一道高考试题的品读及教学启示

摘  要：从一道高考试题的品读开始，基于教考一致，较系统地梳理高考试题赏析的基本内涵，从中获得教学启示并提出教学建议. 助力教师转变教学观念和教学方式，完善课堂教学实施并提质增效，促进有效教学和学科育人.

关键词：高考试题品读；教学启示；教考一致；学科育人

中图分类号：G633.6      文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）02-0060-05

引用格式：吴光潮. 一道高考试题的品读及教学启示：2022年高考数学新课标Ⅰ卷第14题评析［J］. 中国数学教育（高中版），2024（2）：60-64.

随着新课程、新教材、新高考的深入推进，“一核、四层、四翼”的高考评价理念已经被一线教师广为熟悉，但是在实践层面深化课堂教学内涵、落实课程改革理念仍有许多值得厘清和研究的问题. 例如，核心价值、学科素养、关键能力和必备知识的具体内涵是什么？新高考试题是怎样考查的？教师在日常教学中应该如何依标施教，教考衔接，有效落实高考命题的基本理念？本文以2022年高考数学新课标Ⅰ卷第14题为例，梳理高考试题赏析的基本内涵，从中获得教学启示，并提出教学建议.

一、对基于高考评价体系的试题评析的认识

1. 高考试题评析维度

（1）“一核、四层、四翼”在宏观层面的素质教育内涵.

《中国高考评价体系》（以下简称《体系》）中明确了高考的核心功能、考查内容和考查要求，以及“一核、四層、四翼”的概念及其在素质教育发展中的内涵. 同时，创造性地提出了高考命题理念从“知识立意、能力立意”向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”转变的理论基础与方法论基础. 因此，基于高考评价体系的数学试题评析，宏观上要把握基本内涵要求：“一核”（核心功能），立德树人、服务选才、引导教学；“四层”（考查内容），核心价值、学科素养、关键能力、必备知识；“四翼”（考查要求），基础性、综合性、应用性、创新性；“情境”（考查载体），问题情境.

（2）“一核、四层、四翼”在微观层面的学科表征内涵.

《体系》对相关概念给出了一级指标和二级指标的具体描述. 例如，“核心价值”共有3个一级指标和10个二级指标，“学科素养”共有3个一级指标和9个二级指标，等等. 学科素养对核心价值予以重点体现，而关键能力和必备知识的应用，也强调在正确价值观的指导下进行. 根据学科特点，需要在微观上厘清“一核、四层、四翼”的学科表征内涵，明确与学科相适应的相关要求的具体内容，确保将其落实到学科考试与教学中. 鉴于此，笔者聚焦数学核心素养、数学能力、思想方法、必备知识、问题情境等数学高考试题的主要考查维度及其基本内涵进行简要梳理，如表1、表2和表3所示，基于SOLO分类理论与“四翼”进行内涵分析，如表4所示.

增强基础性的高考命题要求，主要指加强考查学生基本概念、基本原理、基本思想方法等必备知识和关键能力；增强综合性的高考命题要求，主要指体现考查学生综合运用学科知识、思维方法，多角度地观察、思考，发现、分析和解决问题的能力等综合素质和学科素养（其中，推理论证能力和抽象概括能力贯穿全卷，重点考查）；加强应用性的高考命题要求，主要指注重理论密切联系实际，考查学生运用所学知识解决实际问题的能力，注重将学科内容与国家经济社会发展、科学进步、生产生活实际等紧密联系起来设置新颖的问题情境，引导学生关注社会进步和科学发展；增强探究性和开放性的高考命题要求，主要指考查学生运用批判性和创新性思维方法的独立思考能力、基于情境的探究性和设问的开放性从多角度思考而发展个性，增强创新意识.

2. 高考试题赏析案例

题目 （2022年高考数学新课标Ⅰ卷·14）写出与圆[x2+y2=1]和[x-32+y-42=16]都相切的一条直线的方程__________.

基于上述梳理，对该题进行以下几点赏析解读.

（1）解题思路效能多元，为不同水平的学生提供展示平台，服务选拔和“双减”.

试题以两个已知圆为背景，通过圆的方程可以知道两个圆的基本信息及两个圆的位置关系，将符号语言转化为图形语言，可以直观判断两个圆的公切线有3条，包括外公切线[m]，[n]和内公切线[l]，如图1所示.

然而，求各条切线方程的问题解决难度和效益各异.

方案1：求外公切线[n]. 几何直观法快捷作答（直接观察得到方程[x=-1]）.

方案2：求内公切线[l]. 二级结论法快捷作答（两圆的一般方程直接相减，消掉二次项，化简即可）.

