探命题之伪，促反思之意

江训坤

［摘  要］ 文章介绍一类几何探究题，即先给出一伪命题，再给出该命题看似毫无漏洞的证明，让学生去探索错误的根源并证明该命题的真伪，以解题过程代替反思过程，达到培养学生反思意识和促进元认知发展的目的.

［关键词］ 解题；平面几何；元认知；反思

引言

数学家哈尔莫斯曾说：“问题是数学的心脏.”解题是一种认识活动，是对概念、定理的继续学习，是对方法的继续熟练，而不仅仅是“规则的简单重复”或“操作的生硬执行”［1］. 在学校教育中，解题活动就属于数学问题的解决，解题活动在掌握知识技能、提升思维能力、激发数学兴趣、开阔数学视野及培养创造精神等方面具有广泛的意义. 不同类型的数学问题要求学生采用不同的解题思维和解题策略，能更加全面地培养和提升学生的数学素养. “图形与几何”是初中数学课程内容的四大主线之一，是中考数学的重要内容，是完善知识结构和提升数学素养的重要载体. 因此，在几何的教学中，笔者认为要深入地去思考这样两个问题：如何让学生积极主动地去学习几何知识和解决几何问题？如何通过解决几何问题提高相应的几何素养？“数学问题”既然是数学的心脏，那么数学问题的提出、选择和命制就显得至关重要. 基于初中平面几何问题，设计一种让学生一看就感兴趣，一做就有所感悟和提升的几何问题，通过解决这类问题达到解决上述提出的两个问题的目的.

案例赏析

数学错误同样是数学进步的基石，其中蕴含着不可估量的教育价值. 学生在观摩错题的过程中去发现错误，运用所学知识去改正错误，最后通过解题反思，既达到了运用知识解决问题的目的，又通过反思形成了规避此类错误的主体意识，进而达到完善自身认知结构，提升数学素养的目的. 请看下面一个案例.

请阅读以下关于“任意一个不等边三角形都是等腰三角形”的证明过程，请问该证明是否正确，给出你的判断，如果错误，请给出理由.

任意画出一个三边长度都不相等的三角形ABC，然后再证明该三角形为等腰三角形. 如果在不等边三角形ABC中作∠C的角平分线和AB边的垂直平分线并交于一点G. 过点G作AC与CB的垂线，分别与AC和CB交于D，F两点.

对于各种不等边三角形，有以下四种可能性来满足以上的描述.

在图1中，CG与GE相交于三角形内一点G.

在图2中，CG与GE相交于三角形的AB边上（点E与点G重合）.

在图3中，CG与GE相交于三角形外一点G，但垂线GD和GF分别与AC和CB交于D，F两点.

在图4中，CG与GE相交于三角形外一点G，但垂线GD与GF分别与CA和CB的延长线交于D，F两点.

现在我们将根据以上四种情况证明AC=BC，也就是证明三角形ABC是等腰三角形.

证明过程如下：

因为CG平分∠ACB，GD⊥AC，GF⊥BC，有∠ACG=∠BCG，∠CDG=∠CFG，可知△CDG≌△CFG（AAS），所以DG=FG，CD=CF. 又GE是AB的垂直平分线，则AG=BG，因为∠ADG=∠BFG=90°，所以△DAG≌△FBG，于是DA=FB，AC=BC. （在图1、图2和图3的情况下用加法，在图4的情况下用减法）. 以上便是完整的问题.

那么，究竟是哪里出现了问题呢？我们知道，既然证明过程天衣无缝，那么问题一定出在图形上，下面给出正确的示图和解答.

首先，我们考虑三角形ABC的外接圆，因为圆周角的角平分线和弦的垂直平分线有特殊的性质，能够产生更多的附加条件，帮助我们进行判断. 如图5所示，因为CG是角平分线，所以点G在弦AB的垂直平分线与弧AB的交点处，那么可知∠C的角平分线与AB的垂直平分线交于△ABC外的一点G，这就排除了图1和图2这两种情况.

接下来要考虑过点G作AC和BC的垂线是什么情况，是图3或图4那样吗？还是其他情况呢？对于这个问题，我们考虑圆的内接四边形ACBG，由于圆的内接四边形對角互补，所以∠CAG+∠CBG=180°. 因为CG不是直径，那么∠CAG≠∠CBG≠90°，所以一定有一个角为锐角，另一个角为钝角，那么过点G作AC和BC的垂线，其中一条垂线与一条边的交点一定在两个顶点之间，而另一条垂线则不会，如此我们就得到了正确的图形（如图6），显然AC≠BC，所以问题中的证明是错误的.？摇？摇？摇？摇？摇

价值分析

1. 与“常规几何证明问题”的区别

罗增儒教授在《中学数学解题的理论与实践》一书中提到，作为“问题解决”的数学题有五大特征，分别为接受性、障碍性、探究性、情景性和开放性.

问题的强冲突性，是该类型的几何证明问题与常规几何证明问题的不同之处之一. 这里的“冲突性”是指该类型问题对学生认知的冲突. “任意一个不等边三角形都是等腰三角形”这个命题显然是有悖于学生的认知的，由此产生认知冲突，而这是常规性几何问题无法体现的. 在这种强冲突的作用下，可以有效地激发学生对该问题的探究欲望，该问题也就具备了“接受性”的特征.

