浅析初中数学函数教学中思维能力的培养

董爱国

数学思维是人脑和数学对象相互作用并按一定的思维规律认识数学规律的过程。数学思维实质上就是数学活动中的思维,初中阶段的函数概念是学生第一次接触的内容,而且贯穿于初中及高中数学的始终,所以教师应该抓住这部分知识的特点,使学生认识到函数在探索具体问题的数量关系和变化规律中起着很重要的作用。

一、函数数学中抽象概括能力的培养

培养学生数学概括能力首先要明确概括的主导思路,引导学生以现有的知识为基础,去猜测、去发现,要在关键问题上放手,让学生开动脑筋,体现一个概括的过程。

学生数学概括能力水平,可按四项指标来确定:一是对直观的依赖程度;二是对函数的实际意义的认识;三是对各类函数的理解;四是对函数的归类能力;老师要注重在关键问题上进行设问,引导学生发现解决难点的方法,点拨、指导他们调整认知结构从而使其向高层次发展。如17.3《一次函数》这节课,首先向学生介绍正比例函数y=kx的概念、特征及性质等,然后推广到一次函数y=kx+b的概念、特征及性质。始终贯穿着一条主线是:从特殊到一般,注重正比例函数与一次函数的区别与联系。因此,概括过程的主导思路应遵循着从特殊到一般的程序,围绕前后两种方法的本质联系和区别来展开。

其次,培养学生的概括能力要大力培养形式抽象和根据假定进行概括的能力。培养学生形式抽象应帮助学生揭示数学问题同实际问题的联系,在发展思维抽象成分的同时,使具体形象思维不断得到充实、改善。揭示数学问题同实际问题的联系主要通过三个方面进行:

一是从现实情景和实际问题出发,引入数学概念、定理和方法。

二是注意阐释数学概念的几何和物理意义。

三是运用数学的概念、定理方法解决有关的实际问题。

现在许多商业行为与数学计算有关,如果把这些实际问题让同学们与数学知识联系起来,不但可以提高学生的学习兴趣,还可以培养他们的抽象、概括能力。

例如:某超市打出优惠牌子上面说:购买茶壶、茶杯可以有两种优惠方法:⑴是买一送一(即买一只茶壶送一只茶杯)。⑵是打九折(即按购买总价的90%付款),前提条件是购买3只茶壶以上,这两种方法有区别吗?到底那一种便宜呢?这仿佛是一道二选一的选择题,由此,我让同学们与函数关系联系起来进行联想。

假定每只茶壶20元,每只茶杯5元。经过讨论同学们对这个问题进行分析:假定某顾客要买4只茶壶,那么买几只杯子最合算呢?

解:当然杯子不少于4只。设买茶杯x只付款y元,x＞3,且x为自然数。

用第一种方法付款:

y₁=4×20+(x-4)×5=5x+60;

用第二种方法付款:

y₂=(20×4+5x)×90%=-4.5x+72,接着要比较y₁、y₂的相对大小。

设d=y₁-y₂=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12

然后进行讨论:

(1)当d＞0时,0.5x-12＞0,即x＞24;

(2)当d=0时,x=24;

(3)当d＜0时,x＜24。

综上所述,当所需买的杯子多于24只时,方法2省钱;正好买24只茶杯时,两种方法优惠后价格相同;购买茶杯的只数在4至23只之间时,方法1便宜。

本题就是利用一次函数解决的实际问题。学生根据题设数量关系,通过概括总结出y与x之间的函数关系,使问题得以解决。解题过程体现了思维的探索性。

最后,培养学生根据假定进行概括的能力,有三个培养措施:(1)分阶段培养。(2)在例题教学中,重视课题分类和预想解题方案,以便让学生熟练掌握基本题型、思路和方法,并帮助他们揭示解题思维的过程。(3)为学生进行概括提供丰富恰当的材料。材料丰富是数量的要求,如果数量太少,学生感知不充分,难以鉴别各对象的要素也不足以通过分析、比较、区分一类对象的本质属性和非本质属性,从而使概括不准确。材料恰当是指材料是否有代表性,材料的本质属性是否突出,直接影响学生概括能否成功。

二、函数教学选择判断能力的培养

选择、判断能力是数学创造能力的重要组成部分。选择判断不仅表现为对数学推理的基础过程及结论正误的判定,还是表现为数学命题、事实、数学解题思路、方法合理性的估计以及在这个估计的基础上作出的选择,判断能力实际上是思维者对思维过程的自我反馈能力。

思维的批判性,它表现为善于独立思考,善于提出疑问,能够及时发现错误,纠正错误。能够在解剖数学问题的过程中不断总结经验教训,进行回顾和反思。自觉调控思维进程,自我评价解题思路和方法。辨别正误,排除障碍,寻求最佳答案。具有选择判断能力的学生,在判断选择中较少受表面非本质因素的干扰,判断的准确率较高,判断迅速,对作出的判断具有清晰的认识,能区分逻辑判断和直觉猜想,他们具有明显的追求最合理的解法,探究最清晰,最简单同时也是最“优美”的解法的心理倾向。

学生对函数知识的掌握离不开数学的选择判断能力。在这里,教师可以通过对函数正反两方面的变式题组与问答,让学生解答与判定,是有效培养选择判断能力的方法。

三、函数教学探索能力的培养

数学探索能力是在抽象概括能力、推理能力、选择判断能力基础上发展起来的创造性思维能力,探索的过程实质上是一个不断提出设想,验证设想,修正和发展设想的过程,在数学中,它表现在提出数学问题,探求数学结论,探索解题途径,寻找解题规律等一系列有意义的发现活动之中,而数学探索能力就集中地表现为提出设想和进行转换的本领。

在函数教学阶段,数学探索能力的培养主要是体现在课题学习中。学生在趣味的课题学习中将讨论一些具有挑战性的研究课题,发展应用函数知识解决实际问题的意识和能力,同时,也会进一步加深对函数知识的理解,认识变量之间的关系和变化规律。例如:

要用总长为20米的铁栏杆,一面靠墙,围成一个矩形花圃。怎样围法,才能使围成的花圃面积最大?

A同学取一些特殊值进行尝试,她设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x米,先取x的一些值,算出矩形的另一边BC的长,进而得出矩形的面积y平方米。得到下表:

她又取了小数;当AB=4.5米时,BC=11米,面积为49.5平方米<50平方米;当AB=5.5时,BC=9米,面积仍为49.5平方米<50平方米。结合上表,她猜测出当AB=5米,BC=10米时,花圃的最大面积是50平方米。

B同学的设法与A的相同,他发现当x的取值发生变化时,y值也随之变化。所以他列出了一元二次函数y=x(20-2x),然后求其最大值是50平方米。那么B对这个主题的探索,进一步丰富了自己的函数思想,用函数知识解决实际问题,增强了数学探索能力。

从他的解题过程可以看出:一是经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程;二是体验数学知识(本课题主要是函数知识)之间的内在联系,逐渐形成对整体的认识;三是获得一些研究问题的方法的经验,发展了思维能力,加深理解函数知识;四是通过获得成功的体验和克服困难的经历,增进应用数学的自信心。

四、结束语

数学的知识体系实质上就是用逻辑推理的方法构成的命题系统,是寻找变量之间的变化规律的过程,是运用逻辑思维抽象概括的过程。因此,通过以上这些能力的培养,学生进一步丰富自己的空间观念,体会函数思想以及符号表示在实际问题中的应用,进而体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的过程。

作者单位:江苏省姜堰市叶甸中学