《空间解析几何》与空间思维能力的培养

高德宝,李春雷

(黑龙江八一农垦大学 文理学院,黑龙江 大庆 163319)

空间思维也称“立体思维”、“全方位思维”、“整体思维”、“多元思维”或“多维型思维”.狭义的空间思维是指跳出点、线、面的限制，能从上下左右，四面八方去思考问题的方式，也就是要“立起来思考”.广义的空间思维是指人利用空间概念、呈现工具及推理过程对思维对象作判断、推理、想象、分析、比较、综合，以获得深一层次认识的大脑活动.空间思维由三大要素组成：空间概念、呈现工具以及推理过程.全美研究委员会的科学家认为，空间思维能力是一种普遍的思维能力，是所有人在任何背景下都或多或少具备的一种能力.空间思维作为一种渗透力极强的思维形式，在很多伟大的科学发现中扮演着重要的作用，比如DNA双螺旋结构的发现.特别地，空间思维能力在当今的信息经济中发挥着越来越重要的作用.空间思维能够通过学习得到提高.特别是在计算机软硬件的辅助下，开展空间思维能力的培训有了更加便利的条件.如何培养大学生的空间思维能力？这个问题在现代教学中首当其冲.

数学系的所有学科中，《空间解析几何》与空间思维能力的培养关系紧密.它是一门非常重要的专业基础课.该课程的任务是介绍解析几何的方法和基本知识，培养学生运用解析方法解决几何问题的能力以及在实际问题中运用解析几何的方法和知识的能力.更重要的是它有助于帮助学生认识现实的几何空间,培养学生的直觉能力;使学生学会几何思维方法,培养其更高层次的空间思维能力.

如何在《空间解析几何》教学中有效地培养学生的空间思维能力，笔者提出几点建议.

1 牢固的空间概念、丰富的空间想象能力是空间思维能力的基础

学生主要是通过对物体的立体状态在现实空间中的位置关系，来形成物体在空间中的形式(形状、大小、远近、深度等)上的表象，进而形成空间知觉，发展相应的空间概念，实现对客观事物在空间形式上的认知.空间的基本概念有点、线、面、角、视觉、多边形、圆形、转换图形、对称相似等.基本的立体图形有长方体、正方体、三棱柱、四棱柱、n棱柱等.为了帮助学生掌握基本的空间概念，在《空间解析几何》教学中尽量用动画演示点、线、面相交所成几何图形；点、线、面运动所成几何图形；三维形体展开成二维物体及相反的情形；三维立体的不同截面等.

在《空间解析几何》教学中要尽可能地用动画演示三维空间立体，并尽量让学生从各种角度进行观察、比较，研究点、线、面的位置关系，鉴别几何体的特征，从而形成丰富的表象，还可以充分利用多媒体积累学生的空间感觉，通过计算机辅助教学，模拟并展示立体图到平面图、再从平面图到立体图的转化过程,使学生能通过线条的变化区别不同的面并了解是何种性质的面, 对各种基本几何体的轮廓有所了解, 初步树立起空间概念.

能够熟练地运用空间概念进行绘图与读图是空间想象能力的训练途径.

在向量与坐标的内容中，强调尽管图形简单，但必须能够精确作图.例如向量的加减法、数乘向量、标架与坐标、向量的投影、两向量的向量积.进而掌握三点画平面，异面直线、规则空间立体、复杂一点的二次曲面、直纹面的简便画法.这些作图能力是空间想象能力的基础.

二次曲线与二次曲面的化简是识图能力训练的过程.空间二次曲线无论表达式多么复杂，概括起来就有九种类型.同理，二次曲面共有十七种类型.在教学过程中要注重二次曲线、面化简的方法与过程.使学生极为熟练二次曲线与二次曲面的作图.

空间想象能力是建立在空间概念的基础之上的.空间想象是人们头脑中原有的空间表象经过加工改造和重新组合而产生新的形象的心理过程,是一种高级复杂的认知活动.培养学生的空间想象能力是《空间解析几何》教学的主要任务之一，同时也是难点之一.

空间想象能力是可以在读图与绘图的训练过程中得以形成的.由二维平面视图想象空间立体形状的过程就是读图过程.将三维空间物体投影到二维平面的过程就是绘图过程.

