三谈等轴双曲线的典型性质

崔宝法

贵刊曾在2000年第5期和2006年第7期分别刊登了本人的拙作《等轴双曲线的几个典型性质及其证明》和《再谈等轴双曲线的典型性质》，经进一步深入研究，笔者发现等轴双曲线还有另外的一些典型性质，现一一列出，并给出证明.

性质1 等轴双曲线上任一点处的法线与实、虚轴相交所得线段恰被该点平分.

证明：如图1，设等轴双曲线x2-y2=a2

上任意一点为M(x0,y0)，则过M点的切线方程为x0x-y0y=a2.由于同一点处的切线与法线互相垂直，故可令过点M的法线方程为y0x+x0y=λ，以点M坐标代入法线方程，得λ=2x0y0,所以法线方程为y0x+x0y=2x0y0.因为已知法线与两坐标轴都相交，所以x0≠0，y0≠0，由此可解得法线与实、虚轴的交点分别为L(2x0,0)、K(0,2y0)，故LK的中点坐标为(x0,y0)，即线段LK恰被点M平分.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”