“问题”引领下数学综合实践教学的具体措施

纪华山

［摘  要］ 学生经历数学化的活动可习得数学思维、获得数学品格、提升数学核心素养. 文章认为初中数学综合实践课程的实施需遵循“以学生为主体的原则”“以问题为载体的原则”“以活动为形式的原则”“过程化教育的原则”，并以“分割三角形”的综合实践教学为例，具体谈谈在“问题”的引领下数学综合实践教学的具体措施.

［关键词］ 数学综合实践；问题；教学；原则

数学综合实践课是对数学常规授课模式的必要补充，对发展学生的数学思维，提炼数学思想方法以及培养思维品质与创新意识等具有重要促进作用. 调查发现，当前仍有不少教师在实施综合实践教学时，缺少操作性的课程开发，只是流于形式地走个过场，丧失了培养学生学科核心素养的重要契机. 为此，笔者对初中数学综合实践活动课程的实施展开了大量研究.

实施原则

1. 坚持以学生为主体的原则

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在原有的基础上，再次强调了学生是课堂的主人，课堂教学应建立在“以生为本”的原则上，充分尊重学生的个体差异性，让每个学生都能在学习中获得发展［1］. 综合实践活动的开展虽说着重在实践与综合上，但实践与综合的主体必须是学生，只有认清这个事实，才能让课程教学效益最大化.

学生在活动过程中应积极、主动、全程参与，并通过手脑并用的方式启发思维、挖掘潜能，充分认识到生活与数学、其他学科与数学学科以及数学内部各知识间的联系. 实施综合实践教学时，教师作为课堂的组织者与引导者，需在充分尊重学生的基础上带领学生亲历实践活动过程，让学生自发地促进自身数学意识的发展.

2. 秉承以问题为载体的原则

问题是数学的核心，是思维的起点，创新的起点是一问. 没有问题的数学教学称不上教学，有了问题的驱动与引导，数学教学与学生的思维才有明确的方向［2］. 由此可见，问题在数学领域乃至其他学科的教学中，都占有举足轻重的地位. 数学综合实践活动的开展，应秉承以问题为载体的原则，让学生的思维在问题的引导下不断得以突破与提升.

设置综合实践活动内容时，应从培养学生的应用意识、问题意识、创新意识出发，让学生在活动中不断积累经验，获得发现、提出、分析与解决问题的能力. 任何实践活动的开展都应围绕核心问题而展开，如此才能帮助学生建构完整的知识脉络，提升学生的“四基与四能”.

3. 落实以活动为形式的原则

综合实践属于一种活动形式的教学，是基于核心问题的引导下，学生积极主动地全程参与实践的过程. 学生在活动中感知完整的学习活动，获得相应的学习体验. 综合实践课程的特点是以活动的形式进行思维的启发，学生在活动过程中获得感知、体验与领悟，实现从“要我学—我要学—我会学”的转变.

数学活动是实施“做中学”理念的根本. 丰富的活动，能有效地激起学生的探究欲，助推学生的自我发展意识，让学生在多维度的尝试、思考与发现中不断完善认知，建构综合实践课程的新样态.

4. 立足于过程化教育的原则

新课标强调数学教学要注重“过程性的教学”. 综合实践活动的开展是师生、生生互动与交流的过程，是教学相长的过程，亦是让学生感知知识形成与发展的过程. 综合实践虽然不强调学生对某个知识点的掌握与理解程度，但对学生参与活动过程中的表现、体验、领悟与反思等尤为关注.

综合实践着重强调学生活动经验的积累情况、应用意识以及数学思想发展情况等. 而这一切并不是教师手把手地“传授”给学生，而是学生通过参与活动自主感受、体验而来的. 这些经验与能力，学生唯有主动参与活动才能获得. 因此，综合实践活动需立足于过程化教育的原则.

