基于数列知识，高三备考复习建议

阿丽米热·艾尼

摘要：作为高考中的主干知识之一，“数列”模块的复习备考是高考复习中的一个重要环节.通过把握复习方向，强调数学运算，加强解题教学，强化主题研究等层面展开，剖析复习备考建议，全面提升数学能力与培养核心素养，优化复习备考效益.

关键词：数列；高考；备考；复习建议

近几年的高考对数列知识的考查切实吻合《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的要求.以数列的基本概念、基本类型、基本公式、基本性质以及基本应用等入手，坚持素养导向，重视数学基础与数学本质，突出能力为重，是高考命题中专注学科素养培养、体现关键能力考查的一个主要载体.同时，数列知识可以很好回归数列的函数属性，巧妙联系函数与方程、不等式等相关知识，起到很好的知识交汇与融合的作用；数列知识又可以合理联系生活实际，对于实际应用与创新应用也有很好的導向作用.

基于此，数列成为高考命题中的主干知识点之一，也是高考重点考查的内容之一.为了更好地、更有针对性地对数列专题进行复习，笔者结合内容给出如下备考建议.

1 把握复习方向，科学精准研究

高考复习与备考，往往是基于对专题知识的精准研究，充分把握备考方向为根基.深入研究“课标”，回归教材，研究历年高考真题等，从中探寻一些高考命题的方向与特征，为更加有效的复习备考提供条件.

对于数列模块的复习备考，必须基于数列基础知识，通过“三靠”（靠知识、靠技能、靠思维）来解决数学能力问题，依托“三练”（练思路、练运算、练表达）来合理训练与提升，实现复习教学的“三会”（会观察、会联想、会转化）目的.基于此，巧妙将数列与函数、数列与不等式等加以综合与交汇，有时还要将数列与概率等相关知识加以融合，实现创新与应用.

例1 已知数列{an}满足an=an+1+an－1（n≥2），设数列{an}的前n项和为Sn，若S202=201，S201=202，则S203=[CD#3].

分析：根据题设条件，合理通过数列递推关系式的变形与转化，确定数列{an}是周期为6的周期数列，进而利用题设条件中的S202=201，S201=202，确定相应项的值，进而加以分析与求解.

解析：由an=an+1+an－1，可得an+1=an－an－1.

所以an+2=an+1－an=－an－1，an+3=an+2－an+1=－an，则有an+6=－an+3=an，

故数列{an}是周期为6的周期数列.

又由an+3=－an，得an+an+3=0，

从而an+an+1+an+2+an+3+an+4+an+5=0，即数列{an}中连续6项之和为0，

而a1+a4=0，a197+a198+a199+a200+a201+a202=0，a3=a2－a1，

所以S202=a1+a2+a3+a4+33（a197+a198+a199+a200+a201+a202）=a2+a3=201，

S201=a1+a2+a3+33（a196+a197+a198+a199+a200+a201）=a1+a2+a3=2a2=202.

解得a2=101，a3=100.

又a1+a4=0，a2+a5=0，

所以S203=a1+a2+a3+a4+a5+33（a198+a199+a200+a201+a202+a203）=a3=100.

点评：涉及陌生的数列问题，特别涉及数列的递推关系式问题，往往可以通过多个式子，合理观察相应式子之间的关系，加以合理化归与转化，巧妙变形应用，从而归纳与总结其基本规律，确定相应的性质，为进一步的分析与求解提供条件.

2 强化数学运算，贯穿复习始终

数列试题，对数学运算的要求是最为直接的，也是数学运算能力与素养最常用的一种考查方式.

强化数列专题中基本量的运算，优化数学运算方法，提升数学运算效益等，都是复习备考中必须加以重点强调的一个基本点.

在数列专题复习备考过程中，专注于数列模块知识的“通性通法”的理解与掌握，合理优化数学运算，可以进行“一题多解”和“多题一解”等的训练与反思，这对强化与优化数学运算等都有很大的益处.

例2 已知数列{an}对任意k∈[WTHZ]N[WTBX]*满足ak+1+ak=4k+3，则a1+a2 024=[CD#3].（4 051）

分析：根据数列的递推关系式合理配凑处理（常用待定系数法）构建结构相似的递推式，利用迭代处理来构建数列的通项公式，从而实现问题的分析与求解.

