大概念视域下课堂例题教学的实践

司绪荣

课堂教学是形成与发展学生数学核心素养的一个重要载体，更是落实课改理念的一个重要环节，因而课堂成为大概念视域下教学实践的一个重要场所.

重视课堂例题教学是在当前习题操作模块的基础上，合理引导学生积极主动参与其中，动口、动手、动脑，在课堂例题的基础上进行合理的深度学习，以典型例题为中心向外延伸与拓展，形成更加高阶的数学思维能力，促进课堂合理转型.

1 高考真题

（2023年新高考Ⅱ卷·13）已知向量a，b满足|a－b|=根3，|a+b|=|2a－b|，则|b|=______。

2 大概念的理论基础

大概念视域下的数学课堂教学，从具体问题及相关基础概念入手，联系与之相关的重要概念，进而挖掘问题的核心概念，为问题的解决与应用奠定基础，从而形成大概念思维，构建良好的解题思维品质.

3 例题中的大概念建构

基于深度学习，从大概念的建构层面剖析对应的平面向量及其应用问题.此题借助两个平面向量之间的线性关系，以及对应的模的数值与关系等创设条件，进而确定对应向量的模.

试题体现的大概念是数形结合思想，这种思维方法将平面向量兼备的“数”与“形”的双重特征体现得淋漓尽致，如图1所示，从而也为问题的数学抽象与数学运算等打下基础.依托平面向量的数量积这一重要概念，回归平面向量的线性运算与模等基础概念，引导学生通过合理的概念分析与应用来解决问题.

以大概念的指导为方向，基于此类平面向量的综合应用问题，借助平面向量自身所兼备的“数”与“形”的双重特征，从代数思维切入，合理数学运算；从几何思维切入，巧妙直观想象.当然还可以利用该问题的特殊形式，从特殊值思维切入，借助特殊值加以巧妙选取与合理验证.这些都是解决本题的基本数学思维方式，展示纷呈多样的技巧与方法.

4 大概念视域下的课堂教学实践

大概念视域下平面向量的综合问题，可以从“数”“形”以及特殊思维等方面来展开与应用，从而得以分析与解决实际问题.

4.1 代数思维

问题1 如何从代数视角，以“数”的属性来解题？

合理引导学生通过来平面向量数量积的转化，借助平方运算等来达到目的.

问题2 对平面向量的模的关系式两边进行平方处理，有怎样的效果？

解法1：平方转化法.

将|a+b|=|2a－b|两边平方，可得（a+b）2=（2a－b）2，

整理得a2－2a·b=0.

又|a－b|=3，两边平方可得（a－b）2=3，则有a2－2a·b+b2=3，可得b2=3，即|b|=3.[WTBX]

设计意图：根据平面向量的模之间的关系式，通过平方处理，转化为平面向量的数量积问题，结合平面向量的运算法则加以变形转化与巧妙应用，是解决此类平面向量问题的“通性通法”.抓住向量的模以及模之间的关系，遇“模”平方是潜意识操作，通过平方运算以及方程组的联立，可以为问题的进一步解决指明方向，也是解决问题的关键所在.

问题3 对问题中的平面向量线性关系进行整体代换，有何效果？

解法2：整体换元法.

設计意图：根据题中平面向量之间的线性关系，借助整体换元引入新向量，由此构建两个平面向量的非对称线性关系式的模之间的恒等关系，同样利用平方运算来转化与应用.整体换元的目的在于关系式的变形转化与巧妙应用，其关键在于利用了

这个基本结论.

问题4 回归平面直角坐标系，如果利用坐标运算如何分析与解决问题？

解法3：坐标法.

设计意图：建立平面直角坐标系，合理引入平面向量的坐标，利用坐标运算以及模的公式合理转化与应用，利用方程求解、等量代换等加以转化与应用，通过数学运算达到目的.坐标法也是平面向量中“数”的属性的一大体现，利用坐标的表示与应用，合理通过数学运算来处理一些相关的向量问题，也是解决平面向量问题的“通性通法”.

4.2 几何思维

问题5 如何从几何视角，以“形”的结构特征解题？

问题6 合理构建平面几何图形，如何基于图形直观来推理与运算呢？

解法4：平面几何法.

设计意图：回归平面向量自身“形”的几何特征，构建与题设相关的平面几何图形，利用平面几何的相关知识与基本性质，结合直观视角来数形结合，从“形”的视角来分析与解决问题.在解决一些平面向量问题中，由“数”转“形”，借助“形”的直观，通过数形结合与逻辑推理来解决相关问题，可以减少数学运算.

4.3 特殊值思维

问题7 解决问题的“巧技妙法”往往是处理选择题与填空题的一种特殊方法，那么该问题能否通过特殊思维来快捷处理呢？

问题8 如何从特殊思维视角，用一般与特殊的转化与化归思维来解决该问题呢？

解法5：特殊值法1.

由|a+b|=|2a－b|，显然当a=0这个特殊值时，有|0+b|=|0－b|，该关系式成立，

此时有|a－b|=|－b|=|b|=3.

解法6：特殊值法2.

由|a+b|=|2a－b|，显然当a=2b这个特殊值时，有|2b+b|=|4b－b|=3|b|，该关系式成立，

此时有|a－b|=|2b－b|=|b|=3[WTBX].

设计意图：特殊值思维是解决数学问题中最为特殊的一种“巧技妙法”.抓住题设条件中平面向量之间的线性关系，以特殊的零向量、特殊的数乘向量关系等代入满足的关系式，借此通过这个特殊值的应用来技巧化解决问题.利用特殊值法在解决一些具有确定结论的选择题或填空题时，借助特殊值（特殊函数、特殊向量、特殊图形等）的应用，以特殊代替一般，又回归到一般情况，符合辩证唯物主义思想.

大概念视域下，涉及平面向量的综合问题，往往可以从定义思维视角、代数思维视角、几何思维视角、特殊值思维视角等不同角度切入，合理发散思维.

大概念视域下，借助“一题多解”的巧妙应用，充分融合数学基础知识与基本技能，形成稳定的数学知识架构，从而脱离“题海战术”，拓宽数学基础知识，切实提高数学能力，提升数学品质与核心素养，真正达到举一反三、融会贯通的效果，得以创新拓展.