一题多解,激发创新思维

郭妞萍

摘要: 本文对一道不定积分的多种求解方法进行了探讨.从多种角度,运用不同的基本方法来求解同一道题,对于丰富初学者的解题经验十分重要.希望本文能对学生创新思维及发散思维的培养有所帮助,从而提高学生对高等数学的兴趣和解决实际问题的能力.

关键词: 不定积分创新思维发散思维一题多解

求解不定积分的方法有公式法,换元法,分部积分法,倒代换,等等,方法多,灵活性强.在同济大学的《高等数学》中,有这样一道不定积分试题I=?蘩■dx,现给出此题的多种解法,方便读者体会各种不同积分方法的优点和思维过程.对同一例题,如果从不同的角度去分析,采用不同的处理方法,则可得到不同的解法,通过比较,可以选择最优的解法,这对培养学生的分析问题、解决问题的能力有极大的好处.

解法1:简单无理函数积分方法

I=?蘩■dx

令■=t,则x=■,dx=-■dt,因此

I=?蘩■=?蘩-■dt=-■t+C=-■■+C

解法2:简单无理函数积分方法

I=?蘩■dx

令■=t,则■=t■,3t■dt=-■dx,因此

I=-■?蘩■dx=-■?蘩■·■dx=-■?蘩■=-■t+C=-■■+C

解法3:第一类换元方法(巧妙利用(■)′=-■)

I=?蘩■dx=?蘩■dx

=-■?蘩■dx=-■?蘩■d(■)

=-■■+C

解法4:第一类换元法

I=?蘩■dx=-?蘩■=-■?蘩■d(■+1)=-■■+C

解法5:第二类换元方法

令x-1=t,dx=dt,则

I=?蘩■=?蘩■=?蘩■

=-■?蘩■=-■■+C=-■■+C

解法6:第二类换元方法

令x+1=t,dx=dt,则

I=?蘩■=?蘩■=?蘩■=■?蘩■=-■■+C=-■■+C

解法7:倒代换

令x-1=■,dx=-■dt,则

I=?蘩■=?蘩■=-■?蘩■=-■■+C=-■■+C

解法8:倒代换

令x+1=■,dx=-■dt,则

I=?蘩■=?蘩■=?蘩■

=■?蘩■

=-■■+C=-■■+C

以上求解方法说明,求不定积分不必拘泥于单一的方法,可根据实际情况选择最佳的积分方法,达到最好的计算效果.一题多解体现了数学的灵活性和实用性,有利于提高学生分析、解决问题的能力.

参考文献:

[1]同济大学应用数学系.高等数学(上册)[M].北京:高等教育出版社,2002:182-222.

[2]李治飞,陈清江.一道积分不等式的多种证法[J].高等数学研究,2011,14(1):53-55.