实施策略

（一）选择问题，明确主题

综合实践活动的开展都有一个明确的主题，恰当地选择课堂切入问题，常能让学生明确活动的方向. 高质量的问题，往往取决于它是否具有数学性、生活性、综合性与实践性等特征. 只有综合性强，具有可实践性的问题才能有效指引学生进行实践活动，并学会综合应用“图形与几何”“数与代数”“统计与概率”三大领域的知识来解决实际问题.

实践证明，实践性强的问题能有效驱动学生的思维，让学生进入手、脑、口协调的状态，并积极、主动地综合应用相应的知识来解决实际问题；充满“数学味”的问题能让学生在实践的基础上从数学的角度进行思考，学会用数学的眼光看待世界、用数学的思维思考世界；具有“现实”意义的问题与学生的实际认知水平和生活经验相契合，能让学生积极、主动、全程地参与到活动的探索中来，让综合实践活动发挥其教学价值与意义.

综上几类明确活动主题的数学问题是开展综合实践活动的核心问题，而这些核心问题又可以从教学实践中由师生自主开发而来，也可以从教材中提炼而来. 值得注意的是，这些核心问题与教材或教辅资料中的练习题有着本质上的区别.

（二）围绕主题，设计活动

综合实践活动的开展与实施需建立在核心问题的基础上，让学生明确活动主题. 学生的探索从核心问题出发，遵循由浅入深、由简单到复杂、由感性到理性的认知发展规律. 教师在此过程中可设计一些层次分明的问题串，让学生在低起点、小跨度、高密度的问题中实现思维循序渐进的螺旋式上升.

在此，笔者以“分割三角形”的综合实践活动教学为例，从核心问题和分层问题串的设计出发，具体谈谈综合实践活动的实施与开展过程.

1. 设计核心问题，让学生感知数学

问题1？摇 若在一个三角形的内部任意取2020个点，加上三角形本身的3个顶点，则有2023个点，若将这2023个点进行两两相连，同时让这些连接而成的线段除了端点不存在其他公共点，这样的图形容易画出来吗？为什么？

设计意图？摇 此问是對本节课核心知识点的分解，为探索分割三角形的数量服务，引导学生从能否画出图形着手，进入探究状态. 此问的设置，意在让学生感知这样的图形不好画的原因是从三角形内部可以任意取的点太多了.

追问1？摇 经探索，大家发现想从三角形的内部任意取2020个点，确实比较困难. 那么我们可以怎么理解两两相连的线段将原三角形分割成多少个小三角形呢？

活动1？摇 试一试、画一画，小组交流画法与体验.

设计意图？摇 追问与活动的开展，意在点拨学生从简单的图形着手进行分析，引导学生通过取三角形内部1、2、3个点进行画图分析.

2. 设计分层问题，让学生体验数学

问题2？摇 通过以上活动的开展，大家画出了从三角形内部分别任取1、2、3个点所对应的图形，这种画法对研究本节课的主题（分割三角形）有什么帮助？

设计意图？摇 让学生思考并形成解决数学问题常用的策略“特殊—一般—特殊”. 学生在对三个最简单的特例研究中自主归纳出三角形内部任意取点的数量和连线可将原三角形分割成小三角形的数量之间存在着怎样的一般性关系，并应用这个一般性关系来解决问题1. 同时，也渗透了特殊到一般、猜想与归纳等数学思想方法，为促进学生思维的发展奠定基础.

追问2？摇 说一说三角形内部任意取点的数量和连线可将原三角形分割成小三角形的数量之间存在怎样的一般性关系（简称一般性关系）？

活动2？摇 猜想并归纳出这种一般性关系.

追问3？摇 这种一般性关系的探索，可以从哪些角度进行？

活动3？摇 分别从“数”与“形”的角度来探索这种一般性的关系.

