例谈双变量问题中求最值的常用策略

施能奖

［摘 要］文章结合几个例题，探讨双变量问题中求最值的常用策略，旨在帮助学生突破解题难点，发展学生数学思维，提升学生核心素养。

［关键词］双变量问题；最值；策略

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）05-0012-03

题设条件含有双变量，考查含有双变量的某代数式的最值，是近年高考数学中考查的一类最值问题。此类问题的解题方法灵活多变，往往需要学生因题而异，准确选取较为简便快捷的解法。现结合几个例题，探讨双变量问题中求最值的常用策略。

一、借助“代换”，巧求最值

一般地，若根据题设可获得[ax+by=c（c≠0）]形式的等式，则可借助“代换”变形，巧妙求解代数式[mx+ny]的最值，具体可“代换”为[mx+ny=mx+ny·1=mx+ny·1c（ax+by）]。

［例1］（1）已知[x>0]，[y>0]，且[2x+8y=xy]，则[x+y]的最小值为               。

（2）已知[x>0]，[y>0]，且[x+y-8=0]，则[1x+9y]的最小值等于                   。

解析：（1）因为[x>0]，[y>0]，所以对等式[2x+8y=xy]的两边同除以[xy]得[2y+8x=1]。于是，可得[x+y=（x+y）·1=（x+y）·2y+8x=10+2xy+8yx≥10+22xy·8yx=18]，当且仅当[2xy=8yx]，结合题设化简知[x=12]，[y=6]时，不等式取等号，故所求[x+y]的最小值为[18]。

（2）因为[x+y-8=0]，所以[x+y=8]，所以[18（x+y）=1]。于是，可得[1x+9y=1x+9y·1=1x+9y·18（x+y）=1810+yx+9xy≥1810+2yx·9xy=2 ]，所以有[1x+9y≥2]，当且仅当[yx=9xy]，结合题设化简知[x=2]，[y=6]时，不等式取等号，因此[1x+9y]的最小值等于[2]。

评注：借助“代换”变形，不仅可灵活运用题设已知条件，而且亦可创造有利条件，便于根据基本不等式求解最值。特别提醒：“代换”之后，往往需要先展开变形，再运用基本不等式求最值，若两次连用基本不等式，则极易出错（因取等条件往往不一致）。

二、借助“消元”，巧求最值

活用“消元”技巧，是双变量问题中求解最值的基本方法，且较为常用，这是因为通过“消元”，可将含有双变量的最值问题转化为含有单变量的最值问题，从而易于求解。

［例2］（1）若正实数[x]，[y]满足[xy（x+y）=4]，则[2x+y]的最小值等于（）。

A. [3]          B. [22]          C. [23]          D. [323]

（2）已知[a]、[b]均为正数，且[ab-a-2b=0]，则[a24-2a+b2-1b]的最小值为                 。

解析：（1）因为[xy（x+y）=4]，所以[x（x+y）=4y]，从而可得[（2x+y）2=4x2+4xy+y2=4x（x+y）+y2=16y+y2=8y+8y+y2≥38y·8y·y23=12]，所以有[（2x+y）2≥12]，即[2x+y≥23]，当且仅当[8y=8y=y2]，即[y=2]时不等式取等号（此时对应[x=3-1]）。因此，[2x+y]的最小值等于[23]，故选C。

（2）因为[ab-a-2b=0]，所以[a（b-1）=2b]，所以[a=2bb-1]，且易知[b>1]。于是，可得[a24-2a+b2-1b=b2（b-1）2-b-1b+b2-1b=b2（b-1）2+b2-1=（b-1）+12（b-1）2+（b-1）+12-1=（b-1）2+1（b-1）2+2（b-1）+2b-1+1≥2（b-1）2·1（b-1）2+22（b-1）·2b-1+1=7]，所以有[a24-2a+b2-1b≥7]，当且仅当[（b-1）2=1（b-1）2]且[2（b-1）=2b-1]，即[b=2]时不等式取等号，故所求[a24-2a+b2-1b]的最小值为[7]。

