基于双因子抗差卡尔曼滤波在动态导航中的应用

龙仁波,高井祥,王 坚

(1.中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘局重点实验室,江苏徐州221116 2.中国矿业大学江苏省资源环境信息工程重点实验室,江苏徐州221116)

0 引 言

卡尔曼滤波理论是一种对动态系统进行数据处理的有效方法,它利用观测向量来估计随时间不断变化的状态向量。由于其在对状态向量进行估计时,不需要存储大量的历史观测数据,利用新的观测值,通过不断的预测和修正,即可估计出系统新的状态。因此,卡尔曼滤波被广泛地应用于各种动态测量系统中,如GPS实时动态定位等。但是,标准卡尔曼滤波理论对动态系统提出了严格的要求,要求系统噪声和观测噪声为零均值白噪声。这一条件在实践中难以满足,致使滤波结果失真。因此,人们提出了克服这一缺陷的许多方法,如抗差滤波方法[1]、粗差探测方法[2]等。由非随机误差引起的模型误差,也可采用文献[3]中的方法加以解决,即首先识别模型误差的类型,然后进行相应的补偿。近来有学者提出利用自适应因子控制Kalman滤波中扰动异常对状态估值的影响[4-5],并已在GPS导航、GIS道路修测、航空导航及低轨卫星定轨中得到成功应用[6]。自适应滤波根据自适应因子作用范围不同又分为单因子自适应滤波和多因子自适应滤波[7-8]。在此,将双因子抗差卡尔曼滤波引入到动态导航中,通过实测数据模拟粗差进行处理,取得了良好的结果。

1 标准卡尔曼滤波模型

动力学系统可以由状态方程和观测方程表示,分别为

其中xk为k(k=1,2,3,……)历元时刻的nk×1状态参数向量,Φk/k-1为状态转移矩阵,ωk为高斯白噪声过程控制误差向量;而zk为观测向量,Hk为观测矩阵,Vk为观测噪声向量,其服从高斯分布,且满足:

其中矩阵Q0,Qk,Rk已知,Q0>0,Rk>0;i,j,k=1,2,…,and i≠j.为了估计状态参数xk,不仅需要观测值,还需要的预测值,这里可以有状态模型(1),通过下式可得xk;

通过综合观测值zk和状态参数的预测值,即可得状态参数的最优估值。鉴于卡尔曼滤波流程很多文章都已经提到,这里就不一一列出。

2 抗差卡尔曼滤波模型

标准滤波与抗差滤波的状态参数向量估值表达形式一致,不同之处使用的权阵不同[9],标准卡尔曼滤波解使用原始的观测信息和预报信息的权矩阵;双因子抗差滤波解使用观测信息和预报信息的等价权矩阵。

在抗差滤波中,观测权阵元素的确定是整个算法的关键问题,观测等价权元素直接反应了抗差滤波算法对观测异常值的控制能力。

双因子抗差滤波等价元素的计算方法,先有观测信息获得位置参数的抗差估计值

为保持权矩阵的对称性和相关性不变,我们将使用相关抗差估计理论[10-11]来获取观测向量的等价权元素,即

rii和rjj为降权因子,其计算过程可见文献[10],可定义为

通常k0=1.0～1.5,k1=2.5～8.0,该模型与IGG3模型的三段法类似,但是该模型的优点是保证了相关观测值的对称性,简化了参数抗差解的求取,使得验后协方差矩阵的表示相对简单。

在卡尔曼滤波中,当观测值中含有粗差时,可以根据上面确定的等价权原理,通过分析增益矩阵,选取适当的权函数代替观测噪声协方差阵,以减小或消除粗差对估计结果的影响。当等价权确定之后,重新利用最小二乘原理,解算参数估值。

3 实例分析

本文采用的数据采集于2005年某大学的校园,使用Leica 500 GPS接收机,1秒采样GPS伪距单点定位序列进行算法测试,取其中500个历元的运动轨迹作为测试数据(图1),建立的动力学模型为

观测方程:

为了检验抗差估计的效果,在100,200,400历元处卫星的粗捕获码(C/A)观测值加入20 m的粗差,其位置、速度、C/A和P2的初始方差分别为0.2 m2,9×10-6m2s-2、1 m2和1m2,然后分别采用标准卡尔曼滤波及抗差卡尔曼滤波进行解算,表1列出了两种方案的不同指标量。

图1 运动轨迹图

表1 两种方案的不同指标比较/m

图2与图3分别给出X方向标准Kalman滤波与抗差Kanman滤波模型的滤波前后X方向轨迹及残差序列。图2可以看出粗差对滤波序列与残差序列都存在明显的影响。而图3中,抗差模型已经消除了粗差对滤波结果的影响,残差序列表明粗差对参数估计的影响已经被消除,充分说明抗差模型的有效性,Y与Z方向结果类似,这里就不一一列出。

从表1可以看出,采用抗差卡尔曼滤波导航精度得到了提高,这说明抗差卡尔曼滤波不仅消除了粗差对导航的影响,而且可以降低系统的偶然误差对参数估值的影响。

4 结 论

构造了基于双因子抗差权的Kalman滤波模型,此模型在考虑相关观测值的情况下,可有效消除粗差对导航结果的影响,并且可以降低系统偶然对参数估值的影响;实验数据研究表明该方法可行;在研究中发现,初始参数的确定对于模型的应用效果影响较大。

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