以大概念为核心，培养学生量感

胡锦洪

［摘 要］“量感”作为小学数学核心素养的主要表现之一，对于促进学生获得知识和技能、直观感知物体可测量属性及大小关系、积累活动经验及感悟学科思想方法具有重要的意义。文章提出以大概念为核心，设计培养学生量感的“确定—外显—建构—评价”教学模式，为小学生量感的培养提供了策略和途径。

［关键词］大概念；核心素养；量感

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2024）08-0083-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）指出，数学课程的目标是培养学生核心素养，主要包括会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界（简称“三会”）。量感是小学阶段核心素养主要表现之一，是对事物的可测量属性及大小关系的直观感知。具体来说，量感即视觉或触觉对各种物体的规模、速度、程度等方面的感觉，是对物体大小、长短、多少、方圆、粗细、快慢、轻重等量态的感性认识。培养量感有助于学生养成用定量分析的方法认识和解决问题的习惯，为形成抽象能力和应用意识奠定基础。笔者认为，学生量感的形成并非教师直接传授，而是在教师精心设计下，学生在学习实践中逐渐领悟。学生需经历自主探索、尝试发现、抽象本质、迁移运用和主动建构的过程。本文结合杭州市钱塘区文海小学楼宸瑞教师所授“周长的认识”一课，谈谈以大概念为核心，培养学生量感的策略与途径。

一、确定大概念，架构素养与知识桥梁

大概念是一种抽象和概括的核心知识，具有联系和整合的作用，并能广泛应用于各种情境。它能够从事实、经验和概念中提炼出共同的核心特征，不仅在课程知识学习和核心素养发展中起到中介转化整合作用，还能促进学生建构数学知识结构，深度理解数学知识本质，提高知识迁移和应用能力，有效促进学生核心素养的形成。关于如何确定课程对应的大概念，提供以下两条基本途径。

一是依据《课程标准》核心概念找大概念。例如，小学阶段核心素养主要表现为：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识和创新意识。这些核心概念经过抽象概括，符合学生的发展需求。教师可以把握这些核心概念，进而挖掘教学所需的大概念。具体而言，教师应思考核心概念培养与课程知识学习之间的纽带，或者说起到课程知识学习与核心概念培养的抓手是什么。以“周长的认识”一课为例，核心概念是量感。教师需要明确培养学生量感的抓手是什么。对于“几何与图形”领域，课程内容是这样描述的：认识图形主要是对图形的抽象，认识图形的特征，积累和思考经验。图形的认识与测量有密切关系，让学生经历统一度量单位过程，感受统一度量单位的意义，基于度量单位理解图形的周长。引导学生在推导一些常见图形周长的过程中，感悟數学度量方法，逐步形成量感。教学中需引导学生发现，周长的认识与测量密切相关，测量的本质就是度量。因此，“周长的认识”一课对应的大概念就是度量。

二是通过对教材的深度理解去找大概念。大概念深藏于教材知识的内核与深处，要让大概念呈现出来，可以从知识的产生和发展、事物的本质和属性来理解教材，也可以从比较分析不同版本教材知识的共性去深度理解教材。以“周长的认识”一课为例，从事物的本质与属性出发，周长可理解为绕有限面积区域边缘的单位长度的累加，也就是图形一周的长度。度量的对象是“周”，度量的属性是“长”。变的是度量的对象、工具和空间，不变的是长度度量。因此，从知识本质属性来看，“周长的认识”对应的大概念为度量。对比人教版、北师大版和苏教版三个版本教材，均有让学生借助不同测量工具进行测量的环节，让学生在实际测量过程中进一步理解周长。因此，从各版本教材编写意图的共性中，可以发现周长测量的重要性，从而确立本课的大概念为度量。

二、外显大概念，建立不同维度的目标

外显大概念是对所培养学生的核心目标进行表征和表述，具体化为可以预见的学习目标。在“周长的认识”一课中，从三个维度对大概念进行描述。一是“认识什么”，即认识周长的感念。①学生能说出周长就是封闭图形一周的长度。②学生能边描述边演示指出找图形周长的一般方法，即确定起点，沿边线一周后再回起点。③学生能辨认平面图形（三角形、正方形、长方形、组合图形、不封闭图形）有没有周长，并能通过改造使不封闭图形具有周长。二是“理解什么”，即理解周长的含义。①学生应能自主选择不同的度量工具，对平面图形进行周长测量。②学生应能解释“尽管度量工具不同，但周长保持一定”的原理，即周长为封闭图形一周展开后线段的总长度。③学生应能总结出周长即为度量单位的累积，并能根据平面图形周长展开后各线段间的关系特征推导出平面图形的周长，如正方形、菱形、平行四边形、长方形、五边形、六边形等。三是“能做什么”，即比较周长大小。①学生能正确辨认图形周长的大小。②学生能运用平移的方法解释周长不变的本质，体会周长大小比较简便的原理。③学生能举例说明“图形的面积越大，周长也越大”的错误。

