中学“三度”数学课堂的构建与实施

【摘 要】在中学数学新知课中的概念课和命题课教学中，教师可以尝试构建“教之有温度、引之有广度、导之有深度”的数学课堂（简称“有温度、有广度、有深度”的“三度”数学课堂），提高数学课堂教学质量，提升数学课堂教学效率，增强数学课堂教学育人功能，以促进学生全面发展。

【关键词】中学数学；核心素养；“有温度、有广度、有深度”数学课堂；概念课；命题课

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2024）11-0007-04

【作者简介】严虹，贵州师范大学（贵阳，550025）数学科学学院教授，博士生导师。

笔者致力于中小学优质数学课堂的探索，基于优质课堂的基本特征以及数学学科的本质特点，初步构建了中小学优质数学课堂的一种呈现样态，即“有温度、有广度、有深度”数学课堂（简称“三度”数学课堂）。已有研究对“三度”数学课堂内涵、逻辑关系、课堂特征以及实施途径进行了探索。［1］［2］本文將在前期研究的基础上，分别以中学数学新知课当中的概念课、命题课为例具体阐述“三度”数学课堂的教学策略。

一、中学“三度”数学课堂的内涵

中学“三度”数学课堂是指在中学数学教学过程中致力于构建“教之有温度、引之有广度、导之有深度”的课堂（简称“有温度、有广度、有深度”的“三度”数学课堂），增强数学学科育人功能，提升数学课堂教学质量，以促进学生全面发展、培养学生核心素养为最终目标。

其中，“有温度”的数学课堂能够以情促动学生的内心世界，充分挖掘数学课堂的德育功能，引导学生在长期课堂浸润过程中逐步形成正确的世界观、人生观、价值观；“有广度”的数学课堂能够促进学生良好数学认知结构的形成；“有深度”的数学课堂能够促进学生对于数学思想方法的良好感悟，从而逐步培养解决综合性数学问题的能力，逐步引导深度学习的发生，进而培育学生核心素养。“有温度”“有广度”“有深度”三者之间既相对独立，又相互交融，是一个有机的整体。

二、核心素养视阈下中学“三度”数学课堂概念课的教学策略

数学概念是进行数学推理和证明的基础和依据，数学中的推理和证明实质上由一些连贯的概念、判断和原理组成，而数学中的原理又是由一些概念构成的。［3］由此可见，数学概念是组成数学学科这一“生命体”的“细胞”。数学概念课是中学数学新知课当中非常重要的组成部分。核心素养视阈下中学“三度”数学课堂概念课的主要教学策略如下。

1.巧设概念探究，精选概念应用，凸显数学概念课的“温度”

概念探究是指“在特定的背景下，通过合理设置的脚手架，探究概念的本质属性”［4］。在特定的知识背景下，教师可以通过巧妙设计问题情境，在问题情境中凸显数学课堂的“温度”：既可以是包含显性德育内容的理想信念教育、社会主义核心价值观教育、中华优秀传统文化教育等内容，也可以是包含隐性德育内容的科学精神、科学方法、科学态度等内容［5］；既可以是生活情境、文化情境中蕴含中国特色社会主义建设取得的成就、社会关爱、人格修养、生态文明等德育内容，也可以是在数学情境、科学情境中蕴含不畏艰难、勇攀科学高峰的科学精神，以及观察、归纳、类比、迁移等科学方法。

概念应用是指“巩固概念，应用概念的定义进行简单的应用”［4］129。概念应用的目的在于巩固概念，在概念应用所涉及的例题、课堂习题、课后习题中，教师可以通过精选问题内容，在问题情境中渗透德育内容，进而潜移默化地融入“温度”。

2.建构数学联结，拓展概念应用，展现数学概念课的“广度”

数学联结是指“构建该概念表征体系，并将获得的概念与相关的概念广泛联系”［4］。数学联结的过程，实质上是将新概念顺应到原有的数学认知结构中，甚至是个人的跨学科认知结构中。在课堂教学中，教师可以通过概念图的形式建立概念的表征体系：可以由教师绘制概念图并进行讲解，让学生初步获得该概念与相关概念的联系；也可以由学生自行绘制概念图，教师进行点评，在了解学生概念学习情况的同时展现数学课堂的“广度”；还可以设计针对概念图的生生互评，让学生加深对该概念的认知，形成良好的数学概念认知结构。