首先，要用软件从不同角度演示大量不同的立体实物.正所谓“ 见多识广、触类旁通”的道理，学生观察的实物越多，获得的感性知识就越丰富，掌握新知识、接受新事物就越快.

其次，要能够准确地进行绘图与读图.在进行平面、曲面以及柱面的教学中, 引导学生认真仔细地观察空间实物上的关键元素(如交线、交点、倾斜度等)在三个坐标面上的投影位置, 三维元素与二维投影图之间的对应关系.再观察当这些关键元素的空间位置改变时，投影图上的对应投影又是如何变化的，从而掌握点、线、面的投影规律.可以在讲授空间曲面的投影时，让学生多观察各种不同的物体模型，同时向他们指出一些身边常见的物体，如输水管、书桌等等，引导学生对其进行仔细地观察，找到相交线的位置，观察相交线的形状，弄清形体之间只要相交就产生交线，而由于形体的形状、大小及相对位置不同，其相交线的形状就不同.在学习中，经过对多种形体进行反复观察、分析、比较之后，脑海中储存了大量的形体形象，再对照投影图，就能准确地想象出二维投影图所表达的三维空间形体的形状.

在绘图时，要对所绘物体进行形体分析，该物体是由哪几个基本几何立体构成，各基本几何立体的形状及其投影面的相对位置、其投影特点如何，各基本几何立体之间的相对位置及组合方式、表面连接等，再利用头脑中物图对应表象, 画出二维图形及各几何体之间交线的投影，并进行综合想象、比较所画投影图与所要表达的空间物体是否完全相符，即检查修正，使所画图形准确无误而有利于读图.

最后，熟悉平面到空间和从空间到平面的正逆转换.为完成这种转换过程，就要利用头脑中物图对应、物图转换的表象根据已知的投影规律，进行形体分析与线面分析，再进行综合、比较、修正，完成想象过程.所以，同想象借助于思维一样，想象也离不开分析、思维、想象共存，互相结合，互相依赖，互相促进学生要解决绘图和读图的问题，就必须利用头脑中已建立起来的空间几何元素和形体及它们之间相互关系的物图对应表象，再根据有关的投影理论、专业知识，进行有效的空间分析、思考和想象.教师要有意识地引导学生去想象.例如在进行马鞍面教学时，可利用软件将马鞍面投影到各坐标面，同时从各个角度观察实物.对照投影图可以分析、想象实物的表象.反过来，还可以观察与想象马鞍面在各个坐标面上的投影.

2 有效地选择空间事物的呈现工具是空间思维能力的关键

物体的空间特性(形状、大小、远近、深度、方向等)直接作用于视觉，触觉等器官，或者通过语言，文字描述和图形示意等形式间接作用于视觉、听觉等器官，经过表面现象和外部联系的综合反映而产生知觉，再通过想象这一心理过程，可以获得对直接客体的全面而深刻的认识.也可以获得语言描述或图形示意的间接客体在头脑中的再现形象，甚至创造出新的形象.这是以想象为核心的思维过程.这一过程的熟练与准确程度，决定着人们认识物体空间特性的快慢和深浅程度.

空间事物的呈现工具是实践活动与空间概念之间的样本或媒介物.呈现工具可以用来描述、解释并且理解物体的结构、运用、功能以及相互关系.如，视图关系(建筑计划书与立视图；平面图与全景透视).在四维时空中，例如给远在非洲的朋友打电话必须掌握时区和时差并计算出适当的通话时间；车箱空间：一次送儿子上大学的旅途要将车箱空间利用最大、最有效化更可保证行李完整易移，同时利用网络定位搜索引擎和地图查出正确的行车捷径到达学校；房屋空间、邻里空间、超市空间、机器空间、谜语空间、花园空间、鞋带空间以及服饰空间等.这许多事情都通过呈现工具表示，包括时区表、网络搜索引擎图表、购物清单、服饰图形等.同时，处理好这些空间事务要有复杂的操作技巧：例如如何找出两地区时算出适当的通话时间；如何挑出合适的有效的空间来放置行李等.

