抽象函数周期性学习的“四境界”

詹步创

抽象函数问题是近年来高考命题的热点，因为它既能反映数学的本质特征，又能体现新课标对数学抽象和逻辑推理等核心素养考查的要求.在对抽象函数性质的考查中，特别是周期性问题比较隐蔽，很难把握，在学习中不少学生只见树木，不见森林，很有畏难情绪，甚至部分教师在教学中也是蜻蜓点水，浅尝辄止.本文中将周期性的深度学习分为“四个境界”，层层递进，结合近年来高考试题对此进行剖析，供读者参考.

5 总结

周期性的学习可以划分为四个境界，每个境界都有其独特的特点和层次.这些境界层层递进，帮助学生逐步理解和掌握周期性的概念和性质.

在境界一中，学生需要理解周期性的基本定义，并学会通过变式推导出周期性.周期性指的是函数在一定规律下重复出现的性质.学生应该能够判断一个函数是否具有周期性，并且能够找到该函数的周期.通过学习境界一，学生可以建立对周期性的初步认识.

境界二的重点是由函数的奇偶性和对称性如何推出周期性.奇偶性和对称性是函数的重要特征，通过分析函数的奇偶性和对称性，可以判断函数是否具有周期性.例如，如果一个函数是偶函数，则它具有关于y轴的对称性，从而可以推断它是周期性函数.学生需要学会运用奇偶性和对称性的概念，以及相关的性质和定理，来判断函数的周期性.

境界三涉及由原函数与导函数之间的对称性关系如何推出周期性.原函数与导函数之间存在一定的对称性关系，通过研究这种对称性关系，可以进一步推导函数的周期性.例如，如果一个函数的导函数具有某种对称性，那么可以推断该函数具有相应的周期性.学生需要深入了解原函数和导函数之间的关系，以及如何利用这种关系来判断周期性.

在境界四中，學生将学习如何通过构造三角函数模型来推出周期性.三角函数是一类常见的周期函数，通过构造三角函数模型，可以更直观地描述和理解抽象函数的周期性特征.学生需要学会选择适当的三角函数，调整其参数和变量，以构造出符合要求的周期函数模型.这样的学习可以帮助学生深入理解周期性的本质，并提高解决周期性问题的能力.

综上所述，上述四个境界层层递进，每个境界都有其独特的特点和层次.通过逐步深入学习，学生可以全面理解抽象函数的周期性，并培养数学建模和解决实际问题的能力.这种学习方法不仅有助于应试考试，还能够为学生的数学学习打下坚实的基础.因此，学生应该注重在每个境界上的学习，并逐步提升对周期性问题的理解和应用能力.