在概念应用的过程中，例题、课堂习题、课后习题设置上应该呈现一定的阶梯性。第一层次表现为概念的数学应用，主要围绕单一概念进行简单的应用；第二层次表现为概念的情境应用，在某一特定情境（生活类、社会类、科学类、文化类等）中围绕单一概念进行简单的应用；第三层次表现为概念的综合应用，要求学生能够综合运用已学相关数学知识，分析和解决综合性数学问题；第四层次表现为概念的跨学科应用，要求学生能够综合运用已学知识，分析和解决跨学科问题。在逐层问题的解决过程当中，既展现了数学课堂的“广度”，又为后续数学联结阶段做好准备。

3.注重概念深化，深挖概念应用，显露数学概念课的“深度”

概念深化是指“对概念进行多角度的辨析，揭示概念的内涵和外延”［4］。在概念深化的过程中，通过对概念进行多角度的辨析，可以使学习具有本质与变式、活动与体验、联想与结构等深度学习的基本特征。教师可以通过概念的非标准变式不断变换概念的非本质属性，帮助学生实现对概念本质属性的深度把握；也可以通过非概念变式教学，有效预防学生在理解概念时容易出现的错误，使其通过明确概念的外延，深入把握概念的本质属性，从而彰显数学课堂的“深度”。

在概念应用的过程中，教师可以通过在例题、课堂习题、课后习题中设置具有挑战性的学习问题，引导学生经历积极参与、体验成果、获得发展的有意义的学习过程。具有挑战性的学习问题，可以设置在上述第三层次和第四层次的问题中。学生通过综合性数学问题、跨学科应用问题的练习，能够结合数学特色，充分应用正向迁移策略，在已有知识的基础上，分析和解决问题。同时，学生体会到所解决数学问题的价值，并在教师引导下进行学生自评、生生互评，多方面反思解决问题的方式方法，使得评价再次反向促进学生深度学习。

三、核心素养视阈下中学“三度”数学课堂命题课的教学策略

命题是由概念组成的，数学中的命题包括公理、定理、公式、法则、数学对象的性质等。［6］由此可见，数学命题是组成数学学科这一生命体的器官。数学命题课亦是中学数学新知课当中非常重要的组成部分。核心素养视阈下中学“三度”数学课堂命题课的主要教学策略如下。

1.丰富命题引入，精选命题应用，凸显数学命题课的“温度”

在中学数学课堂中，命题（除公理之外）引入既可以直接由定义、公理等原始命题推理得到，也可以通过观察、实验、测量等实践性活动猜想出该命题再进行证明或验证。前者可以直接通过严格的推理和计算得到，在此过程中，教师可以引导学生体会相关的科学精神、科学态度，掌握相关的科学方法，逐步发展逻辑思维能力；也可以引导学生养成良好的数学学习习惯，进而引导学生体会数学学习的价值。后者可以通过归纳推理、类比推理、直觉思维活动等猜测出数学命题，在此过程中逐步发展学生的科学探究能力；也可以通过命题相关的科学情境、生活情境、文化情境等，引導学生深入体会数学学科的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值，从而提高学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的自信心。

应用命题解决有关的数学问题和实际问题是数学命题课的重要环节之一，命题应用的过程可以充分体现数学学科的科学价值和应用价值。教师精选命题应用的情境，有助于凸显数学命题课的“温度”。比如，命题应用中恰当的数学情境有助于学生掌握相关的科学方法，培养科学精神、科学态度，进一步发展归纳与演绎、分析与综合、抽象与概括等逻辑思维能力；命题应用中合适的科学情境有助于学生对于数学学科科学价值的感悟；命题应用中巧妙的生活情境有助于学生不断提高实践应用能力；命题应用中适当的文化情境，可以让学生体会数学家遇到挫折时永不言败的坚韧品格，可以让学生了解我国数学家取得的辉煌成就，潜移默化地增强他们的国家认同感，树立民族自信、文化自信等。

2.重视命题明确，拓展命题应用，展现数学命题课的“广度”

