小学数学难点研究

田宏

《新课程高效率教学》指出：教师要钻研教材首先要“懂”，自己要弄清知识的来龙去脉，追根究理。其次要“透”，即透彻地理解教材，一知半解只能照本宣科。再次要“化”，教学的功夫在一定程度上讲究“化”的功夫，化抽象为具体、化静态为动态、化被动为主动。最后是“活”，即不但要活学，更要活用。教学最重要的不但是传授知识，更是激活知识。通过这四步达到一个举重若轻的境界，也就是解读教材——驾御教材——创造性使用教材。

根据上述要求，各级教育部门都非常重视教学研究工作，每年新学期开学之前都要进行教师培训工作，组织全体代课教师学习新课标，让有经验的骨干教师谈教学体会，对教材进行研究讨论，从而有效提高教师的课堂教学效率。下面就我在各级教学研讨会上发现需要继续研究讨论的几个问题，谈谈我的点滴看法。

１关于0是偶数的问题

随着课程改革的实施，新教材越发显示出它的优越性。在关注学科知识的同时，也关注学生的情感体验，关注不同学生的学习需要。然而教材必定带有普遍性，它不可能兼顾到所有的学校和学生。因此，在尊重教材的基础上，教师完全可以根据实际情况对教材进行增添、删减、调整、置换，使教材发挥最大效用。

关于0是偶数是不是应该给学生讲，教师们的两种意见是：一种认为应该告诉学生，因为在后续的学习当中不在专门讲解此问题，应该给学生一个完整的知识体系；另一种则认为，因为我们讲倍数、因数时，只限于非零自然数（即正整数）范围，不包括数零，而且0能被2整除，同时也能被3、4、5……等自然数整除，所以不应该告诉学生。

对于“奇数偶数”这一知识点，北师版教材①呈现为：是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。而且教学参考书上指出：需要强调的是，本教材所指的“奇数、偶数”只限于非零自然数（即正整数）范围，不包括数零，当然，这是一种规定。所以，教学时教师不宜给学生补充“0也是偶数”的内容。这样做既没有必要，又容易引起概念混乱。

人教版教材②呈现为：能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数。2、4、6、8、10……是偶数；1、3、5、7、9……是奇数。注意：因为0也能被2整除，所以0也是偶数。

通过实际教学我认为用人教版教材处理的方式更好一些，增加：注意：0也是偶数。对于大家提出的“0能被2整除，同时也能被3、4、5等自然数整除的问题”，我认为大家对数学基本感念理解的不够透，偶数的概念“是2的倍数的数叫偶数”并不是“‘只是2的倍数的数叫偶数”。另外，我在执教“奇数偶数”时出现了这样一个场面：当我让学生自学并初步理解智慧老人所说的“是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数”一句话的意思时，甲生就提出一个问题“老师，0是奇数还是偶数？”没等我张口，乙生回答“0是偶数”。紧接着丙生反驳“0不是偶数，因为我们研究倍数、因数时不考虑0，0不是2的倍数”。乙生不服气，马上拿出《小学教材全解》对着大家说，“0是偶数是书上说的”。这时大家都哑口无言。随即我逐一表扬了发言的同学，甲生善于动脑，勤于思考，我们应向他学习，因为在我们的学习过程中，能提出一个问题比解决一个问题更重要。乙生养成良好的预习习惯，能充分利用一切学习资源，解决课本上解决不了的问题。丙生更值得大家学习，他能认真听课，能把前后所学的新旧知识紧密联系在一起。这时，又有学生等不及了问：“老师，他们谁说的对呢？”师：大家想一想“0有那些特殊的本领？”生回答：“0有占位的特殊本领”；师：“在学习正、负数时，0是什么数？”生答：“0既不是正数，也不是负数”师：“0比较特殊，它是偶数 。”生鼓起热烈的掌声。

随着课程改革的深入，教学内容的弹性化，在课堂教学过程中，能促进教学或经过处理促进教学的随机事件会经常发生，教师要善于及时捕捉，慧眼识别，巧妙转化，有效利用，才能起成到可遇而不可求的教学资源。所以在我的课堂上我不能按教学参考书上的要求去处理。

２关于倍数、因数的问题

北师版教材五年级上册第9页第5题：把48个球装在盒子里，每个盒子里装的同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？如果有37个球呢？

2006年教学参考书上以及《小学教材全解》中答案是10种。2007年教学参考书上以及《英才教程》中的答案是9种。其中教学参考书是这样要求的：本题的设计意图是为后面学习质数和合数作一些铺垫。可以引导学生用找因数的方法进行思考，48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，48有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48这10个因数，最多有10种装法，但由条件可知至少用两个盒子，所以共有9种装法，见下表。

