反烙更快，3张饼交替烙更快，4张饼正反烙更快。那么烙5张饼用哪种方式更快呢？其中有没有规律呢？

引导学生借助学具进行猜想，并记录烙饼方案（见表3）。

师：烙5张饼有哪些方法，哪种方法更快？

生23：先交替烙3张，再正反烙2张。

生24：先正反烙2张，再交替烙3张。

师：你发现了什么规律？你能将发现的规律整理成表格的形式吗？

学生利用规律进行验证，并记录烙饼方案（见表4）。

3.提示语序列串：回顾与反思

师：烙双数张饼时，选择什么方法更快？烙单数张饼呢？

生25：烙双数张饼时，2张2张正反烙更快。

生26：烙单数张饼时，先2张2张正反烙，剩下3张再交替烙。

出示情境3：一个餐厅里同时来了3位客人，每人点了2道菜，这6道菜各不相同，而餐厅里只有2个厨师。假设2个厨师炒每个菜的时间相等，为了让每个顾客都尽快吃上饭，应该按怎样的顺序炒菜？

生27：第一次，2个厨师给1号客人和2号客人各做1道菜；第二次，2个厨师给1号客人和3号客人各做1道菜；第三次，2个厨师给2号客人和3号客人各做1道菜。

师：说得非常好。掌握了优化方法，我们就可以更好地解决生活中的很多问题。解决问题的方法多种多样，我们要用数学的眼光去看待问题，合理安排，以寻找解决问题的最优方案。

（课后思考：如果每面需要烙5分钟，烙3张饼最快需要多长时间？）

4.教学评析

在烙3张饼的基础上，进一步探索烙4张饼、5张饼……怎样安排最省时，借助学具操作实践交替烙、正反烙，体悟其中规律：无论烙饼的数量是多少，都可以分解成多个2的和或多个2与3的和；如果烙饼张数是双数，可以正反烙，如果烙饼张数是单数，则先正反烙，最后3张饼交替烙。最后基于生活情境，感受数学生活化。

三、教学反思

（一）教学设计以波利亚问题序列进行串联

通过一系列具有个人特色的问题序列串的设计与实施，按照波利亚的解题四步问题序列：①理解问题，需要解决的问题是什么？已知条件有哪些？这些条件的作用是什么？（让学生初步感知最多只能烙2张饼时，烙2张饼的时间与烙1张饼的时间相同）；②拟定计划，你能利用这些条件解决问题吗？是否利用了所有的已知条件？有没有遗漏？有没有曾经做过类似但是简单一些的问题？（让学生把烙3张饼的问题先简化为烙2张饼，明确每次都烙2张饼，别让锅空着的省时烙法）；③实施计划，一步一步去实现计划，注意每一步保持正确；④回顾与反思，能否用其他方法获得这个结果？能否把这个结果用在其他问题上？

（二）在问题序列中体会优化思想

不断设置引导性提示语，抓住几个关键问题：怎样更快？锅空着会怎样？什么时候选择正反烙？什么时候选择交替烙？一切的核心是让学生体悟到“最快”“省时”，也就是锅里总是同时烙2张饼最省时（优化思想）。再进一步探索，如果烙4张饼、5张饼……怎样安排最省时间？通过引导，学生总结出如果饼的张数是双数，2张2张正反烙更快；如果饼的张数是单数，先2张2张正反烙，最后3张饼交替烙更快。波利亚提示语留给学生充足的自主探索空间，这有助于学生深刻体会优化思想。

（三）在课堂探究中突显直观优势

以真实的生活情境，引发学生探究的欲望：课前准备学具——1个“锅”、3张“饼”，让学生亲身经历烙饼的过程；人教版教材中出示的图表，展现了烙3张饼的具体操作过程，这些都突显了直观优势，有利于学生理解和体会数学思想。学生由具体到抽象，由操作到摆脱学具，循序渐进、层层深入，探究出烙饼张数与所用最短时间之间的关系，提升了他们的思维，让他们获得最优的烙饼方法。

（四）在拓展应用中发散思维

从特殊情况开始，先烙2张饼、烙3张饼，到烙4张饼、5张饼……10张饼，再到n张饼，这是烙饼问题的拓展和迁移，再出示情境3让学生进行巩固应用，思考做6道菜的先后顺序，让学生体会数学的灵活性以及感受到数学具有的生活性，从而达到发散学生思维的目的。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 涂荣豹.数学解题学习中的元认知[J].数学教育学报，2002（4）：6-11.

[2] 李怀军，张维忠.小学生数学问题提出能力发展研究[J].数学教育学报，2019，28（5）：2-8.

[3] 张卫星.研读数学教材的四个维度：以人教版数学四年级上册“烙饼问题”为例[J].教学与管理，2015（14）：35-37.

[4] 张小燕.让学生触摸问题的本质：“烙饼问题”的教学重构与思考[J].教育科研论坛，2011（3）：43-44.

【本文系2021年江西省高等学校教学改革研究课题“基于OBE理念的波利亚解题思想在《概率统计》教学中的應用研究”研究成果（课题编号JXJG21-23-14）。】

（责编 覃小慧）