壁面展向周期振动减阻机理及其二维波谱分析

黄乐萍，范宝春，董 刚

（南京理工大学瞬态物理实验室，南京 210094）

1 引 言

壁湍流减阻因其广阔的应用前景而成为湍流研究的热点问题。近半个世纪以来，为达到减少流动壁面阻力的目的，相继产生了各种各样的减阻方法和技术[1]。在湍流状态下，光滑平板的展向周期振动（span-wall oscillation）可以有效地减少近壁湍流形成的摩擦阻力。Jung等人[2]1992年首先采用槽道流的直接数值模拟（DNS）的手段证实了这种减阻方法的有效性。随后，Laadhari等人[3]、Trujillo等人[4]以及Choi和Graham[5]采用实验手段进一步证实了该方法的有效性，并得到了基本相似的减阻参数。

近年来，国内外学者采用DNS计算并通过对DNS数据的分析，进一步解释了展向壁面振动的减阻机理。目前提出的机理主要包括“流向涡”机理和“条带”机理。Choi等人[5]的研究表明：壁面作展向运动时，可以产生负展向涡，使得流向速度减少，变小的流向速度阻碍了近壁区域流向涡的拉伸，因而减少了下扫事件的发生，从而使壁面阻力减小。而“条带机理”则强调了展向壁面振动对近壁条带结构的影响。Trujillo等人[4]和 Bogard等人[6]通过实验研究表明：展向壁面振动可以消除近壁条带结构，从而抑制了上掠和下扫事件的频率，达到减小壁面阻力的效果。除了上述两类减阻机理外，还有学者从DNS结果的统计平均角度入手，指出Reynolds应力输运方程中压力变形项的变化在展向壁面振动减阻过程中起到了关键作用[7]。上述观点从不同角度揭示了展向壁面振动引起的减阻机制，但是，对于什么情况下哪种机理起主导作用，还有待于进一步的研究。此外，鉴于物理量的谱对于分析物理现象所具有的重要意义，国内外一些学者[8-10]对壁面减阻前后湍流脉动能的谱进行了分析。结果表明，减阻后湍流脉动能普遍下降，壁湍流得到抑制。但是，这些研究基本上都是在一维谱空间展开的。实际上，由于研究对象“湍流槽道流”这一物理模型在流向和展向的周期性边界条件，波谱空间应该是二维的，即能谱随二维波矢变化。波矢既有大小又有方向，而一维波谱只能研究湍流脉动能在流向或展向一个分量上大小的分布，不能反映能量在方向上的分布。

本文基于Fourier-Chebyshev谱方法，对壁面作展向周期振动的槽道湍流进行了数值模拟。以壁面振动参数A=1.0，T=16.0为算例，研究了壁面阻力在展向周期振动调制下的变化规律和减阻机理，对减阻前后湍流脉动能的二维波谱进行了分析。结果表明，减小后的阻力呈周期性变化，其变化周期远大于壁面周期运动的周期，并可将其分成三个特征时段。Ⅰ时段主要表现为条带和涡结构的倾斜，这种倾斜将产生有利于减阻的负展向涡。Ⅱ区为过渡阶段，条带和流向涡都相应减少，此时，减阻的主要机理是条带与涡之间的相对滑移，该区的减阻效果好于Ⅰ区。Ⅲ区的条带和涡几近消失，减阻效果最好。不同时段相应的波谱也呈现出不同的规律，从能量的分布上看，谱能在整体下降的同时，在波数相对较低的区域，能量有向某一波矢集中的趋势。此外，越靠近壁面，湍流脉动能降低的幅度越大，离壁面愈远，壁面振动的影响愈小。

2 物理问题及数值方法

以槽道中充分发展的壁湍流为研究对象，其控制方程

边界条件为

式中，u为速度矢量，p为压强，ν为运动粘性系数。上标‘T’表示转置，下标‘w±’表示上下壁面。上壁面保持静止，下壁面作展向振动，其运动速度为

式中，A为振幅，T为振动周期，t为时间。

数值计算时，采用配置点方法划分网格[12]。流向和展向采用Fourier变换，格点按（5）式给出，得到均匀网格，网格尺度分别为：Δx+=Δz+=11（～3.25 η）；法向网格点按Chebyshev-Guass-Lobatto离散点公式 （6）给出，在近壁处最小 Δy+=0.2（～6 ×10-2η），在槽道中心处最大 Δy+=8.6（～2.45 η），其中，η 为Kolmogorov耗散尺度，即最小空间分辨率。

计算过程中，流向流量保持不变，截面平均速度Um=2/3，Rem=2666。 计算过程中，t=300时，下壁面开始振动，当t=500时，开始对湍流量进行统计。计算的终了时间为t=1000。