方案3：通性通法（待定系数法）求三条公切线中的某一条. 在分秒必争的高考答题期间耗时较多. 以求外公切线方程为例，需要利用向量（或定比分点）先求出两个圆心连线与切线的交点坐标（如点[B]），由[BO=RORCBC=14BC]，求出点[B-1，-43]，从而设外公切线方程为[x+1=ky+43]，再利用相切（点到直线的距离等于半径）即可求得k，从而得外公切线[m]，[n]的方程. 同理，可以求出点[A]的坐标及内公切线[l]的方程.

该题的解法以通性通法为基础，一题多解，为不同能力水平的学生提供了打破常规进行独立思考和判断、提出不同问题解决方案的展示空间，提高了学生学习效能的获得感，有利于服务“双减”. 该题不同解法效能各异，对不同思维水平的学生进行了有效区分.

（2）考查载体简单友好，具有开放性和探究性，助力教学.

试题呈现方式友好：语言（符号）简约、数字简单，属于纯数学学习探索情境. 该题的结果具有很好的开放性，一题多解，难度各异. 通过简单的情境活动，即启动单一的认知活动（数形结合基本思想、两圆的内公切线的二级结论求解等单一知识点和基本能力）或者较复杂的认知活动（通性通法、待定系数法），均可以促使学生较顺利地完成考查目标. 试题可以继续挖掘、探究两圆处于其他位置关系时（内切、相离）求解公切线方程的通性通法，具有较好的引导教学的发展性功能.

（3）考查内容内涵丰富，体现试题形简而神不简，启迪命题和测评.

必备知识层面，试题考查了高中数学主干知识解析几何中的圆与圆、直线和圆的位置关系等基本概念及基本性质；思想方法层面，试题重点考查了函数与方程思想、数形结合思想；学科能力层面，试题重点考查了学生的逻辑推理能力、运算求解能力和综合运用知识解决问题的能力，同时充分体现了对阅读理解、信息整理、批判性思维等关键能力的考查；核心素养层面，较好地考查了学生的数学运算、直观想象、逻辑推理等素养. 试题充分体现了简单试题也能有丰富的内涵、功能，为“偏、难、怪”试题提供了命题“纠偏”和测评的思路.

（4）考查要求科学全面，体现基础性、综合性和创新性，明确高考导向和考查方法.

若学生选择方案1和方案2，问题的解决测评出的是学生基础的知识和能力水平，考查试题具有的基础性；若学生选择方案3，则需要综合运用平面几何、解析几何和向量等知识，计算会相对复杂，突出考查学生的直觀想象素养、数学运算素养和逻辑推理能力，体现了试题的综合性. 试题背景来源于教材，为学生较好地设计和提供了多样的思考角度、解题路径和方法，全面系统地考查了学生对核心概念、基本原理和基本方法的掌握程度，从而体现出学生思维的灵活性；试题基于对基础知识的考查命制，但又打破了固有的命题思路（基础知识单一考、封闭考），充分体现了试题的创新性. 试题在强化和深化基础性的同时，注重不同知识内容之间的内在联系，要求学生多角度和开放式地思考问题，这种导向和考查方法体现了新高考的鲜明特征.

（5）渗透关键能力考查，体现问题解决的方式方法，凸显能力和素养.

高考数学试题对关键能力的考查贯穿解决问题的全过程. 对于该题，在接触问题之初，阅读理解能力起关键作用——学生需要有圆与圆、直线和圆的位置关系的数学知识背景做基础和依托，理解题干中圆的标准方程这个符号语言的数学含义（明确两圆的半径、圆心及其相关关系），并转化为两圆相外切的图形语言（画出几何图形——该题是高考无图考图的范例）. 在求解过程中，信息整理能力发挥关键作用——学生对两圆的位置关系的几何图形进行加工、整理，进一步抽象其中包含的内、外公切线与圆心连线的交点[A]，[B]，以及对应“定比”等解题的关键信息，为基于对图形的加工选择解题方案并顺利解决问题奠定基础；批判性思维能力发挥主要作用——运用已有知识经验对3种解题方案或某一种解题方案进行审慎思考、分析比较、评价重构、推理论证等，这是学生解决问题的重要能力，也是学生终身发展所需要的素养．

二、基于教考一致性的教学启示及建议

1. 强化试题研究，明确高考考查内涵要求，指导教学实践

从对该题的分析可知，高考试题对“一核、四层、四翼”的贯彻是深刻和一以贯之的，不仅体现在高考命题理念内涵的全面覆盖上，还体现在对中、低档试题解决过程的深入渗透中：创新命题形式，引导教学注重培养学生的核心素养和关键能力，增强试题的开放性，鼓励学生运用创造性、发散性思维分析问题和解决问题，引导教学注重培育学生的创新精神. 因此，高考备考需要抓高考试题考查的“关键词”：学科素养、主干知识、结构化（联系性）、思想方法、关键能力、开放性、探究性、创新性……不仅要思考高考考查的内涵，还要将内涵明确于心，对标试题设计教学实践活动.