三、建构大概念，感悟度量周长的本质

建构大概念的过程，就是学生不断探索、积累活动经验、体会与感悟的过程，学生在学习完“周长的认识”后，除了认识周长、理解周长、掌握比较周长的方法外，学生还应领悟度量这一思想方法。具体而言，认识周长首先要确定度量单位，然后计算图形包含多少个这样大小的度量单位，即度量单位的累加。当学生有了这种体验和感悟，他们在后续学习面积、角、体积等相关知识时，便能迁移这种经验和方法。他们会发现面积、角、体积与周长学习之间的相通之处：面积是多个面积单位的组合，角是多个角的单位累加，体积是多个体积单位的堆积。这些都与度量有关，都是先确定度量单位，然后计算有几个这样的度量单位。通过计数去刻画度量的过程，这就是以大概念为核心，逐渐发展学生量感的过程。

（一）由感知到体验，完善周长认识

1.通过操作，感知周长

教学中，楼老师设计了“摸周长”活动，并设置了两道问题，引导学生在实践操作中总结规律。问题1：数学书封面和桌面是否存在周长？出示活动要求：摸一摸，摸数学书封面和桌面的一周。想一想，你有什么发现。说一说，和同桌交流你的想法。这一活动旨在引导学生认识到，数学书和桌面的周长实际上是它们的边线的长度，而非边线内的区域。问题2：如何沿着边线完整地触摸图形的轮廓？学生通过实践发现，要完整地触摸图形的轮廓，只需在边线上选取一个起点，然后顺着同一方向连续触摸边线，最后回到起点，这样便能感知到图形的周长。通过参与“摸周长”活动，学生积累了基本的实践经验，对周长有了直观的认识，并初步建立了周长的概念，即图形的一周，从起点沿边线回到起点。

2.通过比较，完善认识

为了进一步巩固和完善学生对周长的認识，楼老师设计了“描周长”活动。呈现活动要求：任何图形都有周长吗？如果有，用笔描出来；如果没有，请你想办法让它变成有周长，再用笔描出来。通过小组谈论，学生能判断图1-1和图1-2有周长并很容易描出图1-1的周长。在描图1-2的周长时，有少部分学生错把图形边线以内的线也描了。课堂交流中，教师强调为什么边线以内不是周长，学生得出周长是图形一周边线的长度，与边线以内无关。学生发现图1-3没有周长，教师引导学生根据之前的操作及对周长的理解对图1-3进行改造，让这个图形有周长。改造过程中，大部分学生根据图1-3的形状特点，自然联想到圆，将其补全为圆。这时教师呈现了将图1-3改造成不规则图形，追问学生这样奇形怪状的图形有没有周长。经过学生小组讨论得出这样不规则的也有周长，其理由是改造后的图形满足从起点沿边线能回到起点，即是一个封闭图形。这时教师板书完整呈现周长的概念，即封闭图形一周的长度。

（二）由测量到计算，揭示周长本质

1.自主测量，丰富操作

教学中，楼老师设计了“量周长”活动。出示活动要求：

量一量，选择合适的工具测量三角形ABC（如图2所示）的周长。

想一想，你是怎么量的。

说一说，和大家交流你的想法。

测量的工具有尺子、圆规、绳子和卷纸。学生在自主测量三角形ABC的周长活动中，自主选择测量工具，分工合作，积累了度量活动经验。通过此过程，为后续交流和分享测量结果奠定了坚实基础，提供了丰富的资源。

2.集体反馈，多元测量

在课堂上，楼老师收集并展示了学生三种不同的测量方法。方法1：首先使用尺子分别测量线段BA、AC和CB的长度，随后将这三条线段的长度相加，即可得到三角形ABC的周长。方法2：用圆规测量，先用圆规量取BA的长，然后表示在尺子上。用同样的方法，将AC和CB继续表示在尺子上。最后通过读取尺子上的刻度得出三角形ABC的周长。方法3：将三角形在尺子上转动一周得到三角形ABC的周长。三种方法呈现后，教师提问：“这三种方法都有什么共同之处？”引导学生认识到，测量三角形ABC的周长实际上就是计算三角形展开后三条线段的总长度。