点评：[JP4]这里要注意的是，不能说数列[JB（{]ak－2k－12[JB）}]是一个等比数列，因为其首项a1－2×1－12=a1－52不能确定其非零，这是容易出错的地方.借助题设条件，合理结合相关的技巧方法来化归与转化，合理数学运算，从而实现数列问题的破解.

3 加强解题教学，渗透思想方法

数列作为一类离散型的函数模型，知识点中蕴含着丰富的数学思想与方法，除了函数中自身包含的函数与方程思想、分类与整合思想外，还有一些转化与化归思想、数形结合思想等，在命题设置中往往都会有所体现.

因而，在数列专题的复习备考过程中，以基础知识为背景，合理依托解题技巧与方法，融入基本的数学思想与方法，可以更加合理优化逻辑推理，减少数学运算，这些对于提升解题效益等都是非常有帮助的.特别是对于一些创新型应用问题，回归数列的本质与内涵，结合对应的数学思想方法来处理，可以更加有效地展示数学思维过程，体现解题技巧的思想化，达到最佳解题效益.

例3 已知数列{an}中，a2=1，设Sn为{an}前n项和，2Sn=nan.

（1）求{an}的通项公式；（an=n-1）

（2）令cn=an+3an+1an+2×2an+1，求满足c1+c2+……+cn－1+cn>2 0222 023的最小正整数n的值.（8）

分析：（1）根据数列通项an与前n项和Sn共存的问题场景，从特殊情况出发确定数列的前若干项，利用2Sn=nan以及an=Sn－Sn－1的关系，合理进行消参并化归转化，再结合连续两项之间的比值关系，借助累乘法加以化归与运算；（2）利用cn的表达式的变形与转化，合理裂项相消求和，通过数列不等式的求解来确定最小正整数n的值.

点评：求解数列综合应用问题的基本策略在于“归”——化归与归纳，“算”——基本量的运算.特别是涉及数列的通项公式、数列求和以及数列与不等式等相关知识的交汇与综合应用，合理加以化归与转化，结合数列运算来分析与处理.

4 强调主题研究，提升创新应用

数列是体现“重思维、重应用、重创新”数学命题理念的重要载体，基于数列自身的基本特性，经常以数列为场景设置一些创新应用问题，更加契合生活实际，对于深化学生的数学建模、创新应用等方面都是有益处的.

因此，在数列模块的复习备考过程中，引导学生全面理解与掌握数列的基础知识，进而结合实例加以创新与应用，突出数列的应用性、创新性等方面，更加吻合试题对学生基础知识与关键能力的考查，培养学生的创新意识与创新应用.

例4 小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n层（20≤n≤30，n∈[WTHZ]N[WTBX]*），设第1层的“环境满意度”为1，且第k层（2≤k≤n，k∈[WTHZ]N[WTBX]*）比第（k－1）层的“环境满意度”多出3k2－3k+1；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k层（2≤k≤n，k∈[WTHZ]N[WTBX]*）比第（k－1）层的“高层恐惧度”高出13倍.在上述条件下，若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为ak，bk，记小王对第k层“购买满意度”为ck，且ck=akbk，则小王最想买第[CD#3]层住宅.（10）

（参考公式及数据：12+22+32+……+n2=n（n+1）（2n+1）6，ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，343≈1.100 6.）

分析：根据题设中的场景合理构建数列{an}{bn}的递推关系式，通过累加法和等差数列的求和公式来确定数列{an}的通项，并结合等比数列的定义等来确定数列{bn}的通项，再利用作商比较法，结合不等式的基本性质来确定最值问题，实现合理的决策与判断.

点评：在利用不等式性质判断数列{cn}的单调性时，要注意这里的变量是正整数这一隐含条件.此类问题结合现实生活实际，以实际决策问题来创新设置，巧妙融入等差数列与等比数列、数列及其基本性质、不等式、函数与导数的应用等基本知识.借助数学建模，通过数学模型的构建与解模，合理分析与求解，提供决策依据与判断.

正确关注数列的基本概念、数列的本质与性质等，科学精准研究基本考点，贯穿高三复习教学的整个过程，合理渗透数学思想方法并把握技巧方法，提升数列知识的应用性与创新性等方面的研究，从而不断强化“四基”，提升數学能力，培养数学核心素养.