追问4？摇 以上探索、归纳与猜想出的结论是否一定是正确的？

活动4？摇 该怎样应用更具一般性的合情推理，获取以上一般性的关系呢？

设计意图？摇 追问与活动的应用，促使每个学生都进入独立思考与探索之中，并通过与同伴的交流，对这种“一般性的关系”产生了更深层次的理解与认识. 学生在交流过程中，感知、归纳、提炼出相应的数学思想方法，并获得尝试从不同的角度来分析数学问题的策略，如：

策略1？摇 将在三角形内部分别任意取1、2、3个点的情况整理成表格形式（见表1）.

学生尝试从“数”的角度进行猜想，获得结论：在三角形的内部任意取n个点，再加上原三角形的三个顶点，共存在“n+3”个点，将n+3个点进行两两相连，且让所连线段除了端点不存在其他公共点，可把原三角形分割出（2n+1）个小三角形.

策略2？摇 尝试从“形”的角度来剖析.

如图1，在三角形的内部取一个点，按照要求可获得3个三角形；若增加1个点，则分成以下两种情况：①如图2，所增加的点位于分割而来的三角形的内部，按照要求分割而成的三角形总数比取一个点时增加了2个；②如图3，若增加的点恰巧位于分割线上，则此时分割而成的三角形总数比取一个点时也增加了2个.

经过分析，获得猜想：于一个三角形的内部任意取n个点，再加上原三角形的3个点，将所有点两两相连，使得所连线段除了端点不存在其他公共点，可将原三角形分割成3+2（n－1）=2n+1个小三角形.

策略3？摇 进行一般推理，假设在一个三角形的内部任意取n个点，加上原三角形的3个顶点，一共有“n+3”个点，把这n+3个点按照以上要求连接，可将原三角形分成x个小三角形，那么这些分割而来的小三角形的所有内角和就是180°·x.

这些分割而来的小三角形的内角又存在两种情况，一种是顶点为原来三个大三角形的顶点，它们的和是180°；还有一种情况就是小三角形的顶点是在三角形内部任取的n個点中的一个，那么以该点为顶点的三角形内角恰好拼成了周角，因此以n个点中的一个点为顶点的小三角形的内角拼接在一起就形成一个周角，和为360°·n.

基于以上分析，不难获得：180°·x=360·n+180°，解得x=2n+1.

3. 设计拓展问题，让学生感悟数学

众所周知，数学综合实践以问题引领整个活动过程. 当学生解决了核心问题后，课堂是否就此终止了呢？答案是否定的. 当学生获得相应的结论后，需要通过问题的纵横延伸来深化学生对知识的理解程度，为发展学生的创新意识奠定基础■［3］.

为了夯实学生对此类问题的研究经验，让学生在后续学习中遇到类似问题能快速想出解决办法，在学生已经解决了取点连三角形问题的基础上，教师可提出拓展性的问题供学生思考与探索，以增强学生的领悟能力.

问题3？摇 将问题1中的三角形替换成四边形，取2020个点加四边形原来的4个顶点后，求两两连线将原四边形分割成的小三角形数量，同样要求所有的连线段除了端点不可以有其他公共点.

活动5？摇 合作交流问题3，思考解决这个问题的方案，并设法提出其他拓展性的问题.

设计意图？摇 问题拓展环节，意在让学生在原有活动探究的基础上，更进一步地认识由浅入深、类比归纳、从特殊到一般以及从一般到特殊的数学思想方法等，为培养学生的创新意识以及科学的钻研精神奠定基础.

总之，综合实践活动的关键在于问题的择取是否恰到好处. 在核心问题的驱动下，教师组织学生积极主动地参与数学探究活动是实施综合实践教学的重中之重. 教师应从思想上重视综合实践活动课程，通过逐层递进问题的设置，引导学生感知数学知识，体悟数学思想方法，发展数学核心素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］张文明. 基于多元智能理论的数学问题设置及思考［J］. 新课程研究（上旬刊），2015（11）：117-121.

［3］章建跃，陶维林. 注重学生思维参与和感悟的函数概念教学（续）［J］. 数学通报，2009，48（07）：26-31，60.