分层粗糙面下方介质目标散射的快速算法

姬伟杰 童创明,2

(1.空军工程大学导弹学院,陕西 三原 713800;2.毫米波国家重点实验室,江苏 南京 210096)

1.引 言

目标与地、海背景的复合电磁散射研究在现代雷达探测、海洋遥感和目标隐身技术中有着重要的意义,该研究一直是电磁散射领域较为复杂的课题,引起了诸多学者的兴趣[1-13]。例如：文献[1]中计算了无限大介质平板上介质目标的电磁散射,文献[2]中运用FBM/SAA研究了低掠角入射时一维分形粗糙面和二维舰船目标的双站散射,而WANG X等用传统矩量法研究了一维粗糙面目标的复合散射[3],YE等研究了一维粗糙面与上方金属目标的差场散射截面[4],同时研究了计算三维目标和粗糙面的数值-解析混合算法[5]。王运华等基于互易定理和矩量法研究了平面上方二维介质目标对高斯波束的电磁散射[6],王蕊等也研究了一维海洋粗糙面上方金属目标的混合算法[7]。然而,大多数学者都只研究单层粗糙面和目标的复合散射,只有少数学者研究了分层粗糙面和目标的复合散射。文献[8]中,KUO等应用周期扩展法(EBCM)计算了一维分层粗糙面与下方目标的复合电磁散射。文献[10]中,CHEW W C等研究了分界面是平面的分层媒质上方目标的散射。然而,上述算法受粗糙面与目标参数的限制,只适用于计算粗糙度较小的粗糙面和电小尺寸目标的复合散射。同时,上述研究都将目标和分层目标一起看成一个组合散射体,电磁表面积分方程离散后产生了巨大的未知量,对计算机硬件和编程提出了很高的要求,很大程度上限制了数值算法的应用。

在分层粗糙面与目标的复合散射计算中,粗糙面的未知量占绝大部分,因此,如何快速计算分层粗糙面的电磁散射显得尤为重要。近年来发展的前后向迭代法(FBM)[14]非常适合于计算粗糙面这类散射问题,在文献[15]中,MOSS C D等进一步将其应用于计算分层粗糙面的电磁散射特性,该方法对不同参数的分层粗糙面都具有良好的收敛性和准确性。

基于分层粗糙面与目标复合散射的物理机理,结合FBM和双共轭梯度算法(Bi-CG),提出一种计算一维分层介质粗糙面及下方介质目标的复合电磁散射的快速互耦迭代数值算法(CCIA)。推导了目标与分层粗糙面的耦合边界积分方程,分层粗糙面部分的边界方程用FBM求解,目标的边界方程用Bi-CG求解,粗糙面与目标的相互作用通过不断更新矩阵方程的激励项来实现。该算法的计算量为O(N2),较之传统矩量法计算效率大为提高。其计算结果与传统矩量法得到的结果相一致,验证了该方法的准确性。最后,计算了粗糙度较大的分层粗糙面和电中尺寸介质目标的复合散射系数,讨论了目标尺寸和位置变化对双站散射系数的影响。

2.基本理论

2.1 一维分层粗糙面与下方介质目标的耦合边界积分方程

考虑无限长介质圆柱位于一维双层介质粗糙面下方,如图1所示。为区域i中的介电常数和磁导率(i=0,1,2,3),其中,i=0表示分层粗糙面上方自由空间,i=1,2表示分层粗糙面下方介质空间,i=3表示目标所占区域。目标表面用fc表示,粗糙面用(x)表示(i=1,2分别表示上层和下层粗糙面)。ψinc表示入射波,为区域i中的总场(i=0,1,2)。

图1 双层粗糙面下方介质目标的示意图

根据文献[15]-[16],没有目标时,分层粗糙面的边界积分方程为

当分层粗糙面下方存在介质目标时,方程(2)应该为

上式左边第三项表示目标的散射场,且在目标内部有边界积分方程

这样,方程(1)、(3)、(4)和(5)共同构成分层粗糙面与下方介质目标的耦合积分方程组。其中,r表示场点表示源点,gi(r,表示各区域的二维格林函数。表示第i个粗糙面的单位法向向量,方向朝上,表示目标表面法向向量,方向由目标内向外。TE波粗糙面边界条件为：介质目标的边界条件为波的边界条件可由二元性原理获得。

用MoM求解分层粗糙面与介质目标复合电磁散射时,得到的阻抗矩阵大小完全取决于分层粗糙面的长度和目标尺寸大小以及采样点的多少。因此,对大尺寸分层粗糙面和目标,直接用传统MoM求解,需要求解维数为4×N+2×M的线性方程组,当粗糙面长度较大时,未知量往往成千上万,要直接求解是比较困难的。鉴于此,本文提出一种互耦迭代算法求解分层粗糙面与目标的复合电磁散射,该算法在考虑了分层粗糙面与目标相互作用的基础上,对分层粗糙面表面积分方程用FBM求解,对目标表面积分方程用Bi-CG求解,通过迭代求解方程组。计算量和内存减少为O(N2),很大程度上提高了计算效率,克服了传统MoM的局限性。