评注：第（1）题，因为不便于直接消去变量[x]或[y]，所以需要对目标代数式实施“平方”变形，有利于消去变量[x]，同时还要关注三元基本不等式在解题中的灵活运用；第（2）题“消元”之后，需要关注加减变形［将[b]写成[（b-1）+1]］以及基本不等式（对[（b-1）2+1（b-1）2]和[2（b-1）+2b-1]均利用基本不等式放缩）在解题中的灵活运用。

三、借助“换元”，巧求最值

求解双变量问题中的最值时，有时需要在适当变形的基础上，靈活运用“换元”技巧，这样不仅可以帮助我们等价转化目标问题，还有利于我们进一步分析、求解。

［例3］（1）已知[x>0]，[y>0]，则[x+yxy+xy-1x+y]的最小值为                  。

（2）若实数[a]、[b]满足[a+b=2]，则[1a2+1+1b2+1]的最大值为                  。

解析：（1）注意到[x+yxy+xy-1x+y=1x+1y+1-1x·1y1x+1y ]，所以设[1x=m]，[1y=n]，则本题即求[m+n+1-mnm+n]（其中[m>0]，[n>0]）的最小值。因为根据基本不等式得[m+n+1-mnm+n=（m+n）2+1-mnm+n≥（m+n）2+1-m+n22m+n= ][3（m+n）4+1m+n≥23（m+n）4·1m+n=3]，所以有[m+n+1-mnm+n≥3]，当且仅当[m=n]且[3（m+n）4=1m+n]，即[m=n=33]时不等式取等号。因此，[m+n+1-mnm+n]的最小值为[3]，故所求[x+yxy+xy-1x+y]的最小值为[3]。

（2）方法1：因为[a+b=2]，所以平方变形可得[a2+b2=4-2ab]，于是[1a2+1+1b2+1=a2+b2+2（a2+1）（b2+1）=a2+b2+2a2b2+a2+b2+1=2（3-ab）a2b2-2ab+5 ]。设[3-ab=x]，则[ab=3-x]，所以[2（3-ab）a2b2-2ab+5=2x（3-x）2-23-x+5=2xx2-4x+8 ]。又由[a+b=2]得[ab≤a+b22=1]，进而知[x≥2]，从而，易知本题即求[2xx2-4x+8]（其中[x≥2]）的最大值。因为根据基本不等式得[2xx2-4x+8=2x+8x-4≤22x·8x-4=2+12]，当且仅当[x=8x]，即[x=22]时不等式取等号，因此[2xx2-4x+8]的最大值为[2+12]，故所求[1a2+1+1b2+1]的最大值为[2+12]。

方法2：因为[a+b=2]，所以可设[a=1+x]，[b=1-x]，从而可得

[1a2+1+1b2+1=1（1+x）2+1+1（1-x）2+1=1x2+2x+2+1x2-2x+2=2x2+4（x2+2）2-（2x）2=2x2+4x4+4=2（x2+2）（x2+2）-22+4=2（x2+2）（x2+2）2-4（x2+2）+8=2（x2+2）+8x2+2-4≤22（x2+2）·8x2+2-4=2+12]，所以有[1a2+1+1b2+1≤2+12]，当且仅当[x2+2=8x2+2]，即[x2=22-2]时不等式取等号，故所求[1a2+1+1b2+1]的最大值为[2+12]。

评注：第（1）题，换元之后，将基本不等式灵活运用了两次，必须关注这两次运用基本不等式时其中的取等条件是否可同时达到。第（2）题，方法1是在通分变形的基础上，将目标问题转化为求分式函数的最值（一般地，若分式函数的分子是一次函数，分母是二次函数，则可借助“换元”，实施进一步的变形、分析）；而方法2侧重灵活运用“平均数换元”技巧（一般地，若两个变量[a、b]满足[a+b=2m]，则可设[a=m+x]，[b=m-x]）。