3 结果分析和讨论

程序的正确性验证参见文献[13]。

3.1 近壁湍流结构

研究证明，近壁区域的流体运动是小尺度涡的湍流拟序运动，其基本要素是条带（streak）和涡结构（vortex structures）。图1是根据本文计算结果绘制的静止壁面附近，壁湍流的涡与条带结构图。图1（a）为y+=9的截面上的条带结构，其中，黑色代表 u′＜0，为低速条带,白色代表u′＞0，为高速条带。该图表明，湍流近壁区域存在展向交替分布的高速与低速条带。图1（b），为0＜y+＜100区域内的涡结构。图中，涡是用速度梯度张量的共轭复数特征根的虚部的等值面[14]表示的。由图可见，涡结构主要由准流向涡和沿流向排列的以流向涡量为主马蹄涡列所构成。流向涡将流体上抛或下扫，从而在近壁区域，沿展向形成交替变化的条带。图1（c）显示了条带和涡的空间关系，马蹄涡的两涡腿外侧为高速条带，内侧为低速条带，也可形象地认为，马蹄涡是“骑”在低速条带上的。图1（d）为x+=18的截面上，条带与涡的空间关系。其中，实线为涡量的等值线，黑色为低速条带,白色为高速条带。显然，方向相反的一对流向涡代表马蹄涡的两条涡腿，涡腿之间为低速条带，或称为慢斑，涡腿之外为高速条带，或称为快斑。

3.2 平均壁面减阻率

当壁面作宏观展向简谐振动时，流场的湍流结构将发生变化，从而直接改变壁面的阻力。定义平均壁面减阻率

式中，<τw>表示振动壁面的摩擦应力平均值，<τwn>表示静止壁面的摩擦应力平均值。

本文计算了六种不同的振动参数，结果如表1所示。

表1 计算参数及平均减阻率Tab.1 Computational cases and drag reduction ratios

图2给出了几种情况下壁面平均阻力随时间的变化曲线。可以发现，t=300以后，即壁面开始振动后，阻力将显著下降。随着减阻效果，即平均减阻率的增加，壁面阻力随时间呈现周期的变化。

3.3 减阻机理

壁面作宏观的展向简谐振动后，壁面阻力将下降。随着平均减阻率的增加，减阻率随时间的变化也更加稳定并呈现出周期的变化，如图2所示。本文以A=1.0，T=16.0为例，讨论阻力下降的动力学机理。一个阻力变化周期可分为三个时段，如图3所示。在展向振动壁面的调制下，不同的时段内，近壁区的条带分布和涡结构将具有不同的变化特征。在第Ⅰ时段内，近壁区的条带和涡明显地发生了倾斜，倾斜角随壁面的振动而周期变化，如图4（a）所示。这种倾斜将产生负的展向涡，这有利于减阻[5,8-9]。但相较之下，这种因条带倾斜所导致的减阻，效果有限。第Ⅱ时段为过渡阶段，条带数量随着振动逐渐减少，条带结构也逐渐模糊、间距变宽，涡结构明显减少，如图4（b）所示。此时的减阻效率反而有所提高（参见图3），这说明，由涡和条带倾斜产生的负展向涡所导致的减阻，已不是减阻主要因素。研究表明，振动壁面的作用下，涡和条带的结构会发生相应的变化，条带与涡之间会发生相对滑移。而无论壁面向何方运动，马蹄涡的涡腿总是向高速条带偏移，这使得高速流体下扫和低速流体上抛皆被减弱，条带模糊和变宽，从而导致壁面摩擦阻力的减小和湍流的衰减[7]。第Ⅲ时段减阻效果最好，该时段的涡结构大量减少，流场中以条带和涡为基本特征的壁湍流的拟序结构近乎消失，如图4（c）所示。由于流场的不稳定性，此状态不能长久维持，故一段时间后，会向Ⅱ区宽条带的情形发展，进而成为I区倾斜条带的情形，阻力也在此变化过程中增加。这样，壁湍流的结构和减阻效果皆随时间呈周期性变化。

3.4 二维波谱

湍流脉动的谱可以表示湍流脉动强度在各种尺度上的分布。时间相关函数的傅里叶变换称为对应相关变量的频谱。空间相关函数的傅里叶变换称为对应相关变量的波谱。在湍流的二维波谱分析中，波谱表示湍流脉动能在空间尺度上的分布，波矢的方向为波的传播方向，波矢的绝对值的倒数是长度，波谱中的高波数成分表示长度尺度小的湍流脉动[11]。

图5为壁面展向振动调制下，y+=5.36处，湍流脉动能E的二维波谱在低波数区的分布。其中，（a）为静止壁面，（b）、（c）和（d）分别表示第Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ时段。