明确命题“是为了运用的需要，可提高学生使用命题的目的性和准确性”［7］。教师要重视命题明确环节，明确命题的有关概念、图形特征、符号意义，这一方面有助于学生再次回顾学过的相关概念、命题，进一步巩固已有的相关概念、命题的数学认知结构；另一方面，明确命题的过程，亦是将命题融入已有数学认知结构中，是进一步优化知识结构的过程。在数学命题课教学过程中，教师要重视命题明确环节，细致解析命题的具体内容，让学生再次深入理解与该命题相关的概念、命题之间的逻辑架构，理顺数学对象之间的关系（上位关系、下位关系、并列关系等），展现数学命题课的“广度”。

在命题应用过程中，教师可以适度拓展命题应用的外延，不局限于课堂例题讲解和习题练习，还可以引导学生通过归纳总结，利用思维导图等形象化工具将已经学习过的相关概念、命题系统化，以帮助学生进一步明晰本命题在整个知识体系中的地位和作用，在数学认知结构中与各个概念、命题之间的逻辑关系。拓展命题应用，进一步展现数学命题课的“广度”特征，既可以帮助学生巩固对本命题的掌握，又可以回顾关联的知识体系，为解决综合性数学问题作铺垫。

3.探寻命题证明，深挖命题应用，显露数学命题课的“深度”

命题证明是为了进一步确认猜想结论的正确性，是数学命题课的关键环节。探寻命题证明环节，教师可以引导学生通过分析法和综合法不断搭建已知条件和命题结论之间的逻辑通道。教学中，教师既可以将命题证明过程适当划分为若干个任务链，以任务方式驱动学生深度思考，培养学生“爱思考”的学习品质；也可以通过引导学生阅读自学、动手实践、自主探索、合作交流等多种方式，让学生在学习过程中充分体验，培养学生“重体验”的学习品质；还可以在说理表述中鼓励学生多种形式表达，比如小组内个人陈述、班级内阐释观点、展示规范书写证明过程等，从口头和书面双渠道培养学生数学表达能力，培养学生“善表达”的学习品质，显露数学命题课的“深度”特征。

在命题应用过程中，教师可以在课堂例题讲解、习题练习中设置具有挑战性的学习问题，深化命题应用。课堂例题的选择需要注重其典型性特征，给予学生充分的思考空间后再进行讲解。课堂习题的选择需要注重其阶梯性特征，从该节课命题的直接套用，到该命题的变式应用，再到该命题的逆用。课后习题的选择需要注重其差异性特征，基础性题目为全体学生皆需完成题目，应充分利用命题变式设计题目；拓展性题目供学有余力的学生选择性完成，可以考虑一些包含该命题的综合性数学问题、跨学科应用问题；衔接性题目供学习有一定困难的学生完成，通过练习将本命题和相关已学概念、命题进行衔接。深化命题应用，既可以作为本节课的延续，又可以作为下节课的预备，从而显露数学命题课的“深度”特征。

中学“三度”数学课堂的构建致力于当前核心素养视阈下的中学优质数学课堂理论探索。然而，“优质”常常需要与“高效”相互映照，中学“三度”数学课堂是否同时符合高效数学课堂的基本特征，还有待在今后的研究当中进一步验证。

【参考文献】

［1］严虹.核心素养视阈下中小学“三度”数学课堂构建的一些思考［J］.数学通讯，2023（9）：6-9.

［2］李龙梅，严虹.核心素养视阈下中小学“三度”数学课堂构建的再思考［J］.兴义民族师范学院学报，2023（4）：64-69.

［3］何小亚，姚静.中学数学教学设计（第三版）［M］.北京：科学出版社，2020：47.

［4］叶立军.中学数学教学设计［M］.北京：高等教育出版社，2015：129.

［5］教育部.教育部关于印发《中小学德育工作指南》的通知［EB/OL］.（2017-08-17）［2023-11-08］http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A06/s3325/201709/t20170904_313128.html.

［6］顾继玲.中学数学教学设计［M］.北京：北京师范大学出版社，2015：177.

［7］熊惠民.中学数学教学设计与案例研究［M］.北京：科学出版社，2014：132.