3 理论与实践结合是空间思维能力的核心

人虽然能想象出从未感知过的，甚至实际上不存在的事物的形象，但想象的基础总是来源于客观存在，实践知识越丰富，想象的素材就越多，想象的能力就越强.因此，人的空间想象能力和空间思维能力是在实践中发生和发展起来的.

在空间思维能力的培养过程中，应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、想象、合作等探索过程”，学生从生活中抽象出常见立体图形、由立体图形转化成平面图形的关键.具体地说就是从日常生活所见到的立体图形出发，结合学生日常生活的经验，逐渐建立起学生对平面图形的空间观念和推理能力.需要对客观事物和具体图形进行观察、分析并抽象出相应的本质属性.

一位心理学家曾经出过这样一道题：在一块土地上种植四棵树，使得每两棵树之间的距离都相等.用PPT或MATLAB等软件用一个点代表一棵树，线段代表两棵树之间的距离.引导学生不能仅在二维空间考虑问题.学生很容易就会找到正确答案：其中一棵树可以种在山顶上，这样，只要其余三棵树与之构成正四面体的话，就能符合题意要求了.此例没有拘泥于教材上单纯的点、线组合，源于教材，而没有脱离教材.课件具有直观、生动、鲜明、简洁的特点，在教学中易于建立空间环境.在讲到圆锥的概念时，可先用课件演示实物如谷堆、铅锤，然后覆盖上与实物相吻合的轮廓线，最后把实物去掉留下几何图形，这样使教学具体、明了、效果好.同时，引导学生的逆向思维，由圆锥可联想到铅锤、漏斗等实物.对空间两直线间的相关位置，利用动画课件可清楚地给学生以示范，达到事半功倍的效果.还可利用教室中的墙角线给学生以示范异面直线位置.

对抽象的曲面概念的教学，应正确地运用直观原则，采用具体实物、图示或所熟悉的实物等直观教具，逐步帮助学生形成清晰的感性认识.

《空间解析几何》的理论与实践有许多结合点.二次曲面的图形在现实生活中有很多实例，也是理论与实践的易结合点.火腿肠的外表、裤腿的设计与柱面分不开；康师傅大碗面、大桶面就是旋转抛物面、圆台面的一部分.橄榄球、篮球的表面分别是椭球面、球面.花瓶的设计就是单叶双曲面的一部分.女士挎包的款式很多源于马鞍面的形状.该部分在教学过程中很易激发、引导学生进行空间思维训练.在讲述单叶双曲面的形成时，可引导学生思考各种人工喷泉图形的形成及原理，同时激发学生想象与描述如何形成不同的喷泉图案.

能将理论与实践相结合是空间思维能力的核心部分.培养学生的空间思维能力，首要的是借助于学生头脑中关于空间事物的表象组合成新的空间事物，但是由相同事物的表象能够构建与组合成的事物表象会很多，有正确的，当然也有不是完全正确的.如何进行甄别与提取那些正确的表象才能在实践中发挥空间思维能力.亦可将此时的空间思维能力称之为批判的空间思维能力.

在实践中，若要运用空间思维能力，首先要了解的是世界的运行方式，然后从不同的方面、不同的角度探索问题的多种答案，最后运用分析、比较、推理、判断、检验、修正等方法得出最优的方案.在教学过程中可以设计一些一题多解的题目训练与培养学生的批判的空间思维能力.例如：若想做出一顿丰盛的晚餐，应该了解做每道菜及煮饭所需的时间，然后统筹它们在时间与顺序上的安排；在不堵着热风孔、电源及电话插座、窗户、衣柜和门的通道的情况下如何很好地将组合床铺、书桌、书架摆进房间，这需要房间的长、宽、高以及平面图等数据，找出多种组合方案，比较得出最优的方案.

以我个人的教学经验可知：空间思维能力与《空间解析几何》的成绩之间是相互影响、相互促进的，要提高学生的几何成绩就要发展学生的空间思维能力；而空间思维能力的发展就会反过来促进学生的几何成绩.

最后，笔者认为空间思维并不是一门独立学科，它是一种渗透于大多数学科的思维方式.为培养学生的空间思维能力，建议学校采取类似于在各门学科中加强写作教育的做法，即将空间思维的培养整合到各学科相关内容的教学中.

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