2. 优化教学策略，开展问题解决探究活动，培养学科能力

该题包含三种问题解决方案，如何选择直接影响该题的答题效益，乃至整卷的答题效益. 这里不仅有必备知识的基础性作用，更有灵活运用知识、融会贯通的关键能力的强力支撑. 高考试题“反机械刷题”，强调“融会贯通、学以致用”，因为前者刷的是“惰性知识”，不能解决问题，后者能够灵活运用“活性知识”，可以解决问题. 要适应高考，变“惰性知识”为“活性知识”，必须强化从“解题”转变为“解决问题”，培养学科能力、关键能力. 优化教学策略，开展问题解决探究活动是培养学科能力的有效途径. 高三后期的备考，可以基于高考试题针对性地设计微专题教学活动，主要从思想方法、解题活动经验、思维训练等层面做到聚焦和统一，围绕一个开放情境进行一“境”到底的学习探究，围绕一个典型问题进行一题多解或一题多变的教学实施，围绕一条主线进行一线串通的教学组织，等等. 学习活动实施流程如图2所示.

3. 深化解题探讨，增强探索数学问题的能力，服务学生发展

由该题可以窥见高考试题对“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”导向的深化.“一核、四层、四翼”既是国家深化新时代高考内容改革的硬性要求，也是一线教师教学的理论支撑和实践指南. 教师需要深化命题和解题探讨，聚焦素养、突出主线、精选内容、把握数学本质、启发思考，提升探索数学问题的能力，服务教学和学生发展. 例如，基于该题在复习备考中的变式实践，可以命制如下变式题.

变式1：写出一条与圆[x+12+y-12=1]和[x-32+]

[y-42=36]都相切的直线的方程.

由题意知两圆内切（外公切线即为所求）. 将原题外切变为内切，原方案2、方案3仍然可用，开放性降低，思维难度有所提升.

变式2：写出与圆[x2+y2=1]和[x-32+y-42=16]都相切的所有直线的方程.

变式2实际上是要求出原题图1中的三条切线，变结论开放为全封闭，提高了思维难度.

变式3：直线[l]上的每个点到圆[x2+y2=49]和[x-52+y-122=400]的切线长都相等，写出一条满足条件的直线[l]的方程.

由题意知两圆内切. 实际上，外公切线上的任意一点到两圆的切线长都等于该点到两圆的公共切点的距离，所以该题只需要求出外公切线的方程即可. 该题考查了转化与化归思想，对学生思维品质的要求有所提升.

变式4：若三个点[M]，[N]，[P]中，每个点到圆[x2+y2=16]和[x-32+y-42=1]的切线长都相等，则[M]，[N]，[P]的坐标可以分别是____________.

由题意知两圆外切. 实际上，该题只需要求出内公切线直线的方程，然后取其任意三点即可——因该题涉及符合条件的公切线的选择，故思维难度相对于变式3进一步提升.

上述命题变式，可以使学生从多角度深化对问题本质的认识，提高解决问题的能力——将平面几何知识转化与化归为解析几何知识（判断圆的位置关系，求公切线方程）.

综上所述，认真做好命题和解题探讨，从中发现问题的本质、总结解题规律，是提高解决问题能力的重要途径. 解题探讨可以围绕一题多解、方法思路的适用性、特殊性推论与一般性推广、条件与结论的变化关系、逆命题探究、命题应用等方面进行（不限于此，也非每题均需如此多方面探讨）. 基于此开展教学，可以灵活思路、开阔视野，培养学生綜合运用知识的能力，寻求知识间的内在联系，获取结构化的知识；通过问题的解决，不仅有助于培养学生一般的推理能力，而且有助于培养学生探索数学问题的能力，以及发散思维和创新思维.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调：优化课程结构，为学生发展提供共同基础和多样化选择；突出数学主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法；精选课程内容，处理好数学核心素养与知识技能之间的关系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，同时注重数学文化的渗透. 教师立足于高考试题的研究，确立核心素养导向的课程目标，设计体现结构化特征的课程内容，实施促进学生发展的教学活动，可以有效促进“教考一致”，推进课程改革理念在课堂教学中有效落地.

参考文献：

［1］教育部考试中心. 中国高考评价体系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］教育部考试中心. 中国高考评价体系说明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［3］任子朝，赵轩，郭学恒. 基于高考评价体系的关键能力考查［J］. 数学通报，2020，59（8）：15-20，24.

［4］吴光潮. SOLO分类理论视阈下的高考试题学业述评分析：以2022年全国新高考Ⅰ卷为例［J］. 中国数学教育（高中版），2023（1 / 2）：38-44.

［5］吴光潮. 基于“问题探究”高考试题价值取向的课堂教学策略［J］. 中学数学杂志，2023（1）：17-21.

［6］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.