四、借助“分解因式”，巧求最值

如果含有双变量的已知等式，便于实施“分解因式”变形，那么可以灵活运用基本不等式的变形结论（若[a]，[b>0]，则[a+b≥2ab]），巧求“之和”形式的代数式的最小值。

［例4］（1）已知[x]，[y≥0]，且满足[2xy+x+6y-6=0]，则[x+2y]的最小值为                 。

（2）已知[a]，[b>0]，且[（a+b）（a+2b）+a+b=9]，则[3a+4b]的最小值为                    。

解析：（1）因为[2xy+x+6y-6=0]，所以变形可得[（x+3）（2y+1）=9]，又[（x+3）+（2y+1）≥2（x+3）（2y+1）=29=6]，所以[x+2y+4≥6]，从而得[x+2y≥2]，当且仅当[x+3=2y+1]，结合题设化简知[x=0]，[y=1]时不等式取等号，故所求[x+2y]的最小值为[2]。

（2）因为[（a+b）（a+2b）+a+b=9]，所以[（a+b）（a+2b+1）=9]，所以再变形可得[（2a+2b）（a+2b+1）=18]。于是，有[（2a+2b）+（a+2b+1）≥2（2a+2b）（a+2b+1）=218=62]，所以[3a+4b+1≥62]，从而得[3a+4b≥62-1]，当且仅当[2a+2b=a+2b+1]，结合题设化简知[a=1]，[b=322-1]时不等式取等号，故所求[3a+4b]的最小值为[62-1]。

评注：结合求最值的目标代数式，先对已知等式实施灵活的“分解因式”变形，可获得一个“之积等于常数”的等式，再考虑基本不等式的变形结论在解题中的活用即可顺利获解。

五、借助“权方和不等式”，巧求最值

根据基本不等式，可证明权方和不等式：若[a，b，x，y>0]，则[a2x+b2y≥（a+b）2x+y]（当且仅当[ax=by]时不等式取等号）。一般地，活用“权方和不等式”，可巧解有关最值问题。

［例5］（1）已知正数[a]、[b]满足[a+b=1]，则[4a1-a+b1-b]的最小值为                    。

（2）已知[x>1]，[y>0]，且[1x-1+2y=1]，則[x+2y-1]的最小值为                     。

解析：（1）因为[a+b=1]，所以[4a1-a+b1-b=4a-4+41-a+b-1+11-b=41-a+11-b-5≥（2+1）2（1-a）+（1-b）-5=92-（a+b）-5=92-1-5=4 ]，所以可得[4a1-a+b1-b≥4]，当且仅当[21-a=11-b]且[a+b=1]，即[a=13]，[b=23]时不等式取等号。 因此，[4a1-a+b1-b]的最小值为[4]。

（2）因为[x>1]，[y>0]，且[1x-1+2y=1]，所以可得[1=1x-1+42y≥（1+2）2（x-1）+2y=9x+2y-1]，所以有[1≥9x+2y-1]，再变形得[x+2y-1≥9]，当且仅当[1x-1=22y]且[1x-1+2y=1]，即[x=4]，[y=3]时不等式取等号，故[x+2y-1]的最小值为[9]。

评注：第（1）题，需要在对目标式实施分离常数变形的基础上，灵活运用“权方和不等式”求解最小值；第（2）题，需要在对已知等式中的[1x-1+2y]，即[1x-1+42y]，灵活运用“权方和不等式”，巧妙求解[x+2y-1]的最小值。

总之，关注处理双变量问题中求最值的常用策略，有利于教师拓宽学生的解题思维，提升学生的代数变形能力，同时可有效提高学生灵活运用基本不等式求解最值的相关技能，进而提升学生的数学运算、逻辑推理等核心素养。

（责任编辑 黄桂坚）