由图可见，第Ⅰ时段内，E的平均下降幅度较小，甚至对某些波数，E在其中分布还略有增加；在第Ⅱ时段，E的下降幅度明显增大，而第Ⅲ时段，降幅最为显著，最大处近四个数量级，这说明，此时的湍流脉动已受到了极大的抑制。此外，因展向振动对湍流的抑制，在湍流脉动动能减少的同时，脉动动能在波数上的分布规律也发生显著变化，在波数较低的区域，能量明显向着某一特定方向集中，即因振动板的调制，脉动动能向着特定的波矢方向集中。在从第Ⅰ时段向第Ⅲ时段演变的过程中，二维能谱的分布也渐趋光滑。

图5－7为不同y+值，湍流脉动能E的二维波谱分布，分别对应于y+=5.36，10.46，25.47。由图可见，实施振动板控制后，槽道近壁区的湍流脉动强度振皆有不同程度的降低，即湍流速度脉动都受到了不同程度的抑制。但越靠近壁面，E降低的幅度越大，离壁面愈远，壁面振动的影响愈小。

4 结 语

利用Fourier-Chebyshev谱方法，本文对壁面在展向作周期运动的槽道湍流进行了直接数值模拟，分析了振动参数对壁面阻力的影响。结果表明，振动壁面的减阻主要有两个机理，一是振动引起的涡与条带的倾斜，这导致负展向涡的产生；二是振动引起的涡与条带间的滑移，这导致条带的加宽以及流向涡的减弱。以壁面振动参数A=1.0，T=16.0为算例，结果表明，在振动壁面的调制下，减小后的阻力呈周期性变化。典型的周期可分成三个区域，Ⅰ区主要表现为条带和涡结构的倾斜，此时，第一种减阻机理起主导作用。Ⅱ区为过渡阶段，条带和流向涡都相应减少，第二种减阻机理起主导作用，该区的减阻效果好于Ⅰ区。Ⅲ区的条带和涡几近消失，减阻效果最好。此外，本文对湍流脉动能的二维波谱在低波数区的分布进行了分析。结果表明，在壁面展向振动调制下，湍流脉动得到抑制；在波数较低的区域，脉动动能向着特定的波矢方向集中；槽道近壁区的湍流脉动强度振皆有不同程度的降低，越靠近壁面，湍流脉动能降低的幅度越大，离壁面愈远，壁面振动的影响愈小。

[1]Xu Jin,Dong Suchuan,Maxey M R,Karniadakis G E.Turbulent drag reduction by constant near-wall forcing[J].J Fluid Mech,2007,582:79-101.

[2]Jung W J,Mangiavacchi N,Akhavan R.Suppression of turbulence in wall-bounded flows by high-frequency spanwise oscillations[J].Phys Fluids,1992,4(8):1605-1607.

[3]Laadhari F,Skandaji L,Morel R.Turbulence reduction in a boundary layer by a local spanwise oscillating surface[J].Phys Fluids,1994,6(10):3218-3220.

[4]Trujillo S,Bogard D,Ball K.Turbulent boundary layer drag reduction using an oscillating wall[J].AIAA Paper,AIAA97-1870,1997.

[5]Choi K S,Graham M.Drag reduction of turbulent pipe flows by circular-wall oscillation[J].Phys Fluids,1998,10:7-9.

[6]Bogard D C,Ball K S,Wassen E.Drag reduction for turbulent layer flows using an oscillating wall[R].AFOSR Report,2000.No.TTCRL 00-2,2000.

[7]黄伟希,许春晓,崔桂香,张兆顺.壁面展向周期振动的槽道湍流减阻机理的研究[J].力学学报,2004,36(1):24-30.

[8]Choi K S.Near-wall structure of turbulent boundary layer with spanwise-wall oscillation[J].Phys Fluids,2002,14:2530-2542.

[9]Choi K S,Clayton B R.The mechanism of turbulent drag reduction with wall oscillation[J].Heat Fluid Flow,2001,22:1-9.[10]Zhao H,Wu J Z,Luo J S.Turbulent drag reduction by traveling wave of flexible wall[J].Fluid Dynamics Research,2004,34(3):175-198.

[11]张兆顺.湍流[M].北京:国防工业出版社,2002.

[12]Canto C,Hassaini M Y,Quarteroni A,Zang T A.Spectral methods in fluid dynamics[M].New York:Springer-Verlag,1988.

[13]黄乐萍,董 刚,范宝春,朱 兰.展向周期振动的平板近壁湍流结构研究[J].水动力学研究与进展,A辑,2008,23(3):294-300.

[14]Zhou J,Adrian R J,Balachandar S,Kendall T M.Mechanisms for generating coherent packets of hairpin vortices in channel flow[J].J Fluid Mech,1999,1:353-396.