Duffing型隔振的力传递率及跳跃现象的理论分析

张小龙，东亚斌

(西安建筑科技大学 机电工程学院，西安 710055)

Duffing型隔振的力传递率及跳跃现象的理论分析

张小龙，东亚斌

(西安建筑科技大学 机电工程学院，西安 710055)

针对隔振器中普遍存在的非线性特性，以立方非线性恢复力作用的单自由度隔振系统为例，用谐波平衡法求解非线性隔振系统固有频率附近的主共振响应，根据Routh－Hurwitz稳定性判定定理，从理论上说明主共振响应的幅频特性曲线族上垂直切线点的轨迹曲线所包围的区域为不稳定区域。推导出了隔振系统跳跃频率和力传递率的计算公式。计算表明隔振系统力传递率出现跳跃、滞后、以及稳定和不稳定现象，且隔振传递力中的高频谐波分量的影响很小。隔振系统的阻尼、非线性恢复力系数和激励幅值对共振区域的力传递率有影响，对频率低于共振频率区域的力传递率没有影响，其中仅阻尼对频率高于共振频率区域的力传递率有影响。还给出了力传递率小于1的起始频率计算公式。

非线性隔振;力传递率;稳定性;跳跃现象

为了尽可能减小机械或结构的振动传递到基础，隔振技术在工程中已经得到了广泛应用。设计线性隔振器时，为了降低力传递率，希望隔振系统具有较低的固有频率，致使隔振系统刚度降低，特别是在垂直隔振的情况下，设备自重会引起难以接受的大变形［1］。为了克服此缺点，可以使用非线性隔振系统［1］，并设计开发出了多种形式的非线性隔振装置［1－8］。另外，常用的钢丝绳隔振器、空气弹簧隔振器等，也具有明显的非线性特性。

陈泳斌等［9］应用增量谐波平衡法研究了非线性隔振系统的运动响应及软弹性和硬弹性对隔振传递率的影响。陈安华等［10－11］通过理论分析和数值计算研究了非线性隔振系统的响应。周一峰等［12－13］用能量迭代法研究非线性隔振系统响应，并分析了隔振系统的传递率。Carrella［14］近似分析了高静刚度和低动刚度(High－Static－Low－Dynamic－Stiffness，HSLDS)非线性隔振系统的最大响应和跳跃频率。以上研究基本采用Duffing方程描述非线性隔振系统的运动，尚未见到关于非线性振动的跳跃现象和滞后现象对隔振传递率影响的研究。

当激励频率连续变化时，非线性隔振器在固有频率附近的主共振响应的幅值会出现不连续变化，发生跳跃和滞后现象，理论得出的响应还有稳定与不稳定之分。因此在非线性隔振器中根据响应理论计算力传递率时，必须考虑响应的这些特性。

本文以立方非线性恢复力(硬弹簧特性)作用的单自由度隔振系统为例，假设系统的振幅和相位角为时间的慢变函数导入谐波解，根据谐波平衡法将系统非自治的运动方程式转化为自治的方程式，并据此方程式求解主共振响应，以及由Routh－Hurwitz定理判定每个周期解的稳定性。分析了下跳跃点与最大振幅点的差异及系统阻尼对跳跃频率的影响。研究了两种力传递率的计算方法及力传递率小于1的起始频率计算方法，分析了隔振系统主要参数对力传递率和力传递率小于1的起始频率的影响规律等。

1 隔振系统运动分析

1.1 运动方程式及周期解

非线性隔振系统模型如图1所示，设在质量为m的设备上作用有激励力f(t)=P0cosωt，隔振器的黏性阻尼系数为c，线性与三次非线性恢复力的系数分别为 k和 β，设备m的运动方程式为：

图1 具有非线性恢复力的隔振系统Fig.1 Vibration isolation systemwith nonlinear restoring force

其中：n为衰减系数，p为无阻尼固有频率，且2n=c/m，p2=k/m，ε=β/m，P=P0/m。设 μ表示微小参数，用O(μ)表示与μ同阶大小的量。假设方程(2)在ω≈p附近的主共振响应为：

