初中数学反比例函数常见题型分析

许志兴

［摘 要］反比例函数是初中数学的一类较为重要的函数，其在中考数学试卷中频繁出现。与其他函数相比，反比例函数具有一定的特殊性，无论是基础性质，还是相关图象，均与众不同，这使其成为中考数学考查的热点。文章结合实际问题，总结反比例函数的基础概念问题、图象性质问题、面积问题、最值问题及综合问题等常见题型，旨在帮助学生熟练掌握反比例函数的常见考点，促使学生有效解答反比例函数问题。

［关键词］反比例函数；常见题型；初中数学

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）05-0035-03

反比例函数因具有特殊性质而成为中考数学的常见考点。在实际的考题中，除了对反比例函数的基础性质进行考查，还会将反比例函数与一次函数、三角形、平行四邊形等进行综合考查。因此，需要掌握的知识点较多，导致学生在解答问题时效率不高。为了帮助学生熟练掌握反比例函数的常见考点，笔者结合实际问题对中考中反比例函数的常见题型进行分析。

一、基础概念问题

反比例函数的基础概念是常见的考点之一，这类考点主要在选择题及填空题中进行考查。反比例函数基础概念问题主要考查学生对反比例函数基础知识的掌握程度，难度较小，需要学生熟练掌握反比例函数的基本性质。

［例1］如图1所示，平行四边形[OABC]的顶点[O]为坐标原点，[A]在[x]正半轴，[B、C]在第一象限，反比例函数[y=1x]的图象过点[C]，[y=kx（k≠0）]的图象过点[B]，若[OC=AC]，则[k=]           。

解析：因为点[C]在反比例函数[y=1x]图象上，所以可设点[C]的坐标为[m，1m]，

因为[OC=AC]，可知[A（2m，0）]，

因为[OABC]为平行四边形，

所以点[B]的坐标为[3m，1m]。

因为点[B3m，1m]在[y=kx（k≠0）]的图象上，

所以[k=3m×1m=3]。

评析：本题在求解[y=kx（k≠0）]中[k]的取值时，需要借助反比例函数[y=1x]上的点[C]，而后根据平行四边形[OABC]的性质，表示出[y=kx（k≠0）]上点[B]的坐标，进而求得[k=3]。

二、图象性质问题

反比例函数图象的性质是反比例函数问题的重要考点，与其他函数的图象不同，反比例函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形。对于反比例函数[y=kx（k≠0）]，其图象为双曲线，会无限接近于[x]轴和[y]轴，但不会相交。当[k>0]时，图像位于一、三象限，[y]随[x]增大而减小，当[k<0]时则相反。另外，在反比例函数的图象上任取一点，向[x]轴和[y]轴作垂线，所构成矩形的面积为[k]，这是解答面积问题时常用的方法。在实际的考试中，会有诸多考查反比例函数的图象性质的题目，故需要灵活掌握。

［例2］如图2所示，双曲线[y=kx]与直线[y=mx]相交于[A、B]两点，点[B]的坐标为[（-2，-3）]，则点[A]的坐标为（ ）。

A.（-2，-3）     B.（2，3）     C.（-2，3）    D.（2，-3）

解析：因为双曲线[y=kx]与直线[y=mx]相交于[A、B]两点，所以可以画出关于原点[（0，0）]对称的中心对称图形，点[B]的坐标为[（-2，-3）]，利用中心对称特点，可得点[A]的坐标为[（2，3）]，故正确答案为[B]。

评析：本题主要考查双曲线图象的中心对称特点，当双曲线[y=kx]与直线[y=mx]相交于[A、B]两点时，[A、B]两点关于原点中心对称，即点[B]的坐标为（-2，-3）时，点[A]的坐标为[（2，3）]。

三、面积问题

反比例函数面积问题的题型较为灵活。在实际解题中，常用的解题方法有数形结合法、求[k]值法、割补法等。如常用解题方法“割补法”，在面积问题中可以通过分割或者补充，将原本不规则的图形转化为规则图形，进而解答问题。

［例3］如图3所示，点[P（m，1）]，[Q（-2，n）]在反比例函数[y=4x]的图象上，过点[P]分别向[x]轴和[y]轴作垂线，垂足分别为[M、N]，连接[OP]、[OQ]、[PQ]，若四边形[OMPN]面积为[S1]，[△POQ]的面积为[S2]，则（ ）。

A. [S1]∶[S2=2]∶[3]                   B. [S1]∶[S2=1]∶[1]

C. [S1]∶[S2=4]∶[3]                    D. [S1]∶[S2=5]∶[3]

解析：因为点[P（m，1）]、[Q（-2，n）]在反比例函数[y=4x]的图象上，所以[m×1=-2n=4]，

所以[m=4]，[n=-2]，所以[P（4，1）]、[Q（-2-2）]，

因为过点[P]分别向[x]轴和[y]轴作垂线，垂足分别为[M、N]，

所以[S1=4]。

如图4所示，作[QK⊥PN]，交[PN]延长线于点[K]，

则[PN=4]，[ON=1]，[PK=6]，[KQ=3]，

所以[S2=S△PQK-S△PON-S梯形ONKQ=12×6×3-12×4×1-12×（1+3）×2=3]，

所以[S1]∶[S2=4]∶[3]，故正确选项为[C]。

评析：在本题中出现了“斜三角形”这一元素，但其边没有落在坐标轴上。因此，可以借助割补法进行解题。将斜三角形转变为直角三角形、直角梯形等，进而求解。计算可得[S1=4]，将[S2]转化为[S△PQK-S△PON-S梯形ONKQ]进行解答。