3.实践活动，沟通长度

在教学过程中，楼老师设计“我画你猜”活动（如图3所示），让学生根据提供的三组线段，判断它们分别可能是由哪些封闭图形展开后得到的。对于第1组线段，学生推断其是由正方形或菱形展开而成，并阐述了理由：每条线段长度相等。对于第2组线段，学生认为它们是由长方形或平行四边形展开得到的，并通过长方形和平行四边形的特征说明了判断依据。对于第3组线段，学生的结论是由五边形展开得到的。通过“我画你猜”活动，楼老师引导学生发现线段长度与图形周长的对应关系。学生能根据图形周长展开后的线段长度、大小关系，推断出相应图形，从而培养了学生的空间意识和想象能力。

（三）结合周长比较，感知“周、面”区别

在教学中，楼老师设计了“比周长”活动。出示活动要求：

估一估，这三个图形谁的周长更长（如图4所示）。

做一做，选择合适的方法比较周长。

想一想，观察这三个图形的周长，你有什么发现？

1.直观猜想，感知差异

教师通过提问：估一估，你觉得三个图形中哪个周长更长？请说说你的理由。部分学生认为图①周长更长，因为其面积最大。然而，也有学生指出，周长大小不能只看图形面积。但更多学生还是认为，面积越大，周长就越长。在学生间的辩论过程中，教师引导学生探讨周长与面积之间是否存在关系，以激发学生探究周长本质的热情，并营造了积极的学习氛围。

2.组织验证，发现不同

关于较多学生提出的“面积越大，周长越长”的观点，教师组织学生以小组形式，开展验证活动。通过“计数”的方法，学生得出了①②③三个图形的周长分别为18厘米、18厘米和30厘米。为了让学生有更深入的理解，教师提问：是否还有其他比较方法？引导学生发现通过平移方式来判断周长大小。学生发现，将图②四个角凹陷进去的两条1厘米边长平移，可得到图①，因此图①与图②的周长相等。将图③凹陷进去的两条1厘米边长向上平移，与图①②进行周长比较，显然③号图形的周长更长。这一验证活动的开展，使学生意识到面积大的图形周长并非最长，而周长最长的图形其面积也不一定最大。这促使学生改变了对“面积越大，周长越长”的错误认知。

3.整体观察，揭示本质

在验证活动结束后，教师进一步追问：经过周长比较的实践，你们有什么发现？引导学生从一开始的“计数”方式统计周长所包含的1厘米正方形边长数量，逐步过渡到运用平移方法，直接整体观察图形大小关系，来判断周长的大小关系。学生能通过平移的方法来比较周长，这一方法抓住了周长本质。尽管线段平移后，图形的“形”发生改变，但其周长大小保持不变。

四、评价大概念，促进知识迁移及应用

评价大概念可以参照外显大概念提出的“认识什么”“理解什么”“能做什么”三个维度设计大概念评价的框架和细则，也可以借鉴澳大利亚昆士兰科技大学克里斯提那·查莫斯（Christina Chalmers）团队的研究成果，设计涵盖形成性评价和终结性评价的四类工具：①收集，即收集学生完成学习任务的作品；②展示，即提供学生课堂展示表现的机会；③呈现，即利用外部表征工具对大概念和学习过程中理解程度进行外现；④论证，即使用提问、访谈、观察、测评等方法确证学生理解大概念的程度。

在大概念的评价中，应更加注重学生对知识的迁移能力，也就是学生对大概念的掌握程度，以及他们能否将所学知识应用于解决现实生活中的实际问题。例如，学生在学习“周长的认识”的过程中，不仅仅是对周长表面含义的理解，而是能够深入领悟到周长实际上是长度单位的累加，任何图形的周长都可以转化为可测量的线段长度。还要让学生认识到，周长的“形”在于“周”，而其属性在于“长”。学生只有把握住“度量”这个大概念，才能够熟练地解决生活中物体周长比较的问题。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 李松林.以大概念为核心的整合性教学[J].课程·教材·教法，2020（40）：56-61.

（责编 梁桂广）