另外假设相对于外力的变化cosωt，式(3)中振幅A(t)和相位角δ(t)是随时间缓慢变化的周期量，即相当于假设A(t)，δ(t)是具有O(μ0)大小的量)是具有O(μ)大小的量，而是具有O(μ2)大小的量［15］。φ(t)表示大小为 μ 程度的高频响应项。考虑现实中阻尼比较小，所以2n为具有O(μ)大小的量。按O(μ)精度计算求解，将假设解(3)代入式(2)，得：

式(4)中的省略号…代表角频率为ω、大小为O(μ2)以上的小量和大小为O(μ)以上的高频振动项。比较式(4)两边 cos(ωt－δ)，sin(ωt－δ)的系数得：

方程(5)在线性固有频率p附近可以近似代替原方程(2)。为了求出周期解，令 A，δ为常数 A0，δ0，由式(5)得：

1.2 周期解的稳定性分析

为了分析由式(6)所确定的周期解x=A0cos(ωtδ0)的稳定性，引入扰动变量 ξ=A －A0，η =δ－ δ0，其中ξ，η为具有O(μ)大小的小量。代入方程式(5)，得到下式：

对式(7)进行微分，令求出的dω/dA0=0就得到(17)式左边项等于零的方程式，该方程式是幅频特性曲线族上具有垂直切线的点的轨迹方程。所以在幅频特性曲线族上，由具有垂直切线的点的轨迹所包围的区域内的响应全部不稳定。根据关系式(8)，式(17)变为：4ζ2λ2+(1 － λ2+ β0X20)(1 － λ2+3β0＞ 0 (18)非线性项系数β0大小变化时的幅频特性曲线如图2所示，激励力幅值Q大小变化时的幅频特性曲线及其稳定与不稳定区域如图3所示。

1.3 跳跃频率计算

跳跃频率(设上跳频率为λu、下跳频率为λd)及其振幅完全取决于幅频特性曲线方程(9)中的Q，ζ，β0值。关于跳跃点，Carrella［14］和 Brennan［16］将式(11)、式(12)确定的最大振幅点作为下跳点，同时认为阻尼比ζ对上跳频率影响不大，所以在式(10)中取ζ=0，通过解方程dλ/dX0=0得出上跳点的振幅，再将该振幅代入式(10)求出上跳频率。事实上，下跳点并不是振幅最大点，根据式(9)计算的两者差异如图4所示。阻尼比不同时上跳频率也不同，根据式(9)计算的ζ的影响如图5所示。

为了计算跳跃点的频率和振幅，令式(18)左边等于零后，与式(9)联立求解，得出计算跳跃频率的方程为：

代入Q，ζ，β0值，求出的实数解就是跳跃频率λu和λd，具体例子如图2至图5所示。再将λu和λd代入式(9)就可以得到跳跃点的振幅值。

2 隔振效果分析

2.1 力传递率

隔振器取得的隔振效果，即隔振系统对动态力的消减程度，常用无量纲的力传递率来表示。对图1所示的隔振器，力传递率是指传递到基础上的力的幅值与设备上激励力的幅值之比。图1中设备m的响应为x=A0cos(ωt－δ0)，其中 A0，δ0满足式(6)，通过非线性弹簧和阻尼器传递到基础的力为：

上式中令β0=0可得线性隔振系统的力传递率计算式。把式(9)确定的幅频特性曲线数据，即图2和图3的数据代入式(23)得出的力传递率如图6及图7所示。

为了考虑式(20)中的高频部分对力传递率的影响，根据周期量均方根(Root Mean Square)的意义，定义以平均功率之比的形式表示的力传递率为［2，9，17］