四、最值问题

在函数的应用中，最值问题是一类常见的问题，最值问题在反比例函数中也是频繁出现。在解答最值问题时，常用的方法有模型法、函数法、图形法及性质法等。虽然有较多的解题方法，但是在实际的解题中还需要学生结合实际问题，根据题目信息，灵活选择合适的解题方法，进而提高解题效率。其中，最短路径模型是解答最值问题的常用方法，即通过两点间直线距离最短，确定取得最值时的点，进而求解。

［例4］已知[A、B]为反比例函数[y=-4x]图象上的两点，横坐标分别为[-1]，[-2]。点[P]为[y=x]上一动点，当[PA+PB]最小时，点[P]的坐标为（ ）。

A. [12，12]                  B. [23，23]

C. [（1，1）]                     D. [32，32]

解析：因为[A]、[B]在[y=-4x]的图象上，横坐标为[-1]，[-2]，所以[A（-1，4）]，[B（-2，2）]，作点[B]关于[y=x]的对称点[C]。

由反比例函数性质可知，[B]、[C]关于原点对称，则C（2，-2）。

如图5所示，连接[AC]和[y=x]交于点[P]，此时[PA+PB=PA+PC=AC]最小。

设直线[AC]的方程为[y=kx+b]，

将[A、C]的坐标代入可得[k=-2]，[b=2]，

则直线[AC]的方程为[y=-2x+2]，

将其与[y=x]联立可得[x=y=23]，

即点[P]的坐标为[23，23]，故正确答案为[B]。

评析：在本题中，根据[A]、[B]在[y=-4x]的图象上，横坐标为[-1]，[-2]，则可得[A（-1，4）]，[B（-2，2）]，此时可以画出相应的图象。由反比例函数性质可知C（2，-2）。连接[AC]和[y=x]交于点[P]，此时[PA+PB=PA+PC=AC]最小。故此时可确定点[P]的位置，进而结合直线方程进行求解即可。

五、综合问题

一些复杂的反比例函数题目会将反比例函数与几何图形、其他函数等知识点进行综合考查。这类问题涉及的知识点较多，通常较为复杂。在实际的解题中，需要学生结合实际问题进行灵活分析，其中最为基础的是熟练掌握反比例函数及其他相关知识。

［例5］如图6所示，直线[y=-2x+4]与[y]轴、[x]轴分别相交于[A]、[B]两点，将射线[AB]绕点[B]顺时针旋转到[BC]，使得[∠ABC=∠ABO]，反比例函数[y=kx（x>0）]的图象经过点[C]，[CD⊥OB]于点[D]，且[S△BCD=32]，则[k=]                。

解析：因為直线[y=-2x+4]与[y]轴、[x]轴交于[A]、[B]两点，所以[A（0，4）]，[B（2，0）]，

所以[OA=4]，[OB=2]，

在[BC]中截取[BP]，使[BP=OB]，如图7所示，连接[OP]交[AB]于点[Q]，

因为[∠ABC=∠ABO]，

所以[OP⊥AB]，[OQ=QP]，

因为直线[AB]的方程为[y=-2x+4]，且[OP⊥AB]，

因为[kOP·kAB=-1]，

所以直线[OP]的方程为[y=12x]，

联立[y=-2x+4]与[y=12x]可得，

[x=85]，[y=45]，

所以[Q85，45]，[P165，85]，

设直线[BC]的方程为[y=kx+b]，

将[B（2，0）]，[P165，85]

代入得[2k+b=0，165k+b=85，]解得[k=43，b=-83。]

所以直线[BC]的方程为[y=43x-83]，

设[CD=h]，

因为[S△BCD=32]，所以[12BD·CD=32]，[BD=3h]，[OD=2+3h]，

所以将[C2+3h，h]代入[y=43x-83]，得[h1=2]或[h2=-2]（舍去）。

所以[C72，2]，因为反比例函数[y=kx（x>0）]的图象经过点[C]，所以[k=72×2=7]，故[k=7]。

评析：在本题中，通过直线方程可得[OA=4]，[OB=2]，在[BC]中截取[BP]，使[BP=OB]，连接[OP]交[AB]于点[Q]，根据等腰三角形性质可得直线[OP]的方程为[y=12x]，通过联立方程可得[P165，85]。由待定系数法可得直线[BC]的方程为[y=43x-83]。在此基础上，设[CD=h]，将[C2+3h，h]代入[y=43x-83]，得[h1=2]。由[C72，2]在[y=kx（x>0）]的图象上，可得[k=7]。

综上所述，反比例函数是中考数学的常见考点，本文结合实际问题，总结了中考数学中反比例函数的常见题型，即反比例函数基础概念问题、图象性质问题、面积问题、最值问题及综合问题，并分析相关问题的解题方法。这就要求学生要结合常见问题，总结解题规律，以期在考试中能够快速解答问题。

［   参   考   文   献   ］

［1］  林艺彬.利用反比例函数图像对称性巧解题［J］.数理化解题研究，2022（35）：23-25.

［2］  徐鲁璐.解反比例函数综合题的两种方法［J］.初中生必读，2023（6）：32-34.

［3］  丁慧.反比例函数的三种常见考点［J］.现代中学生（初中版），2023（6）：41-42.

（责任编辑 黄春香）