巧用分段放缩法证明函数不等式

周建锋

摘要：放缩法是证明函数不等式的一种常见方法，如寻找中间常量、切线放缩、割线放缩、利用泰勒展开式放缩等，但放缩的尺度不易掌握．分段放缩法将函数不等式成立的区间划分为若干个子区间，有利于在每个子区间上缩小放缩的幅度，避免“放过头”的问题，从而证明函数不等式在整个区间内成立．本文中通过几个实例，剖析了分段放缩证明函数不等式的方法，以及如何调整区间的划分，对函数不等式的证明是一个很好的补充．

关键词：函数不等式；分段放缩

1 问题的提出

函数不等式的证明一直是中学数学中的一个热点，证明函数不等式，可以将其转化为求函数最值的问题，通过求导，划分单调区间，找出最值．但新的高考改革越来越关注学生的数学核心素养，对學生分析问题、解决问题的能力提出了更高的要求，因此建立在通性通法基础上的应变能力尤为重要．

放缩法作为一种重要的证明不等式的方法被广泛应用，包括寻找中间常量、切线放缩、割线放缩、利用泰勒展开式放缩等．放缩法最大的难点在于放缩的尺度，因为放缩法的理论基础是不等式的传递性，如a>b，b>ca>c．这是一条“单行道”，一旦尺度过大 “放过头”，如a>b，bc．此时在放缩法证明中结合分段放缩，将会起到很好的效果．目前分段放缩法证明函数不等式的研究较少，文[1]用分段放缩证明了一个三角形不等式，文[2]用分段放缩证明了一个数列不等式，文[3]用分段放缩证明了一个含绝对值的函数不等式．笔者经过研究，通过分段放缩法与切线放缩、割线放缩等的结合，可将分段放缩法更广泛地应用于多种类型的函数不等式的证明之中．

4 结束语

数学的乐趣在于不断探索，推陈出新．在证明某些函数不等式（如指数函数、对数函数与三角函数中至少两类混杂在一起的函数不等式）时，直接用求导的方法证明往往比较困难，通常考虑利用放缩法证明．而分段放缩法可以更精确地解决放缩尺度的问题，在需要运用放缩法的时候不妨结合分段放缩法，这样易于攻破难点，体会数学的美妙，在数学的世界里快乐地翱翔！

参考文献：[WTBZ]

[1]王振寰，吉玉环，关冬月，等．用分段放缩法证明不等式［J］.内蒙古农业大学学报（自然科学版），2001（1）：105-110．

[2]李新卫．巧用分组或分段等比放缩方法证明不等式［J］.数理化学习（高三版），2015（6）：19-20.

[3]杨飞．分段解决掌握好切线放缩显灵妙——一道含绝对值函数题的解析［J］．考试与招生，2022（2）：5-6．