学生在阅读证明过程时会发现证明没有破绽的现象，因为其考虑的情况分类正确，每一步推理也都合情合理，貌似该命题是真的，但是基本的数学常识会告诉他们该命题一定是错误的，这便再一次引起认知冲突. 如果说前面的认知冲突是由问题表述产生的，那么后者的认知冲突则是由问题内在逻辑产生的，这种冲突便会对学生解决问题产生障碍，体现了该类型问题的“障碍性”.

该类型几何问题具有特殊“情境性”. 裴光亚先生说：“教育价值是教学设计的灵魂. ”事实上，情境的作用还在于让学生感到 “有困惑”（产生认知冲突）、“有意义”（直击数学本质），从而提出数学问题，引发数学思考和探索，促进深度建构和理解［1］. 情境引入一般是用于新授课的教学，把“情境性”融入练习题或试题中同样可以体现出它的价值. 该案例中的情境性体现在其错误的“证明”过程中，通过阅读，置身其中，感到“有困惑”，引发对问题的思考和探索. 这是常规几何证明题所不具备的特征.

2. 便于学生反思

该类型的几何问题有助于学生进行反思. 解题反思有利于学生理解知识，并形成交互联系的知识网络，构建完备的知识体系. 解题反思有利于提高学生思维的深刻性、灵活性及广阔性，培养学习的能力，激发学生的创造能力［2］. 反思，在当代认知心理学中属于元认知的概念范畴，用元认知的理论来描述反思性数学学习就是学习者对自身数学学习活动的过程以及活动过程中涉及的有关的事物（材料、信息、思维、结果等）的学习特征的反向思考［3］. 很多学生在解题之后不会去刻意反思自己做题的过程，总结解决问题的一般策略，但是该类型的数学问题展示了其错误的证明过程，这一过程中所体现的解题思维误区很可能就是学生容易犯的错误，通过书面的形式展示出来，是学生“看得见的错误”，在一定程度上起到了提示学生反思的作用. 通过案例中问题的反思，能够帮助学生形成“做几何问题不能凭自己的主观臆断去添辅助线，而是要有理性严谨的态度”“看到一个几何图形要考虑其是否规范合理，不能盲目按照给出的图形去解决问题”等意识，进而达到提高反思意识和促进元认知发展的目的.

命制策略与问题设计

1. 命制策略

这类几何问题旨在训练学生的同时，用文字符号直观地暴露学生的思维误区，警示学生在今后的解题过程中要避免此类错误的发生. 学生在证明几何问题时，循环论证（以待证命题自身或者以待证命题的等价命题或其逆否命题为依据去证明待证命题）、偷换论题（条件特殊化，代替一般条件）、虚假理由（任意引申定理）、以偏概全等都是学生爱犯的错误. 为此，教师在命制这类几何问题时，可以从以下两个方面进行思考：

（1）要在学生平时的作业训练和测试情况中总结出学生在哪些问题上容易出错，出错的原因可能有哪些？

（2）哪些概念和定理是学生因理解不透彻而导致混淆或对其有错误的引申. 然后将错就错，通过呈现用错误的证明方法得到错误的结论，让学生自己去发现错误的根源. 上面案例的设计初衷——了解到初中阶段多数学生对于已给定的示图或自己所画的草图，不去考虑其是否准确合理，导致解题失败. 下面给出一个由错误引申平行四边形判定定理而设计的问题，希望起到抛砖引玉的目的.

2. 问题设计

问题：请阅读以下关于“一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形”的证明过程，请问该证明是否正确，给出你的判断，如果错误，请给出理由.

证明：如图7所示，连接BD，作DE⊥AB于E，作BF⊥DC于F，易证Rt△ADE≌Rt△CBF，从而AE=CF，DE=BF. 又易证Rt△BED≌Rt△DFB，则BE=DF，∠DBE=∠BDF，因此AB∥DC，且AB=AE+EB=CF+FD=CD（*），故四边形ABCD为平行四边形.

以上就是问题设计的全部内容，请你给出判断和理由.

参考答案如下：

证明：如图8，作等腰三角形DAG，在其底边AG上任取一点B，连接BD，以BD的垂直平分线为对称轴作△DBC. 在四邊形ABCD中，AD=DG=BC，∠A=∠G=∠C，四边形ABCD已经具备了一组对边相等和一组对角相等的条件，但是它显然不是平行四边形，因为假设对图8按原证法证明是不可行的. 作DE⊥AB于E，作BF⊥DC于F，E在AB上，则F在CD的延长线上，从而（*）式不成立，又∠EBD和∠FDB虽相等但却不是内错角，不能推出AB∥CD，所以原证明错误.

该问题的设计想法是出于学生对平行四边形判定定理掌握得不够扎实，在做题时容易把“一组对边相等且一组对角相等”也看作是平行四边形判定定理之一. 一方面，通过设计这样一道题，能够让学生很深刻地意识到这样的错误；另一方面，也能够提高学生逻辑推理和直观想象的素养. 由于学生在这类问题中出现的错误有很多，教师可以根据学生的情况有针对性地设计该类型的问题.

总结

该类型几何问题是基于学生的易错点而设计的. 希望通过这类问题的呈现，在激发学生学习兴趣的同时，能够有效地帮助学生规避这些错误，培养学生的反思意识和元认知，进而扎实掌握相关数学知识.

参考文献：

［1］钱德春，吕同林. 数学问题从“价值”到“处理”［J］. 教育研究与评论（中学教育教学版），2019（04）：61-66.

［2］丁宁. 反思性学习，让数学学习走向“深度”［J］. 数学教学通讯，2014（13）：31-33.

［3］涂荣豹. 试论反思性数学学习［J］. 数学教育学报，2000（04）：17-21.