约数问题(一)

2009-05-04 10:15全锡贵
关键词:约数练一练奇数

全锡贵

有关约数的知识有很多,本期向小读者介绍有关约数个数的求法及应用的问题,希望能给你解题带来方便。

[例1]72有几个约数?

要求72的约数的个数,可以从1开始把72的全部约数逐对写出来:1,72;2,36;……8,9,这样可以求出72的约数共有12个。但这样做比较麻烦。下面我向同学们介绍一种求一个自然数约数的个数的简便方法:

先把给出的自然数分解质因数,然后把各质因数的个数分别加1的和连乘,所得的积就是这个自然数约数的个数。

按照这种方法,由于72=23×33,因此72的约数的个数是:(3+1)×(2+1)=12(个)。

[例2]4500的约数中偶数有多少个?

如果把4500的全部约数都写出来,然后再数出其中偶数的个数,显然很麻烦。我们还是先把4500分解质因数,可知4500只有2,3,5这样3个不同的质因数,而其中含有质因数3的和5的约数一定都是奇数,而只含有2这个质因数的约数有2和22=4,结合乘法原理就可以求出约数中的偶数的个数了。

4500=22×32×53,(2+1)×(3+1)×2=24(个);或者4500=22×32×53,(2+1)×(2+1)×(3+1)-(2+1)×(3+1)=3×3×4-3×4=36-12=24(个)。

所以,4500的约数中偶数有24个。

[例3]求出100以内的自然数中只有8个约数的所有数。

如果用逐个数求出约数的个数的方法太麻烦。我们可以做逆向思考,8这个约数的个数的得出方式有:8=7+1=(3+1)×(1+1)=(1+1)×(1+1)×(1+1),共三种方式。由此说明:这样的数可能只有1个质因数或含有2个不同的质因数或含有3个不同的质因数三种情况。即a、b、c为质数时,这样的数有a7、a3×b、a×b×c三种类型。又a最小时为2,27=128>100,不存在,故只有a3×b和a×b×c两种类型,逐一顺次调换质因数可得出各数。

20×3=24.23×5=40,23×7=56,23×11=88,33×2=54;2×3×5=30,2×3×7=42,2×3×11=66,2×3×13=78,2×5×7=70。所以,共计10个数有8个约数,即24,40,56,88,54,30,42,66,78,70。

(待续)

练一练

1、360、8400各有多少个约数?

2、1680有多少个偶数的约数?

3、7500的约数中,奇数的个数与偶数的个数相差多少个?

4、100以内的自然数中,约数个数最多的数有哪些?

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