根据式(25)计算得出的力传递率Trp随激励频率变化的曲线如图8、图9所示。

比较图6与图8、图7与图9，可以看出传递力中的高次谐波分量对力传递率的影响，无论在数值上还是在变化规律上均很小，所以实际计算力传递率时可以不考虑传递力中的高次谐波成分，按照公式(23)计算即可。而且当激励频率连续变化时，由于幅频特性曲线发生跳跃和滞后现象，所以力传递率也相应发生类似的跳跃和滞后现象，并存在不稳定的情况，跳跃点的频率与幅频特性曲线的跳跃点频率相同。与线性隔振系统相似，在低频区域(频率小于共振频率的区域)隔振系统不起隔振作用，在共振区域隔振系统放大了激励。只有在高频区域(频率大于共振频率的区域)，隔振系统才能够发挥隔振作用。非线性系数β0和激励幅值Q几乎对低频区域和高频区域的力传递率没有影响，但对共振区域的力传递率有影响。

阻尼比ζ对力传递率的影响如图10所示，可以看出阻尼比ζ对低频区域的力传递率没有影响，但对共振区域和高频区域的力传递率有影响。阻尼比越小，高频区域的力传递率越低。

图8 非线性项系数对力传递率的影响(考虑高次谐波)Fig.8 The effect of the nonlinear term coefficient on the force transmissibility(considering the high frequency harmonic)

图9 激励力幅值对力传递率的影响(考虑高次谐波)Fig.9 The effect of the excitation force amplitude on the force transmissibility(considering the high frequency harmonic)

图10 阻尼比对力传递率的影响Fig.10 The effect of the damping ratio on the force transmissibility

2.2 力传递率Tr＜1的起始频率

为使隔振系统起到隔振作用，联立(9)、(23)式，求解得到计算力传递率Tr＜1的起始频率值的方程为：

式(26)中令β0=0即可得出线性隔振系统中力传递率Tr＜1的起始频率比为 λ =，该频率比值与 ζ，Q无关。而对于β0≠0的非线性隔振系统，该频率比值由ζ和β0Q2决定，其关系如图11、图12所示。

由图11、图12可以看出，传递率Tr＜1的起始频率值随阻尼的增大而减小，随β0Q2的增大而增大。

3 结论

本文在分析非线性隔振系统的主共振响应、稳定性及跳跃频率的基础上，研究了隔振系统力传递率的大小计算和高频响应对力传递率的影响，揭示出了力传递率的跳跃和滞后现象，主要结论如下：

(1)求出了跳跃频率的计算公式。

(2)在计算隔振系统的力传递率时，可以不考虑隔振系统中传递力的高频成分。

(3)非线性项系数、激励幅值仅对共振区域的力传递率有影响。

(4)阻尼仅在共振区域和高频区域对力传递率有影响。阻尼越小，高频区域的力传递率越小。

(5)推导出了力传递率Tr＜1的起始频率值的计算公式，该频率值随阻尼的增大而降低，随着非线性项系数和激励幅值的增大而增大。

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Theoretical analysis on force transmissibility and jump phenomena of Duffing spring type vibration isolator

ZHANG Xiao-long，DONG Ya-bin
(School of Mechanical＆ Electrical Engineering，Xian University of Architecture＆ Technology，Xi'an 710055，China)

In order to study the common nonlinear characteristics of the vibration isolator，a single degree of freedom system with cubic restoring force was introduced and the harmonic balance method was applied to investigate the primary resonance near the natural frequency of the system.Based on Routh－Hurwitz stability criterion，it was clarified theoretically that the region surrounded by the curve consisting of the vertical tangential points on the cluster of primary resonance amplitude frequency characteristics curves is instable.In addition，the equations for the jump frequency and force transmissibility were derived.The calculated results show that the jump，hysteresis，stable and instable phenomena would take place for the force transmissibility of the isolator system and the effect of high frequency components of the transmitted force is limited.The damping of the system，the coefficient of nonlinear restoring force and the excitation amplitude have influence on the force transmissibility only in the region of resonant frequencies，but no effect in the frequence range lower than the resonance frequencies.The damping would only affect the force transmissibility in the frequency range higher than the resonance frequencies.Finally，the equation of the start frequency，from which the force transmissibility becomes less than 1，was presented.

nonlinear vibration isolation;force transmissibility;stability;jump phenomena

教育部留学回国人员项目(外留司［2009］1590号)

2011－02－10 修改稿收到日期：2011－08－23

张小龙 男，博士，教授，博士生导师，1963年12月生

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