鉴于出现此种情况，我们进行了充分的讨论。参加讨论的人员有区教研室的教研员、省市区各级的教学能手、有教龄三十多年经验丰富的老教师、也有大学刚毕业从事教学工作的新教师，讨论的结果没有达成一致意见。

大家争论的焦点是“每个盒子里装的同样多”，意思就是“平均分”，平均分就不能是一个盒子，如果是一个盒子的话与谁进行比较呢？我有不同的看法，认为10种更为合理。第一，“每个盒子里装的同样多”这一条件是限制用两个以上（含两个）盒子，如果没有这个条件的限制，就两个盒子而言就有多种装法，如：1，47；2，46；3，45；4，44；5，43……这样就不能用找因数的方法去思考。第二，既然次题的目的是为学习质数和合数作一些铺垫，质数的概念是：一个数只有1和它本身“两个”因数，这个数叫作质数。如果采用“37只有2个因数，只有1种装法”作为铺垫，对一些学生的学习将会起障碍作用，让学生错误认为质数有一个因数，忽略“1”这个特殊的因数。而且，在以往的教学过程中，经常会有学生错误地认为：“互质的两个数没有公因数”。第三，同一道题目，今年与去年的答案不一致，不同的书上有着不同的答案，这不但起不到帮助理解新知识的作用，反而回干扰学生对新知识的理解，会给学生的认识造成障碍。下面是我的课堂实况：师生共同读题后，生尝试独立完成，师在巡视的过程中，让三个学生将自己的答案写在黑板上：

A．48÷1=48；48÷2=24；48÷3=16；48÷4=12……有10种。

B．1×48=48；2×24=48；3×16=48；4×12=48……有10种。

C．48的全部因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48共10个，所以有10种。

这时，下面有学生D开始提问：“每个盒子里装的同样多，意思最少要用两个盒子，所以应该是9种”。上面的两位学生同时与下面的同学争论，学生A说“把48个球装在盒子里”并没说一定要“分装”。学生C说“问题是有几种装法？装一个盒子也是一种装法”。学生D继续反问：“如果是一个盒子的话与谁进行比较呢？怎么能谈的上同样多呢？”学生A、B、C都答不上来了，但仍然坚持自己的观点。师开始征求大家的意见，其结果是：有将近1/4的学生同意D的意见，仍有1/2的同学同意A、B、C的意见，还有1/4的同学没有发表意见。此时，学生B征求老师的意见。我先读了教学参考书上提示，表扬了学生D。随后谈了自己的看法，“每个盒子里装的同样多应该是限制多个盒子的，并不是限制用一个盒子，并以两个盒子为例说明理由。”我们共同商讨的结果：大家都认为10种更合理一些。

３关于扩大、缩小的问题

2006年教师继续教育考试中有这样一道题：有一位学生总结商的变化规律“在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变”让老师给予评价。有一部分老师就认为是错误的，理由是没有附加“零除外”。这一问题反映出对“因数、倍数”研究的数的范围没搞清楚。教材是这样描述的：我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。所以，当我们提到因数、倍数问题时，就已经把零除外了，不需要再强调“零除外”。关于类似基本感念我从不同时间，不同版本的教科书上摘录出以下几条：1、积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。2、商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。3、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。4、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。5、把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过程叫作约分。

４关于记数单位的问题

在一次区级教学研究会上，有一位教师在辅导北师版四年级数学上册一、三单元“改写与求近似值的区别与联系”时，将个位的计数单位说成“个”，当时我身边的几位老师就发生争议。究竟个位的计数单位是“一”还是“个”，我把这一问题带回我们学校，在教学研究活动中提出，结果也发生争议，有说是“一”的，也有说是“个”的，还有的认为“一”或“个”都可以。

北师版教材③呈现为：

我认为大家没有正确理解表格中“个（一）”的含义。

人教版教材④呈现为

一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿都叫做记数单位，每相邻的两个记数单位的进率都是十。

这里，大家只注意了表格里的内容，但没注意到表格外对计数单位的描述“一（个）”的含义。

以上第三、四两个问题的出现，说明我们在钻研新教材方面还有待加强，因为教材是教学资源之本、我们必须立足于教材，仔细钻研教材，吃透教材，这是用好教材的重要前提。

随着课程改革的不断深入推进，不仅要关注高效率的课堂教学，更要关注教师的专业成长与发展。要达到这一目的，教学研究的重心一定要回归到教学第一线。教学研究是教师工作的重要组成部分，教师必须做到及时总结经验，及时反思和不断学习，同时在与同伴互助——与同行对话——交流互助中得到提升。

参考文献

１北师版五年级数学上册（第2版），2006年3月

２人教版数学第八册（第2版），2001年4月

３北师版四年级数学上册（第3版），2006年5月

４人教版数学第六册（第1版），2002年12月