涉及到四个自映象的一个新的公共不动点定理

张军贺，陆 竞，谷 峰

(杭州师范大学 理学院，浙江 杭州 310036)

1 预备知识

张石生[1]教授和谷峰[2-3]教授在度量空间中自映象对可交换和相容的条件下，分别研究了涉及到3个自映象和4个自映象的φ-扩张型映象的公共不动点问题，之后，文献[3-6]研究了涉及到4个自映象的一些压缩型映象的公共不动点问题.该文利用映象对相容[7]和次相容[8]的条件，讨论了完备度量空间中涉及到4个自映象的一类新的φ-压缩型映象的公共不动点问题，获得了一个新的公共不动点定理.

定义1集合X上的自映象对(f,g)称为是可交换的，如果∀x∈X,有fgx=gfx.

定义2[7]度量空间(X,d)上的自映象对(f,g)称为是相容的，如果∀{xn}⊂X，当fxn→x,gxn→x,x∈X时，有d(fgxn,gfxn)→0(n→∞).

定义3[8]集合X上的自映象对(f,g)称为是次相容的，如果

{t∈X:f(t)=g(t)}⊂{t∈X:fg(t)=gf(t)}.

注1由定义易知，可交换映象对必是相容映象对，而相容映象对也必是次相容映象对，但反之不真.

定义4称函数φ满足条件(φ)，如果函数φ满足条件(φ)：φ：[0,∞)→[0,∞)是对t不减的和右连续的，且φ(t)0.

引理1设函数φ满足条件(φ)，则有

(i)对任一实数t∈[0,∞)，如果t≤φ(t)，则t=0；

i)mi>ni+1,ni→∞(i→∞);

ii)d(ymi,yni)≥ε0;d(ymi-1,yni)<ε0,i=1,2,3,….

2 主要结果

定理1设S,T,A,B是完备度量空间X上的4个自映象，且满足以下条件：

i)SX⊂BX,TX⊂AX；

ii) 对于一切使得M(x,y)>0的x,y∈X,有下面的不等式成立：

d(Sx,Ty)≤φ(M(x,y)).

如果以下条件之一被满足，则S,T,A,B在X中有唯一公共不动点.

1)S,A之一连续，且(S,A)相容，(T,B)次相容；

2)T,B之一连续，且(S,A)次相容，(T,B)相容；

3)A,B之一为满射，且(S,A)和(T,B)都次相容.

证明任取x0∈X,因SX⊂BX,TX⊂AX，故存在X中的序列{xn},{yn}使得

y2n=Sx2n=Bx2n+1，y2n+1=Tx2n+1=Ax2n+2,n=0,1,2,….

令dn=d(yn,yn+1)，证

(1)

由条件ii)得

d(y2n,y2n+1)=d(Sx2n,Tx2n+1)≤

φ(0)≤φ(d(y2n-1,y2n))(因φ(t)对t不减).

(2)

下证{yn}是X中的Cauchy列.否则,由引理2知，必存在某一ε0>0和正整数列{mi},{ni}，使得

a)mi>ni+1,ni→∞(i→∞)；

b)d(ymi,yni)≥ε0;d(ymi-1,yni)<ε0,i=1,2,3,….

令ei=d(ymi,yni)，则有

ε0≤ei=d(ymi,yni)≤d(ymi,ymi-1)+d(ymi-1,yni)<ε0+d(ymi-1,ymi)，

注意到式(1)，于上式令i→∞得

(3)

另一方面，因为

ei=d(ymi,yni)≤d(ymi,ymi+1)+d(ymi+1,yni+1)+d(yni+1,yni)，

(4)

对上式右端第二项分4种情况讨论如下：

Ⅰ) 当mi为偶，ni为奇时，由条件ii)得

d(ymi+1,yni+1)=d(Txmi+1,Sxni+1)=d(Sxni+1,Txmi+1)≤

注意到式(3)和φ(t)的右连续性，令i→∞对上式取极限得

(5)

利用式(1)和(5)，在式(4)中令i→∞得ε0≤ei≤0+φ(ε0)+0，即ε0≤φ(ε0)，由引理1(i)知ε0=0，此与ε0>0矛盾.

Ⅱ) 当mi，ni均为偶数时，首先有

d(ymi+1,yni+1)=d(Txmi+1,Txni+1)≤d(Sxni,Txmi+1)+d(Sxni,Txni+1)，

(6)

再由条件ii)得

于上式中令i→∞取极限得

(7)

同理可证当mi，ni同为奇数；mi为奇数，ni为偶数时也可引出同样的矛盾.这些矛盾说明{yn}是X中的Cauchy列，由X完备.设yn→y*∈X,则{y2n-1}和{y2n}也都收敛于y*，即

Ax2n=y2n-1→y*,Sx2n=y2n→y*(n→∞).

(8)

1) 设S，A之一连续，且(S,A)相容，(T,B)次相容.

