利用弦振动方程研究驻波特性

王 荣，牛英煜

（大连交通大学理学院，辽宁大连116028）

1 引 言

2列等振幅的相干波相向传播，叠加后即可形成驻波.弦振动形成的驻波是大学物理实验中[1－6]研究驻波最典型的例子.在大学物理教材中，通常利用2列分别沿x轴正、负方向传播的振动方向相同、振幅相同、频率相同的平面余弦波的叠加来研究弦振动形成的驻波.如用A表示振幅，ν为频率，则波函数u与时间t及坐标x的关系可写为

式（1）无法描述驻波的形成过程以及空气阻力等因素对驻波的影响.对于弦振动的驻波实验，由于弦振动较快，直接清晰地观测驻波的形成过程以及任意时刻弦振动的情况比较困难.

为了能够较为准确地研究驻波的振动过程，通过数值求解弦振动微分方程，得到不同时刻的振动波形，可以研究弦振动形成的驻波及其相关特性.

2 弦振动微分方程

设弦上每一点与x轴垂直振动，而且在振动的每一时刻弦位于x轴的一个平面.u表示弦离开平衡位置的位移，则u为弦上点的横坐标x和时间t的函数.如弦的张力为T，密度为ρ，则弦的振动方程可写为[7]

式（2）中忽略了弦的重力.当物体的运动速度远小于炮弹速度时，空气阻力与速度与正比[8]，单位长度的弦受到的阻力为F＝－ρkv（v为弦运动速度，k为阻力系数）.如考虑空气阻力，则式（2）应写为

弦振动实验一端为振源，另一端固定不动，属于有界弦的强迫振动.初始时刻（t＝0），振动端不振动，弦上各点位移与速度都为0，则式（3）满足初始条件：

如果振源以正弦函数方式振动，则式（3）满足边界条件：

式中：l为弦长，ν为振源的振动频率.

由产生驻波的条件可知，弦长应为半波长的整数倍，即：

由于弦线中横波的传播速度为

弦长l可写为

式（3）可通过数值方法进行求解，来获得不同时刻弦上各点的位移，进而得到各时刻弦振动形成的波形.

3 计算结果

式（4）中的k为空气阻力系数，为确定其数值，我们模拟计算了文献[9]的实验结果，计算结果如图1所示.计算中振源的频率ν＝100Hz，振源振幅为0.12cm，a＝88m／s.当弦长l＝127.5 cm时，空气阻力系数取k＝50时，波腹的最大振幅为0.25cm，与实验结果相同.因此，在计算中，空气阻力系数取为50.当k＝50时，计算了l＝121.0cm与l＝92.5cm时的波腹振幅，其值分别为0.16cm与0.27cm（实验结果为0.175cm与0.245cm）.计算结果表明：随着弦长的减小，波腹振幅先减小后增大，与实验结果基本一致.

图1 弦长与波腹振幅的变化关系

图2 不同时刻弦振动波形

图2为不同时刻弦振动形成的波形，计算的参量与图1相同，驻波数n为5.从图中可以看出，当t＝0.01s时，振源振动形成的机械波从右向左运动；当t＝0.02s时，机械波传播到左侧的固定端；当t＝0.04s时，从固定端反弹回的机械波与振源生成的机械波发生相干，使左侧的振幅大于右侧，同时在位置44，88，132，176，220cm附近形成波节.t＝0.12s时的波形与t＝0.25s时的波形基本相同，表明当t＞0.12s时，稳定的驻波已经形成.图2描述了驻波的形成过程.从图2可以看出，即使形成稳定的驻波，驻波中的各波腹的振幅并不完全相等.这主要是因为机械波在传播过程中，由于空气阻力的影响，能量逐渐减弱，入射波与反射波的振幅不相等，导致叠加后的波腹振幅有微小的差别.

图3为空气阻力系数k取不同值时弦振动形成的驻波.图3中的实线、虚线与点划线分别表示时间为1.010，1.011，1.014s时弦的振动状态.在通常的大学物理教材中，利用式（1）得到的驻波波形图，其任意时刻形成的波形的波节位置都是不变的.利用弦振动方程得到的图3表明，靠近固定端的波节在不同时刻位置都是相同的，而靠近振源处的波节，在不同时刻波节位置有较小的变化，此结果与利用频闪灯观察到的现像相同[1].从图3还可以看出随着阻力系数的增加，振源附近的波节在不同时刻位置变化的幅度增大，波腹的振幅减小.对于不同时刻，弦的振动速度不同，空气对弦振动的阻力也不同.图3中，当k从5增加到50时，t＝1.014s时驻波波腹的振幅由1.9cm减小到0.19cm，t＝1.010s时驻波波腹的振幅由1.4cm减小到0.24cm.t＝1.014s时驻波波腹的振幅的变化大于t＝1.010s时驻波波腹振幅的变化.说明空气阻力系数对t＝1.014s时刻驻波振幅的影响更大.

图3 k取不同值时弦振动波形

从式（7）可以看出，当弦长l取不同值时，其形成的驻波波节数n也不同.图4为n取不同值时，驻波波腹处于最大值时的振动波形.弦长l由式（7）得出，其他参量与图1相同.当n＝3时，驻波波腹最大振幅约为0.3cm.当n＝5时，驻波波腹最大振幅约为0.2cm.这主要是因为振源单位时间内产生的能量是固定的，随着弦长的增加，生成的波腹数增加，每个波腹分配到的能量减小，因而振幅也随之减小.

图4 n取不同值时弦振动波形

4 结束语

本文利用弦振动方程研究了弦上驻波的特性.通过数值求解有界弦的强迫振动方程计算了驻波的形成过程，空气阻力以及弦长对驻波的影响.结果表明，靠近振源处的波节在不同时刻其位置有所不同，并随空气阻力的增大波节位置变化幅度增大；弦长越长，形成驻波波腹的最大振幅越小.由于弦振动方程能够较为准确的描述出弦振动形成驻波的过程以及驻波的特性，因此它对于教师的教学和学生的学习都是很有帮助的.

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