浅析赋值法在二项式定理中的应用

2012-04-29 19:38王选
考试周刊 2012年9期
关键词:因式展开式二项式

王选

二项式定理是历年高考的必考内容之一,而用赋值法求二项展开式的系数和又是其重点考查的方向.但不少学生采用死记硬背的方式记忆赋值法,认为不管是什么题只要对x赋值-1、0、1就可以解决所有问题,当题目稍作修改就感觉无从下手,不知如何赋值.究其原因,关键是对赋值法的目的性不明确,不知为何这样赋值.针对这一情况,我通过几道例题来探讨下如何在二项式定理中用好赋值法.

一、用赋值法解决二项式系数的有关问题

例1.已知(1-3x)=a+ax+ax+…+ax,求值:

(1)a+a+a+…+a;(2)|a|+|a|+|a|+…+|a|;(3)a+a+a+a+a.

分析:此题是利用二项展开式求有关系数的问题,可以用赋值法令x=1得所有系数之和,令x=-1可得奇数项的系数与偶数项的系数之间的关系,即f(-1)=(a+a+a+a+a)-(a+a+a+a+a).

解:(1)设f(x)=(1-3x)=a+ax+ax+…+ax

令x=1,得:a+a+a+…+a=-2.

(2)在(1-3x)=a+ax+ax+…+ax中,a,a,…,a为正数,a,a,…,a为负数,

则|a|+|a|+|a|+…+|a|=(a+a+a+a+a)-(a+a+a+a+a)=f(-1)=4.

(3)由(1)(2)可得a+a+a+a+a=[f(1)+f(-1)]=(4-2).

二、与构造法相结合的赋值

例2.若(x+1)(2x+1)=a+a(x+2)+a(x+2)+…+a(x+2),求a+a+a+…+a的值.

分析:上式右边是有关a,a,a,…,a的式子,只是多了x+2这一因式,若令x+2=1,右式即为所求.

解:令x+2=1,即x=-1,原等式可化为

[(-1)+1](-2+1)=a+a+a+…+a

所以a+a+a+…+a=-2.

例3.若(2x+3)=a+a(x+2)+a(x+2)+a(x+2),求a+a+2a+4a.

分析:乍一看,此题a,a,a,a系数各不相同,用赋值法貌似很难处理,但如果将上式拆分成a,a+2a+4a两部分.令x+2=0,a易求得;而a,a,a的系数分别为1、2、4,刚好成等比数列,且公比为2,只需令x+2=2即可解决这一问题。

解:令x+2=0,即x=-2,可得a=-1

令x+2=2,即x=0,可得27=a+2a+4a+8a

从而2a+4a+8a=28

即a+2a+4a=14

所以a+a+2a+4a=-1+14=13

三、综合应用

例4.若(1-2x)=a+ax+ax+…+ax(x∈R)

求(1)+++…+

(2)a+2a+3a+…+2012a

分析:(1)观察待求式,可将其化为a()+a()+a()+…+a(),只需在原式中令x=即可,另外a可令x=0求得.

(2)所求式中各项系数分别为1,2,3,…,2012,与原等式中x的次数刚好一致,而(x)′=nx,所以可对原等式先求导再赋值.

解:(1)令x=,则0=a++++…+

令x=0,可得1=a

所以+++…+=-1

(2)对原等式左右两边同时关于x求导,可得:

[(1-2x)]=0+a+2ax+3ax+…+2012ax

即-4024(1-2x)=0+a+2ax+3ax+…+2012ax

令x=可得:a+2a+3a+…+2012a=4024

点评:求展开式系数和或有关展开式系数和一个非常有效的方法是赋值法.在用“赋值法”求值时,要找准待求代数式与已知条件的联系.如何赋值,要是具体情况而定,没有一成不变的规律,灵活性较强.一般的,多项式f(x)的各项系数和为f(1),奇次项系数和为[f(1)-f(-1)],偶次项系数和为[f(1)+f(-1)];对于有些展开式要对关于x的因式赋值,要注意观察;另外在赋值法中正确使用构造法,结合函数相关性质,可以在求解二项式问题时能收到事半功倍的效果.

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