2.2 互耦迭代算法(CCIA)

对方程(6)进行整理,可以得到如下矩阵方程组

式中：(7a)表示的是求解分层粗糙面表面电流分布的矩阵方程,(7b)表示的是求解目标面流分布的矩阵方程。其中,表示目标对上层粗糙面的入射场贡献,ψ0为目标对下层粗糙面入射场贡献,ψSur=-F(1)◦U1-H(1)◦ ψ1-I(2)◦U2-J(2)◦ ψ2,前两项表示上层粗糙面对目标的散射贡献,后两项表示下层粗糙面对目标的散射贡献。可见,对分层粗糙面不仅有上方入射波的照射,还有下方目标对它的影响,对下方目标的照射波为粗糙面的透射波,分层粗糙面与目标的相互作用正是通过不断更新右边的激励项来实现的。

对方程组(7)采用用迭代算法求解,第i步的迭代方程如下

采用FBM求解方程(8a),将各子矩阵分解为上、下和对角矩阵,分别用U、D和L表示。将未知向量分解为前后向分量,方程(8a)中前向电流迭代公式可写为

用双共轭梯度法(Bi-CG)解方程(8b),FBM和Bi-CG求解分别是循环迭代过程,称为内循环,设其各自的收敛条件为误差γ=10-4。而方程(8a)和(8b)的互耦迭代过程称为外循环,定义第i步外循环迭代误差

3.数值结果的验证和讨论

为了尽量减少数值计算中粗糙面的人为截断所引起的边缘效应,一般选取具有一定宽度的锥形波代替平面波入射,本文采用Thorsos锥形波[17],即表达式为

图2给出了外循环迭代误差τ(i)随外循环迭代步数的变化关系。由图2可知,不论是 TE波还是TM波入射,在经过15步迭代之后,误差都达到10-7,远远满足精度要求,同时可以看出,TM 波收敛速度更快,但精度有所降低,从图2还可以看出,在经过4步迭代之后,迭代误差已经达到10-3,因此,该算法的收敛速度是非常快的。

图3给出了内循环FBM的迭代步数随外循环迭代步数的变化关系,由图可知,经过6步外循环迭代之后,FBM只需一次迭代即可,这与文献[4]中计算单层粗糙面和上方金属目标的情况相似。由于FBM在整个计算过程中耗时最多,因此FBM迭代步数的减少大大提高了计算效率。

图4是实现一次的双站散射系数,并与传统矩量法结果进行了比较,图4(a)是TE波入射结果,图4(b)是TM波入射结果。由图可见,两种方法的结果是相当吻合的,从而验证了该方法的正确性。本文计算结果是在主频为1.65 GHz,内存为1 GB的单机上实现的。TE波入射时,用互耦迭代算法实现一次需要145秒,而用传统矩量法需要298秒,节省了约一半时间,当粗糙面较长时这种优势更为明显,体现了该算法在计算速度上的优越性。

图4 本文算法与传统矩量法结果对比

其他参数不变,圆柱半径取 2.5λ,与半径为2.0λ的结果进行比较。图5是实现50次得到的双站散射系数,图中还给出了只有分层粗糙面时的散射系数。由图可知,随着圆柱目标半径增大,目标与上下层粗糙面的相互作用增强,其对分层粗糙面的散射特性影响越明显,双站散射系数越大,垂直极化波入射时散射系数对目标尺寸的变化更敏感。

取介质目标深度分别为2.5λ和3.5λ,其他参数固定,相应的双站散射系数见图6。由图可见,随着目标深度的增加,散射系数有所变化但不是很明显,这与文献[8]中的结论是一致的。这是因为目标位于两层分界面中间,随着目标深度的增加,目标与上层粗糙面距离增大,而与下层粗糙面距离减小,因此目标与上层粗糙面的相互耦合作用减弱,同时又与下层粗糙面的相互耦合作用增强,因此总体上讲,散射系数不会因为目标深度的变化明显增大或减小。同时可以发现,与图5类似,垂直极化波入射时双站散射系数变化更为明显。

4.结 论

提出了一种基于FBM和Bi-CG的互耦迭代算法(CCIA),并将该方法用于快速计算一维分层粗糙面与下方介质目标的复合电磁散射特性。计算了无限长介质圆柱目标位于双层粗糙面之间时的双站散射系数,与用传统矩量法所得的结果相吻合,验证了该方法的正确性。对不同极化入射波该算法都具有良好的收敛性,最后讨论了目标尺寸和深度变化对散射系数的影响,结果表明,随着尺寸增大,目标与分层粗糙面的相互作用越强,双站散射系数变化越明显,而目标深度的变化对散射系数的影响不明显。介质目标的存在明显改变了分层粗糙面的散射特性,当计算分层粗糙面与目标的复合散射场时必需考虑两者的相互作用。

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