如果A连续，则{A2x2n}与{ASx2n}都收敛于Ay*，由式(8)和(S,A)相容得d(SAx2n,ASx2n)→0，因此SAx2n→Ay*(n→∞).由条件ii)得

于上式中令n→∞得

由引理1(i)知d(Ay*,y*)=0，进而可得

Ay*=y*.

(9)

由条件ii)得

于上式中令n→∞并利用式(9)得

由引理1(i)知d(Sy*,y*)=0，进而可得

Sy*=y*.

(10)

由SX⊂BX知，存在u∈X使得

y*=Ay*=Sy*=Bu.

(11)

由条件ii)及式(11)得

d(Bu,Tu)=d(Sy*,Tu)≤

由引理1(i)知d(Bu,Tu)=0，进而可得

Bu=Tu，

(12)

由式(12)及(T,B)的次相容性可得

Ty*=TBu=BTu=By*.

(13)

下证Ty*=y*.事实上，由条件ii)及式(13)可得

d(y*,Ty*)=d(Sy*,Ty*)≤

由引理1(i)知d(y*,Ty*)=0，进而可得Ty*=y*，因此可得y*=Ay*=Sy*=By*=Ty*,即y*是S,T,A,B的公共不动点.

如果S连续，类似上述证明可得y*=Ay*=Sy*=By*=Ty*，即y*是S,T,A,B的公共不动点.

下证公共不动点的唯一性.设z也是S,T,A,B的一个公共不动点，由条件ii)得

由引理1(i)知d(y*,z)=0，进而可得y*=z.所以y*是S,T,A,B的唯一公共不动点.

2) 当T,B之一连续，且(S,A)次相容，(T,B)相容，类似1)可证.

3) 设A,B之一为满射，且(S,A)和(T,B)都是次相容.

如果A是满射，则对y*∈X，存在u∈X使得Au=y*.利用条件ii)得

(14)

在式(14)中令n→∞得

由引理1(i)知d(Su,y*)=0，进而可得Su=y*，所以Au=Su=y*.于是，由(S,A)的次相容性可知，有Ay*=ASu=SAu=Sy*.在式(14)中由y*代替u同理可得Sy*=y*，于是Ay*=Sy*=y*.之后与1)的证明类似，可证y*是S,T,A,B的唯一公共不动点.

当是满射时同理可证y*是S,T,A,B的唯一公共不动点.

注2本定理的压缩条件ii)是新的；

注3即使定理1中分别取1)S=T;2)A=B;3)S=T且A=B;4)S=T且A=B=I(I是表示恒等映象)，这几种特殊情况所对应的结果也是新的.

定理2设(X,d)是完备度量空间，A,B,{Ti}i∈I(I是指标集，I的势不小于2)分别是X上的自映象和自映象族，若A,B,{Ti}i∈I满足以下条件：

i)TiX⊂BX,TiX⊂AX,∀i∈I；

ii) 对于∀i,j∈I(i≠j)和一切使得Mij(x,y)>0的x,y∈X,有下面的不等式成立：

d(Tix,Tjy)≤φ(Mij(x,y))，

如果以下条件之一被满足，则A,B,{Ti}i∈I在X有唯一的公共不动点.

1)Ti(∀i∈I),A之一连续，且(Ti,A)相容，(Ti,B)次相容；

2)Ti(∀i∈I),B之一连续，且(Ti,A)次相容，(Ti,B)相容；

3)A,B之一为满射，且(Ti,A)和(Ti,B)都是次相容.

证明对∀i,j,m∈I,i≠j,i≠m，由定理1知A,B,Ti,Tj和A,B,Ti,Tm分别存在唯一的公共不动点xij和xim.下面证明xij=xim.利用条件ii)有

d(xij,xim)=d(Tixij,Tmxim)≤

由引理1(i)知d(xij,xim)=0，即xij=xim，由i,j,m的任意性可知，A,B,{Ti}i∈I在X有唯一的公共不动点.

[1] 张石生.不动点理论及其应用[M].重庆：重庆出版社，1984:1-99.

[2] 谷峰.关于φ扩张相容映像的公共不动点定理[J].宝鸡文理学院学报：自然科学版,2001,21(3):171-179.

[3] 谷峰,高伟,田巍.不动点定理及非线性算子的迭代收敛性[M].哈尔滨:哈尔滨科学技术出版社,2002:17-119.

[4] 何振华,谷峰.两对非相容映象的一个新的公共不动点定理[J].宝鸡文理学院学报:自然科学版,2006,26(1):7-9.

[5] 陈军民,谷峰.一类新的φ-压缩映象的公共不动点定理[J].杭州师范学院学报:自然科学版,2007,6(6):414-418.

[6] 傅秋平.一类新的φ-压缩映像的公共不动点定理[J].高师理科学刊,2006,26(4):1-5.

[7] Jungck G. Compatible mappings and common fixed points[J]. Internat J Math & Math Sci,1986,9(4):771-779.

[8] 刘立山.(次)相容映象的公共不动点定理与广义Ishikawa迭代逼近定理[J].曲阜师范大学学报：自然科学版,1990,16(2):40-44.